06第一章第6节极限存在准则及两个重要极限65146

1、第六节极限存在准则 两个重要极限一、极限存在准则二、两个重要极限三、小结及作业、极限存在准则1 夹逼准则准则I如果数列兀“，儿及Z“满足下列条件:(1) yn V 兀“ V 5(兀=1,2,3A )(2) lim yn =a, lim =a,畀 Toon>co那末数列兀“的极限存在，且lim兀“ =a.n>ao证 &yn -Sa,Vg>0, 3Nr > 0, ”2>0,使得当兀> M时恒有I几- 4 V £,当M > “2时恒有一 “ V £，取N =maxN,N2, 上两式同时成立，即a-s< yH <a +

2、e, a-s<zn <a + &,当m>N时,tS有 a-s<yn<xn<zn<a + sy即xn -a<£成立， limxn = an>oo上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则lz如果当"(勺0)(或兀|>M)时,有(1) g(x)<f(x)<h(x(2) limg(x) = A, lim h(x) = A9x->x0x->x0(x->oo)(x->oo)那末lim /(兀)存在，且等于A.(X>oo)准则1和准则2称为夹逼准则.注意:利用夹逼准则求极限

3、关键是构造出儿与S， 并且儿与S的极限是容易求的.例 1Um(-4+ A + ,)心00 yin +1 Qn +2Qn +n? 2 , n +n in +1 Qn +n a/h +1lim(+ 、/oo 灯 +i 、加 +2由夹逼定理得+A + .) = 1.Yn +n记住结果(1) lim亦=1ns(2) lim亦=1 (a >0)ns例 2 lim 也+ 2"+3"+4"解：04<V1 + 2W+3W+4M <44而 lim4 VS = 4MTOO lim 也+ 2"+3"+4" = 4H>002 单调有界

4、准则如果数列乙满足条件旺"A <xn<xn+1 WA，单调增加单调数列V、兀2 A n n+1 nA，单调减少准则11单调有界数列必有极限.几何解释：-_-OO o OOO-O-OOO I兀1 x2兀承兀“+1 A M例3证明数列兀“=3 +3 +長二运（重根式）的极限存在证 显然xn+1 > xn,&”是单调递增的1=又B Xj = 3 < 3,假定 xk <3, xk+1 = (3 + xv J3 + 3V 3, x是有界的；A Jim xn存在.® xH+1 = J3 + x”,疋+i = 3 + x”，lim A：； = lim

5、(3 + xj,7n->oon>ooA? =3 + A，解得 A =1 + xl32（舍去）lim xn =H>Q01 + A 13例4设兀“+i =专（兀” +皂）5 = 123,A） 2 七无>0皿>0,求limx”Ft>00解：兀”+i=+（兀“ +仝）nJ兀"邑 =航2 心V七*1n1a、独二扣+子）耸（1+） =1 心2 Xn261即兀“+1W兀“limj存在，72T8设lim匕=A，由 A二!（A + 斗）， =>A = /too_2A.lim xn = y/a.n>oo二、两个重要极限xDaaob的面积v扇形AOB的面积V

6、 AAOC的面积(1)x->0 Y设单位圆O,圆心角厶=(0<x<-)作单位圆的切线，得AACO2扇形OAB的圆心角为兀，OAB的高为BD， 于是有 sin 兀=BD， x =弧4&， tanx = ACy1 . 1 1sin x < x < tan x102 2 2/.sinx <x <tanxxsinx1<cosx<1口口sin x艮卩cos x <X©limcosx = 1x 0sinx11说明：(1)更一般形式川 晋=1,3忌. smx 1如 lim = 1xcin y(2)不要混淆lim-=0.无T8 兀例

7、3 limtanxz xcosxlimsinx J_=1 1 = 1 兀 T° X cos X例4求lim 21 sin2 =-lim2 XT。,x . 2兀一° x2 sin2 解原式=lim厂兀tO 兀/2例5arcs in x limSO x Xt sin- 1= ilim( )2 = -l2 =-2*to x 22解:令/ = arcs in x,贝此=$谊/, 原式J恕盏T吧亟I"(2) lim(l+X)x =eXT8JQ先证lim(l +丄)"存在：兀 toon设 Xn (1)"ni 1 i (兀1) 1 An(n l)A(n n

8、+ 1)n=n I 一十+1! n 2! n2= 1 + 1 +丄(1-) + A + 丄(1丄)(1-)A (1-).2! nn n nn可证：lim (1 + 丄)* =e.XT00 X注：(1)等价形式lim(l + x)x =e1(2) 一般形式:思 °(1+/(*Je例6 lim(l + -)2x = lim(l + -)i，6XOOJQ兀 TOO兀2 x= lim(l + )打=兀 tooy7匕求 lim(l _ _)5x XTooV-10= e-w0 x原式= Iim(l + )TXS兀1 + r lim(- 心° 1-xxcotx)=lim(l +c 1-x

9、 2x cosx2X、寸1r| 2x 1-x smx1 X2x=lim(l + 兀1 x1-x 2cosx x2)2兀1 一兀 sinx 二 £81X UIS 乙80= x x (uis+i)uin =UIS乙 Z I8 jrr%G«?s+)uin =Z XXJ*3(TSO3+TUIS)UII8JXx(；S03+；UIS)UinOO+TX、小结1 两个准则夹逼准则；单调有界准则2 两个重要极限设a为某过程中的无穷小,“ sin a 壬 °-1 Mr=1; 2 M(1+a)a=e作业习题1 - 6 P561(3,4,5,6), 2(1,2,4), 4(2,3,5)思

10、考题求极限11im(3x+9x>T+8、思考题解答lim(3+ 9" ¥= lim(9 斗兀一>+8、XT+8、 /=9 limX +81+>1=9e° = 9一、填空题：1、sin 亦 lim=XTOX2、一 sin2x lim=so sin3x3、arc cot x lim=兀一0X4、limx-cot3x =兀TO5、” sinx lim=XTOO 2x16、lim(l + x)x =xtO7、lim()=XT8 X8、lim(l-丄)”=XT8X二、求下列各极限:1、lim上沁3° xsinx2、lim(tanx)tan2xnx->3、lim(廿分xtoo x _alim(n->oo、”2 +1n + 1