13微积分公式

1、1. 3数列的极限、数列的概念数列、数列举例、数列的几何意义二、数列的极限极限的通俗定义、极限的精确定义、极限的几何意义三、用定义证明极限举例收敛数列的性质极限的唯一性、收敛数列的有界性 收敛数列与其子数列间的关系一、数列的概念一个实际问题如可用渐近的方法求圆的面积?用圆内接正多边形的面积近似圆的面积:A A 2 兀= 4 厂 sin A? = 2nr2 sin ，?In4数列:如果按照某一法则，使得对任何一个正整数有一个确定的 数,则得到一列有次序的数Xj 9%29 兀39 9， 这一列有次序的数就叫做数列，记为入,其中第项召叫做数 列的一般项.数列举例：123n 9，,234n+1数列举例

2、:2, 4, 8, . , 2n,.,般项为2口右，；一般项为吉1,1，1，(_1严+1,；一般项为(_1)兀+ ()心n一般项为数列的几何意义：数列%”可以看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点X y 9%2，兀3， 99 -LO兀1 X8 X7 XnX4 X6 X3 x5 x2 数列与函数:数列%可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f(n), 它的定义域是全体正整数.xn=f(n)二、数列的极限数列的极限的通俗定义：对于数列,如果当无限增大时，数列的一般项耳无限 地接近于某一确定的数值0,则称常数。是数列的极限，或 称数列兀”收敛Q.记为limxn=a no如果数列没有极限，就说数列

3、是发散的.例如limnn + l = ilimmslim “ + G1 严/oOn而2% (-1)*，是发散的.对无限接近的刻划:“当无限增大时，冷无限接近于/等价于：当“无限增大 时，比厂无限接近于0；或者说，要-1有多小，只要足够 大，比厂亦就能有多小.比如，当无限增大时，仃+( 无限接近于1,n九11=1无限接近于0,要使九-II鳥，只需n100；n100要使I% llv ,只需 n 100007 10000一般地，要使l%H-lls,只需 J-刃IV VIU A !极限的精确定义:定义如果数列百与常Q有下列关系：对于任意给定的 正数久不论它多么小），总存在正整数N,使得对于“N时的 一

4、切不等式xn-a Cl（71 00）.如果数列没有极限，就说数列是发散的.数列极限的几何意义：对于任意给定的正数,总存在正整数N,使得对于“N 时的一切兀“，不等式xna N时， 所有的点耳都落在区间(a-,a+)内，而只有有限(至多只有 N个)在区间(a- , a+)以外.X 1 XN XN+ 1 Xn + 4 Xn+Gn 十 3 XN+2X2I )Oa- aa+x三、用定义证明极限举例例1证明数列2,丄，123的极限是1.分析:l11=n+c-ir1n + -iy-n(1)门对于任意给定的正数0,要使1暫-11=丄-.三、用定义证明极限举例例1证明数列o 14n + C-ir1 23n的极

5、限是1.证明：因为对于任意给定的0，存在N=l/s,使当时，有1 xn 11= Vn所以心00n例2已知兀尸洛+，证明数列山的极限是0.分析:1/01=(-1)(1)2对于任意给定的f0，要使I X 0 1=7 N =时，M -j= 1例2已知兀尸洛+，证明数列山的极限是0.证明：因为对任意给定的正数0，存在N二使当 N时，有lx 01=n(-1)( + 1)2所以,IHUCJO.(n + l)例3设q 10,要使1%-01=冷1 1 +Inglnlgl故取InsIn 丨 g I注意，当nN =lnIn I I时，有心1 +匹 ln|q例3设q 10,存在N =* lnw1 +In 丨 g 1

6、使当卅N时，有|兀厂01=0-1一01=1狩-100四、收敛数列的性质定理1（极限的唯一性）数列“不能收敛于两个不同的极限.证 用反证法.假设同时有lim xn =a及limaN 时，有不等式xn-a”2时，有不等式xn-b卑纟.取N=maxN, N2,则当N时，同时有xn这是不可能的.这矛盾证明了本定理的断言.定理2 (收敛数列的有界性)如果数列收敛，那么数列一定有界.数列的有界性：对于数列兀，如果存在着正数M,使得对一切都满足 不等式xnN时的一切,不等式I xn- a s = 都成立.于是，当“N时，I xn 1=1 (xn- a) + a xn- a l+l a ll+l a I. M=maxl %! I, x2, I xN, 1+lal,那么数列%”中的 一切百都满足不等式I I 00N时,有alv &取K=N,则当心K时，nk nK = nNN.于是Ixn -as这就证明了起严证毕.讨论:1. 对某一正,如果存在正整数N，使当N时，有 kn- a说是否有lim =a ?ns2. 如果数列%收敛，那么数列一定有界.发散的数 列是否一定无界？有界的数列是否收敛