133球体积和表面积

1、1 - 3. 3球的体积和表面积0教材扣孩解祈电自主学习：1球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于（D ）A.丄B1C2D322. 火星的半径约是地球的一半，地球表面积是火星表面积的倍.3. 若一个球的体积为 4,册宜的表面积为 12ti4已知球的半径为10cm,若它的一个截面圆的面积是36兀cm2,则球心与截面圆周圆心的距离是8 cm解析：设截面圆半径为r ,球心与截面圆圆心的距离为d ,球半径为 R / 由已知= 10 cm # icr2 = 36兀 cm2 , .e.r = 6 cm ,d=pR2_/=/o0_36=8 cm.重难剖析重点 球的表面积、体积公式及应用1球的结构特征：

2、球可以看作是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球.2.球半径为R,则球的体积是寺庆3,球的表面积是4兀尺2.0證與龜世探斩Q典例精析 < 4. .题型(U球的体积例1： (1)球的表面积增大为原来的4倍，则体积增大为原 来的倍；(2)三个球的半径之比为1 ： 2 ： 3,那么最大的球的体积是 其余两个球的体积和的倍；(3)把半径分别为3,4,5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是.思维突破：球的表面积增大为原来的4倍，即半径增大 为原来的2倍，所以体积增大为原来的8倍(2)设三个球的半径分别为r、2人3r ,所以扌兀X(3r)3赫+验xM=3.大球的

3、体积是|tiX33+|7iX43+|7iX53=|7iX216,所以大球的半径R满足用二216 ,即R二6.答案：(1)8(2)3(3)6昨变式右拓展1 1.直径为10 cm的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2 cm的小球，如果不计损耗，可铸成这样的小球的个数为K. 5B. 15C. 25D- 1252 +押, r2 =题型（2）球的表面积例2：已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB=BCCA = 2,求球的表面积.解：如图1 ,设截面圆心为0 ,连接OS ,设球半径为则。A=|xX2=.在OA 中，0=0' 屮+o，。2,I 3 J-R=y S=47i

4、T?2 二-兀.»变式m拓展21.（2019 年辽宁）已知 S、A、B、SA丄平面ABC, AB丄BC, SA=AB=, 面积等于（A ）A- 4兀C2兀C是球O表面上的点，BC=,则球珂伽表B. 3兀D71题型3j球与多面体及旋转体的组合体的计算问题例3：已知长方体中，有一个公共顶点的三个面面积分别为6 寸1预|长方体的体积为;外接球的体积为;对角线的长为思维突破：球是长方体的外接球,从而长方体的对角线是外接球的直径可设长方体同一个公共顶点的三条棱分别为a、/?、 ab=f3有 心=书 ,有(abc)2=l5,所以 V=abc=y/l5.'c=*< b=y3,a= 1

5、X.所以对角线长为寸“+（羽尸+（何7=3.3外接球的半径为夕外接球的体积为扌XtiX趁变式与拓展14兀3 1 个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1, 2, 3,则此球的表面积为解析：长方体内接于球，则长方体的对角线为球的直径， 长方体的对角线：/=l2+22+32=V14.设球半径为R,则2R ：眾=生,S球=4兀7?2=14兀.3-2.表面积为324兀的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.解：设球半径为R,正四棱柱底面边长为则作轴截面如图10, A47又.4兀7?2二324兀，7?二9Ac=pAa 2ca 2=8 返OA图10:.a - 8

6、 , /.S 表二 64x2 + 32x 14 = 576.«黑色陷阱例4：半径为10 cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别是36兀cm2, 64ti cm2 ,则这两个平行平面的距离是错因剖析:没有考虑两个截面圆在球心同侧和异侧两种情形以致漏解.正解：如图2(1),当球的球心在两个平行平面的外侧时,这两个平行平面间的距离为球心与两个截面圆圆心的距离之差，即为寸 10,_36102 64 = 2(cm).如图2(2),当球的球心在两个平行平面之间时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆圆心的距离之和,即为土变式筠拓展41.（2019年湖北）圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若 放入三个相同的珠（球的半径与圆柱