2020-2021九年级数学二次函数的专项培优练习题及答案解析

1、2020-2021九年级数学二次函数的专项培优练习题及答案解析一、二次函数1 . (6分)(2015?牡丹江)如图，抛物线 y=x2+bx+c经过点A (- 1, 0) , B (3,(1)求抛物线的解析式；(2)点E (2, m)在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H,点F是AE中点，连接FH,求线段FH的长.注：抛物线y=ax2+bx+c (awp的对称轴是x=-2a【答案】(1) y=f2-2x-3; (2)试题分析：(1)把A,B两点坐标代入，求待定系数b,c,进而确定抛物线的解析式；(2)连接BE,点F是AE中点，H是AB中点，则FH为三角形ABE的中位线，求出 BE的长， FH就

2、知道了，先由抛物线解析式求出点E坐标，根据勾股定理可求 BE,再根据三角形中位线定理求线段 HF的长.试题解析：(1)二.抛物线y=x2+bx+c经过点A (- 1, 0) , B (3, 0) , 把A,B两点坐标 1 -f» + c = 0b-2代入得：9+3" +。=。，解得：抛物线的解析式是：y产-2x-3; (2) 点 ,，八，一一，一八、,、M，rE (2, m)在抛物线上，把E点坐标代入抛物线斛析式 y= -2x-3得：m=4 - 4 - 3= - 3, .E (2, - 3) , .BE="3-2)T3 %硕.点f是ae中点，点H是抛物线的对称轴与

3、II 1.'T01x轴交点，即H为AB的中点，FH是三角形ABE的中位线，/. FH=BE=% 10 = ?， 门线段FH的长：'.考点：1.待定系数法求抛物线的解析式；2.勾股定理；3.三角形中位线定理.22.如图，已知抛物线 y ax bx c经过 A ( 3, 0) , B (1,0), C (0, 3)二点, 其顶点为D,对称轴是直线l, l与x轴交于点H.(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求 4PBC周长的最小值；(3)如图(2),若E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合)，过E点作平行于y 轴的直线交抛物线于点 F,交x轴于点

4、G,设点E的横坐标为m, 4ADF的面积为S.求S与m的函数关系式；S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1) y x2 2x 3.372 屈.(3) Sm2 4m 3. 当m=-2时，S最大，最大值为1,此时点E的坐标为(-2, 2).【解析】【分析】(1)根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可(2)根据BC是定值，得到当 PB+PC最小时，4PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应 线段的长即可.(3)设点E的横坐标为m,表示出E (m, 2m+6) , F (m, m2 2m 3),最后表示出EF的长，从而表示出 S于m

5、的函数关系，然后求二次函数的最值即可.【详解】解：(1)二.抛物线 y ax2 bx c经过 A ( 3, 0) , B (1, 0),可设抛物线交点式为 y a x 3 x 1 .又.抛物线 y ax2 bx c经过 C (0, 3) , /. a1.，抛物线的解析式为： y x 3 x 1 ,即yx2 2x 3.(2) PBC的周长为：PB+PC+BC且BC是定值. 当PB+PC最小时，4PBC的周长最小. 点A、点B关于对称轴I对称， 连接AC交l于点P,即点P为所求的点.Da AP=BP, PBC 的周长最小是: PB+PC+BC=AC+BC. A (3, 0) , B (1, 0)

6、, C (0, 3) , .AC=372, BC=A0 . PBC的周长最小是：342 而.(3)抛物线y X2 2x 3顶点D的坐标为(-1, 4) , A ( - 3, 0), 直线AD的解析式为y=2x+6丁点 E 的横坐标为 m, E (m, 2m+6) , F (m, m2 2m 3) 22. . EF m 2m 3 2m 6 m 4m 3.S DEF-1-S aef EF GH21-1EF AG EF AH2222.m 4m 3 2 m 4m，S与m的函数关系式为S m2 4m 3. 22 S m 4m 3 m 21,当m=-2时，S最大，最大值为1,此时点E的坐标为(-2, 2)

