05第一章第5节极限运算法则07537

1、一、极限运算法则二、复合函数的极限运算法则三、求极限方法举例四、小结、极限运算法则定理 设lim/(x) = A,limg(x) = 则(1) lim/(x) ± g(x) = A±B;(2) lim/(x) g(x) = AB;(3) lim伫=?,其中BhO.gM B证仅证 lim/(x) = A, lim g(x) = B/. f (x) = A + a, g(x) = B + p.其中 a>0,卩>0.由无穷小运算法则，得/(X) g(x)-(A B)= (A + a)(B + 卩)一 AB=(Ap 4- Ba) + ap 0.推论1如果lim/匕)存在

2、，而c为常数，则 limcf (x) = clim/(x).推论2如果lim/(x)存在，而兀是正整数，贝!J lim/(x)r =lim/(x)r.推论3设Jim /(x) = A, lim g(x) = B, 且 /(x) >,则 A> B .击宦习翩紈）= /（兀）-g（兀），利用保号定理二、复合函数的极限运算法则设lim 0(兀)且对满足0 < X Xo| < 8X的兀x->x0(p(x)工 a ,又lim/(w) = A,则有：Tualim f (p(x) = lim/(眈)=4兀 TA：。"T"证 要证V£>0,m/

3、>0,使得肖< x-x0 <耐,恒有|/(x)-A| = |/(w) - A| < s.vlim/(w) = A, /. V>0,存在 >0, 0<u-a< 时，恒有了 (u)< g, 4><lim 0QTFMkBIsv vpHlHo山 9 vp11ovxoa029 应时一 0(x)aAv;JHmin BOA X XOA5 畀 硫血 0 A 一 0(x) a-Hsa 一玮一二0(x) 4 一丄 7(s4Am9 君 lim /I0(x)H Um>w) H 4“ xlxo ma1、求极限方法举例r3 _例1求悝丄3“5解/ l

4、im(兀$ 一3兀+ 5) = limx2 -lim3x + lim5 b 222x2x->2=(limx)2 -31imx + lim5x-2x-2x-2=22 3 2 + 5 =3*0,”3_limx3 -liml 刃 1 r jim 儿丄-322_ / _丄=ix2 x2 -3x + 5 lim(x2 -3x + 5)33一般:设“）品且则有P(xo)Q(X°)=/（兀o）lim P(x)lim /(x)=二 lim Q(x)兀TXn若0（心）=0，则商的法则不能应用4* 1例彳求悝n解 lim（x2 + 2兀一 3） = 0,商的法则不能用兀T1又lim（4x 一 1）

5、 = 3 工 0,XT1兀？ + 2x 3si 4x-1由无穷小与无穷大的关系，得4x -1lim .X->1 兀 + 2x - 3lim 2宀 1x +2x -3si x + 3例彳求吋齐2芥3 解兀T1时,分子,分母的极限都是零.（十型）先约去不为零的无穷小因子兀-1后再求极限.= lim(x + l)(x-l)si (x + 3)(兀 一 1)（消去零因子法）例4求limXToO2x + 3兀2 + 57x3+4x2-1解 兀Too时,分子，分母的极限都是无穷大（竺型）00先用兀法除分子分母，分出无穷小，再求极限.x-oo2兀3 + 3兀2 + 57x3 +4x2 -1兀一0027

6、（无穷小因子分出法）小结:当丰0,仇丰0,加和为非负整数时有XT8+ + +“養，当,=0,当 >m求lim( t +三+ $)w->°° n nn时，是无穷小之和.先变形再求极限.lim(4 + 4+ +4)= liml + 2+n2死TOOnn 川TOO+1)Jt>00= lim-(l + -)一>8 2nXT8例7设于（兀）=x <0x >0，求 lim/(x).x-»0Ox解兀=0是函数的分段点，两个单侧极限为lim f(x)= lim (1-x) =1，x->0lim f(x) = lim (x2 +1) = 1

7、,x0+左右极限存在且相等，故 lim f(x) = 1.xtO1+4+1例8 求 Bm x(vx2 +1 -x)X-+OO解法1:=limXT+oO原式二 lim r-x+0° Vx +l + x则一0+15解法2:令f =,1 原式二lim -0+ t=lim !"Jl + 尸 +1-i r Jl + 尸1二 limo+ 22 1 2= lim(i+xr+(i-x2)5+(i-x)?IT(l + x)2+(l-x)2四、小结1 极限的四则运算法则及其推论;2 极限求法；a. 多项式与分式函数代入法求极限;b. 消去零因子法求极限；c. 无穷小因子分出法求极限；d. 利用

8、无穷小运算性质求极限；e. 利用左右极限求分段函数极限.作业习题1-5片91(4,5,6,8,9,10,11,14),2(1,3) 3.思考题在某个过程中，若/(兀)有极限，g(Q 无极限，那f(x) + g(x)是否有极限？为 什么？思考题解答没有极限.假设/d) + gd)有极限，v/(x)有极限,由极限运算法则可知:g(x) = /(x) + g(x)-/(X)必有极限,与已知矛盾,故假设错误.练习题2、填空题：I r x3 31、 lim>2 x-3X 1 lim a Vx-13、4、lim(l + )(2 +-) =XT8 x x xHm (n + l)(n + 2)(n + 3)刃Too5n5、limx2 sin =工一>0x cosxlim+ex_4x4 -2x2 + x7、 lim= _53x2 +2xQ 1;_(2x-3)20(3x + 2);& limf (2x +1)50二、求下列各极限:1、l(1+2 + 4 + - + F2、(x + h)2_x2lim方一oh汉哪乙-占）224、lim ( x +、x +X->+oOl