7、 3.如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(- 1, 0) , B(3, 0)两点， 与y轴相交于点C (0, - 3).(1)求这个二次函数的表达式；(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PHI±x轴于点H,与BC交于点M,连接PC.求线段PM的最大值； 当4PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点 P的坐标.9【答案】(1)二次函数的表达式 y=x2-2x- 3； (2)PM最大二；P (2, - 3)或(3- . 2 , 2-4,2)【解析】【分析】(1)根据待定系数法，可得答案；(2)根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的

8、纵坐标，可得二次 函数，根据二次函数的性质，可得答案；根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案.【详解】(1)将A, B, C代入函数解析式，a b c 0a 1得 9a 3b c 0,解得 b 2,c 3c 3这个二次函数的表达式 y=x2 - 2x - 3 ;(2)设BC的解析式为y=kx+b, 将B, C的坐标代入函数解析式，得3kk 1b 3'BC的解析式为y=x- 3,设 M (n, n-3) , P(n, n2-2n-3),PM= ( n - 3) - ( n2 - 2n - 3) = - n2+3n= - ( n - - ) 2+ ,24当n=一时，PM最大=

9、;24 当 PM=PC 时，(-n2+3n) 2=n2+ (n2-2n-3+3) 2,解得n1二0 (不符合题意，舍)，n2=2,n2-2n-3=-3,P (2, -3);当 PM=MC 时，(-n2+3n) 2=n2+ (n - 3+3) 2,解得m=0 (不符合题意，舍)，n2=3+J2 (不符合题意，舍)，n3=3-& ,n2-2n-3=2-4 亚，P (3-、.2 , 2-4、2 );综上所述：P (2, - 3)或(3-衣，2- 472).【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有

10、方法4.如图，过A 1,0、B 3,0作x轴的垂线，分别交直线 y 4 x于C、D两点.抛物线2y ax bx c 经过 O、C、D 二点.1求抛物线的表达式；2点M为直线OD上的一个动点，过 M作x轴的垂线交抛物线于点 N,问是否存在这样M的横的点M,使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点 坐标；若不存在，请说明理由；3若VAOC沿CD方向平移(点C在线段CD上，且不与点D重合)，在平移的过程中VAOC与VOBD重叠部分的面积记为 S,试求S的最大值.DBO A133 x '3或3_2或(3)；【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;(2)由

11、题意，可知 MN / AC,因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3.设点M的横坐标为x,则求出44 c.MN =| -x2- 4x| ；解万程 | - x2- 4x|=3 ,求出的值，即点M横坐标的值;(3)设水平方向的平移距离为t(oq<2),利用平移性质求出S的表达式:1,一 (t 61) 2工；当t=1时，s有最大值为33【详解】(1)由题意，可得 C (1,3), D (3, 1).;抛物线过原点，设抛物线的解析式为：y=ax2+bx,，9a 3b 14313，抛物线的表达式为:4 2 133x万”(2)存在.设直线OD解析式为y=kx,将D (3,

12、1)代入，求得k1, 直线OD解析式为y 1x.33设点M的横坐标为x,则M (x, lx) , N (x,3x2 x) , MN =| yM - yN|=| x- 3334x2 3Xx) |=| x2 - 4x| .33由题意，可知 MN /AC,因为以A、C M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3 .1.| 4x2-4x|=3 .，3若 4x2-4x=3,整理得：4x2- 12x- 9=0,解得：x 3 3行或 x 3 3底3223一,，存在满足条件的点M,点M的24 4 -右x2-4x=-3,整理得：4x2- 12x+9=0,解得：x 3横坐标为:3或3_jJ或"

13、1.222(3) C (1, 3) , D(3, 1),，易得直线OC的解析式为y=3x,直线OD的解析式为 y 1x.3如解答图所示，设平移中的三角形为A'QC,点C在线段CD上.设O'C与x轴交于点E,与直线OD交于点P；设A'C与x轴交于点F,与直线 OD交于点Q.11设水平万向的平移距离为t (04V2),则图中 AF=t, F (1+t, 0) , Q (1+t, t),3 3C (1+t, 3-t).b=- 4t, .直线O'C的解析式-OF?FQ - OE?PG22设直线O'C的解析式为y=3x+b,将C (1+t, 3-t)代入得:为 y

14、=3x- 4t,联立 y=3x4t 与 y 1x,解彳导:x -t,P ( 3t, - t)3222过点 P作 PG,x轴于点 G,则 PG 1t, .-.S=Sqfq-Sxoep21(1+t) (3? t? tt-1 2当t=1时，S有最大值为1,，S的最大值为1.335.如图，抛物线y4 J2 ；（出）满足条件的点m> n的值为：m及n。，或24【点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度.第（2）问中，解题的关键是根据平行四边形定义，得到MN=AC=3,由此列出方程求解；第

15、（3）问中，解题的关键是求出 S的表达式，注意图形面积的计算方法.-x2 x 2与X轴相交于A, B两点，（点A在B点左侧）与22（I ）求A, B两点坐标.P的横坐标为t,四边形 ABPC的面积（n ）连结AC ,若点P在第一象限的抛物线上,为S.试用含t的式子表示S,并求t为何值时，S最大.（出）在（n ）的基础上，若点 G,H分别为抛物线及其对称轴上的点，点G的横坐标为 m,点H的纵坐标为n,且使得以A,G,H,P四点构成的四边形为平行四边形，求满足条 件的m,n的值.【答案】（I ） A（72,0), B(2 应,0) ; (n) s f(t 6)2 472(05.215 -3.21m

16、 , n ，或m , n 一2424【解析】【分析】(I )令y=0,建立方程求解即可得出结论；(n )设出点P的坐标，利用 S=S AOC+S梯形OCPC+Sa PQB,即可得出结论；(出)分三种情况，利用平行四边形的性质对角线互相平分和中点坐标公式建立方程组即 可得出结论.【详解】解：(I )抛物线y1x2 X 2 ,22令 y 0,则 1x2 x 2 0 ， 22解得：x72或x 2立，A , 2,0 , B 2 2,0(n )由抛物线 yx2 x 2 ,令 x 0, y 2 , C 0,2 ,22如图1,点P作PQ x轴于Q,.P的横坐标为t, 设P t, p ,2t2-2t 2,PQ

17、 2p, BQ 2 2 t,OQ tS SvaocS梯形 ocpqSvpqb1-1-.2 2 - 2 p22t12 t 1 pt 、. 2 p - pt22、.2p t .22 1t2 学 2 t、22行 4历0 t 2扬，当t 72时,S最大4匹;（出）由（n）知，t J2 , p 72,2 ,-2x22的对称轴为，设 G m,22 ,H 万,n以A,G,H ,P四点构成的四边形为平行四边形，A J2,0当AP和HG为对角线时,Ji、. 2 1m 迎，1 222223-m,n ，24当AG和PH是对角线时，1 -1-2112.2.1. m 、2 - 2 ， mm 2 02 222225.21

18、5一m ,n 一 ，24AH和PG为对角线时，1 一V 21- 1122-2一m ' 2 , mm2 22222223,21m , n 一 ，24越或m量2n 1424即：满足条件的点 m、n的值为：、23 T 5/2m , n 一，或 m , n242此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，梯形的面积 公式，平行四边形的性质，中点坐标公式，用方程的思想解决问题是解本题的关键.6.如图，抛物线y=- (x-1) 2+c与x轴交于A, B (A, B分别在y轴的左右两侧)两 点，与y轴的正半轴交于点 C,顶点为D,已知A ( - 1, 0).(1)求点B, C

19、的坐标；(2)判断4CDB的形状并说明理由；(3)将ACOB沿x轴向右平移t个单位长度(0vtv3)得到QP 4QPE与4CDB重叠 部分(如图中阴影部分)面积为S,求S与t的函数关系式，并写出自变量 t的取值范围.【答案】(I )B(3, 0); C(0, 3); (n) CDB为直角三角形；3 23-t2 3t(0 t -)(ni)S【解析】【分析】22.-t2 3t -(- t 3) 22 2(1)首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B, C的坐标.(2)分别求出CDB三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定4CDB为直角三角形.(3) ACOB沿x轴向右平移过程中，分两个阶

20、段：3 一 当0vta时，如答图2所不，此时重叠部分为一个四边形；23 当一vt<3时，如答图3所不，此时重叠部分为一个三角形.2【详解】2解：(1)二,点A 1,0在抛物线y x 1 C上，一, , 211 01 1 c,得 c 42，抛物线解析式为：y x 14,令 x 0,得 y 3, C 0,3 ；令 y 0,得 x 1或 x 3, B 3,0 .(n) CDB为直角三角形.理由如下：由抛物线解析式，得顶点D的坐标为1,4x轴于点M,OB OM 2.1, DN DM MN DM OC 1.如答图1所示，过点D作DM 则 OM 1 , DM 4 , BM 过点C作CN DM于点N

21、,则CN 在Rt OBC中，由勾股定理得：BC 在Rt CND中，由勾股定理得：CD 在Rt BMD中，由勾股定理得：BD BC2 CD2 BD2, CDB为直角三角形.Jcn2 dn2 J12 12 5/2 ； .BM2DM 2,22422.5.(出)设直线BC的解析式为y kx b , . B 3,0 ,C 0,3 ,3k b 0 b 3 解得k 1,b 3, .y x 3 , 直线QE是直线BC向右平移t个单位得到, 直线QE的解析式为：y x t 3 x 3 t; 设直线BD的解析式为y mx n ,. B 3,0 , D 1,4 ,3m n 0，解得：m 2,n 6,m n 4. y

22、 2x 6.3连续CQ并延长，射线CQ交BD交于G ,则G ,32在COB向右平移的过程中: ，3 ,当0 t 时，如答图2所本:2PK 3 t.设QE与BD的交点为y 2x 6则：y x 3 t设PQ与BC交于点K ,可得QK CQ t, PBx 3 t解得，y 2tF 3 t,2t .S S QPES PBKFBE1PE 2-1PQ PB PK212BE yF1 -3322t3时,如答图3所示:E答邺设PQ分别与BC、BD交于点K、点J .KQ t, PKPB 3 t.3 2-t 3t.2r 3 x(2)当一t2 CQ t,直线BD解析式为y 2x 6 ,令x . J t,6 2t11S

23、PBJS PBK -PB PJ PB PK221123 t 6 2t 3 t22-t223t综上所述，S与t的函数关系式为： S3 23-t2 3t 0 t -222t23t7.如图，已知抛物线经过点 A (-1, 0) , B (4, 0) , C (0, 2)三点，点 D与点C关于 x轴对称，点P是线段AB上的一个动点，设点 P的坐标为(m, 0),过点P作x轴的垂 线l交抛物线于点 Q,交直线BD于点M .(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；(2)在点P运动过程中，是否存在点 Q,使得4BQM是直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接AC,将AOC绕

24、平面内某点H顺时针旋转90。，得到A1O1C1,点A、O、C的 对应点分别是点 A、。1、。、若A1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这 样的点为 和谐点”，请直接写出 和谐点”的个数和点A1的横坐标.1 2 3.一【答案】(1) y=-x+x+2;(2)存在，Q(3,2)或 Q (-1,0); (3)两个和谐2 2点，A1的横坐标是1,.2【解析】【分析】(1)把点A (1, 0)、B (4, 0)、C (0, 3)三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数 法求解；(2)分两种情况分别讨论，当ZQBM=90或/MQB=90 ,即可求得 Q点的坐标.(3)(3)两个和谐点；AO=1

25、, OC=2,设A1(x,y),则Ci(x+2, y-1) , O1 (x, y-1),当Ai、Ci在抛物线上时，Ai的横坐标是1;当Oi、Ci在抛物线上时，Ai的横坐标是2;【详解】解：(i)设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c,将点 A (-i, 0) , B (4, 0) , C (0, 2)代入解析式,0 a b c0 16a 4b c,2 c2,i 2 3 . y= x + x+2 ；22（2）二,点C与点D关于x轴对称,.D （0, -2）.设直线BD的解析式为y=kx-2.;将（4, 0）代入得：4k-2=0,i . k= 2，直线BD的解析式为y= x-2.2当BQ，BD时，

26、BQM是直角三角形, 则直线BQ的直线解析式为y=-2x+8,-1, 0）；,1 2 3. -2x+8=-x + x+2,可求 x=3 或 x=4 （舍） 22.x=3；.Q (3, 2)或 Q (-1, 0);(3)两个和谐点；AO=1, OC=2,设 Ai (x, y),则 Ci (x+2, y-1) , Oi (x, y-1), 当Ai、Ci在抛物线上时，1 23.y-x-x 2221 23y i -(x 2)- x 222 2x iy 3二.Ai的横坐标是i;当Oi、Ci在抛物线上时，1 2 3yi-x-x22 2 , i93yi-(x2)2-x 223 2i8本题是二次函数的综合题，

27、考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称 题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键.-最短路线问8.如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-i, 0)、B(3, 0)两 点，且与y轴交于点C(1)求抛物线的表达式；x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右(2)如图，用宽为4个单位长度的直尺垂直于两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点(点P在点Q的左侧)，连接 PQ,在线段PQ上方抛物线上有一动点 D,连接DP、DQ.1, ，一一 若点P的横坐标为 一，求4DPQ面积的最大值，并求此时点 D的坐标；2 直尺在平移过程中， 4DPQ面积是否有最大值？若有，

28、求出面积的最大值；若没有，请 说明理由.3 15【答案】(1)抛物线y=-x2+2x+3; (2)点D ( ，一)；4PQD面积的最大值为82 4分析：(1)根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；(2) (I)由点P的横坐标可得出点 P、Q的坐标，利用待定系数法可求出直线 PQ的表达 式，过点D作DE/ y轴交直线PQ于点E,设点D的坐标为(x, -x2+2x+3),则点E的坐 .5标为(x, -x+),进而即可得出 DE的长度，利用三角形的面积公式可得出Sxdpc=-2x2+6x+7,再利用二次函数的性质即可解决最值问题；2(II)假设存在，设点 P的横坐标为t,则点Q的

29、横坐标为4+t,进而可得出点 P、Q的坐 标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，设点 D的坐标为(x, -x2+2x+3),则点E的坐标为(x, -2 (t+1) x+t2+4t+3),进而即可得出 DE的长度，利用三角形的面积公式可 得出S DPQ=-2x2+4 (t+2) x-2t2-8t,再利用二次函数的性质即可解决最值问题.详解：(1)将 A (-1, 0)、B (3, 0)代入 y=ax2+bx+3,得：a b 3= 09a 3b 3= 0a= 1b= 2，抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.(2) (I)当点P的横坐标为-3时，点Q的横坐标为7,此时点P的坐标为(-，I),点

30、Q的坐标为(,-)2424设直线PQ的表达式为y=mx+n,将 P (,工)、Q (工，-9)代入 y=mx+n,得:24241 7.-m n= -12 4,解得：5 ，79-m n= -4245直线PQ的表达式为y=-x+- -4如图，过点D作DE/ y轴交直线PQ于点E,5设点D的坐标为(x, -x2+2x+3),则点E的坐标为(x, -x+ 一41. DE=-x2+2x+3- (-x+ ) =-x2+3x+ ,44Sadpq=DE? (xq-xp) =-2x2+6x+ =-2 (x-) 2+8. 222- -2< 0,.当x=3时，4DPQ的面积取最大值，最大值为 8,此时点D的坐

31、标为(W, 15) 224(II)假设存在，设点 P的横坐标为t,则点Q的横坐标为4+t,.点 P 的坐标为(t, -t2+2t+3),点 Q 的坐标为(4+t, - (4+t) 2+2 (4+t) +3),利用待定系数法易知，直线 PQ的表达式为y=-2 (t+1) x+t2+4t+3.设点D的坐标为(x, -x2+2x+3),则点 E的坐标为(x, -2 (t+1) x+t2+4t+3), . DE=-W+2x+3-2 (t+1) x+t2+4t+3=-x2+2 (t+2) x-t2-4t,.Sa dprDE? (xq-xp) =-2x2+4 (t+2) x-2t2-8t=-2x- (t+

32、2) 2+8.- -2< 0,Tx=t+2时，4DPQ的面积取最大值，最大值为 8.假设成立，即直尺在平移过程中，4DPQ面积有最大值，面积的最大值为8.点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2） （ I）利用三角形的面积公式找出Sadpq=-2x2+6x+7; (II)利用三角形的面积公式找出Sadpq=-2x2+4 (t+2) x-2t2-8t.29.对于某一函数给出如下定义：若存在实数m,当其自变量的值为 m时，其函数值等于-m,则

33、称-m为这个函数的反向值.在函数存在反向值时，该函数的最大反向值与最小 反向值之差n称为这个函数的反向距离.特别地，当函数只有一个反向值时，其反向距离 n为零.例如，图中的函数有 4, - 1两个反向值，其反向距离 n等于5.一一一1(1)分别判断函数y=-x+1, y=y=x2有没有反向值？如果有，直接写出其反向距x离；(2)对于函数y=x2- b2x, 若其反向距离为零，求 b的值；若-1巾求其反向距离n的取值范围；x2 3x( x m)(3)若函数y=2 ()请直接写出这个函数的反向距离的所有可能值，并写出x 3x(x m)相应m的取值范围.1 ，一 一，_【答案】(1) y=-有反向值

34、，反向距离为x2； y=x2有反向值，反向距离是 1； (2) b= ± 上 0Wnw§ (3)当 m>2 或 mW 2 时，n= 2,当一2V m W2时，n= 4.【解析】【分析】(1)根据题目中的新定义可以分别计算出各个函数是否有方向值，有反向值的可以求出相应的反向距离；(2)根据题意可以求得相应的b的值；根据题意和b的取值范围可以求得相应的n的取值范围；(3)根据题目中的函数解析式和题意可以解答本题.【详解】(1)由题意可得，当m = - m+1时，该方程无解，故函数 y= - x+1没有反向值，当-m= 1时，m= ±1n= 1 - ( - 1)=

35、 2,故y= 。有反向值，反向距离为 2, mx当m = m2,得m= 0或m= - 1, /. n= 0-(-1)= 1,故y=x2有反向值，反向距离是 1 ；(2)4i - m=m2-b2m,解得，m=0或m=b2-1,反向距离为零，.| b2- 1 - 0| = 0 ,解得，b= ±令m = m2- b2m ,解得，m =0或m = b2- 1,.n=| b2- 1 - 0| =|b2- 1| ,- 1 0 诉 wg 2 x 3x( x m) y=2，x 3x(x m)当x利时，m = m2 3m,得 m = 0 或 m = 2,n = 2 - 0= 2,. m >2 或

36、 mW- 2；当x v m时，-m = - m2- 3m,解得，m=0或m=-4,，n=0 ( 4)=4,-2V mwz由上可得，当 m>2或mW 2时，n=2,当一2v mW2时，n = 4.【点睛】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题目中的新定义，找出所求问题需要 的条件，利用新定义解答相关问题.210.已知抛物线y x (5 m)x 6 m.(1)求证：该抛物线与 x轴总有交点；(2)若该抛物线与x轴有一个交点的横坐标大于 3且小于5,求m的取值范围；(3)设抛物线yx2 (5 m)x 6 m与y轴交于点M,若抛物线与x轴的一个交点关于直线yx的对称点恰好是点 M,求m

37、的值.【答案】(1)证明见解析；(2)1<?m?3; (3)m 5或m 6【解析】【分析】(1)本题需先根据判别式解出无论m为任何实数都不小于零，再判断出物线与x轴总有交点.(2)根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m的取值范围，即可得到结果.(3)根据抛物线y=-x2+ (5-m) x+6-m,求出与y轴的交点M的坐标，再确定抛物线与x轴的两个交点关于直线 y=-x的对称点的坐标，列方程可得结论.【详解】222(1)证明： b 4ac 5 m 4 6m m 70，抛物线与x轴总有交点.2(2)解：由(1) m 7 ,根据求根公式可知，方程的两根为：x m 5(m 721即 x1

38、1, x2 m 6由题意，有 3<-m 6<51<?n 3(3)解：令 x = 0, y = m 6 M (0, m 6)由(2)可知抛物线与x轴的交点为(-1, 0)和(m 6,0),它们关于直线 yx的对称点分别为(0 , 1)和(0, m 6),由题意，可得：m 6 1 或 m 6 m 6m 5或 m 6【点睛】本题考查对抛物线与 x轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对 称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算.11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx- 3 (aw。与x轴交于点A(-2,0)、B (4,

39、0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P从A点出发，在线段 AB上以每秒3个单位长度的速度向 B点运动，同时点 Q从B点出发，在线段 BC上以每秒1个单位长度的速度向 C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当 4PBQ存在时，求运动多少秒使 4PBQ的面积最大，最大面积是 多少？(3)当4PBQ的面积最大时，在 BC下方的抛物线上存在点 K,使 热cbk: Sa pbc=5: 2,求 K点坐标.84一 一9(2)运动1秒使4PBQ的面积取大，取大面积是 一10,27、，15、(3) Ki (1 ) , K2 ( 3,)88【解析】【详解】试题分析：(1)把点A

40、、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；9(2)设运动时间为t秒.利用三角形的面积公式列出S*BQ与t的函数关系式 SaPBQ= 10. 9 (t-1) 2+ .利用二次函数的图象性质进行解答；10(3)利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=-x-3,由二次函数图象上点的坐标特征4可设点K的坐标为(m , - m2 - m - 3).84如图2,过点K作KE/ y轴，交BC于点E.结合已知条件和(2)中的结果求得Sacbk=9 .则根据图形得到：Sacbk=Scek+Sxbek=- EK?m+1 ?EK? (4 - m),把相关线段的422长度代

41、入推知：-3 m2+3m= - -易求得Ki (1, - 27) , K2 (3,-竺).4488解：(1)把点 A ( 2, 0)、 B (4, 0)分别代入 y=ax2+bx3 (awQ ,得4a 2b 3 0383416a 4b 3 0 a 解得 b所以该抛物线的解析式为：y=3x2- -x-3；84(2)设运动时间为t秒，则AP=3t, BQ=t. .PB=6- 3t.由题意得，点C的坐标为(0, - 3).在 RtA BOC 中，BC=J32 42 =5 .如图1,过点Q作QH± AB于点H.图1.QH / CO,.BHQABOC,HB BGOC BC即Hb3，HQ=3t.

42、5.Sapbq= 1 PB?HQ=- (6 3t)2当APBQ存在时,，当t=1时，9S PBQ最大=一.100V t<2?3t=一。+9-91）5105102+ 10答：运动1秒使4PBQ的面积最大，最大面积是9一，10(3)把B设直线BC的解析式为y=kx+c （kwQ .(4,-3）代入，得4k解得，直线BC的解析式为y"43.丁点K在抛物线上.，设点K的坐标为（m , 3 m28如图2,过点K作KE/ y轴，交BC于点E.则点E的坐标为（3m - 3)4-8m2+im-当APBQ的面积最大时,- S»A CBK： Sk pbq=5： 2,9S>A PBQ

43、=10 9 S/X CBk=.4-1 1 、Sacbk=SCEK+Skxbek= EK?m+?EK? (4 - m)221=X 4?EK2=2(-3 m12.已知，如图，抛物线 y ax bx c(a 0)的顶点为M (1,9),经过抛物线上的两点A 3, 7)和B(3,m)的直线交抛物线的对称轴于点C . (1)求抛物线的解析式和直线AB的解析式. (2)在抛物线上 A,M两点之间的部分(不包含 A,M两点)，是否存在点 D ,使得 DAC 2S DCM ?若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由.(3)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A,M ,P,Q为顶点的四边形是平行四边 形

44、时，直接写出满足条件的点P的坐标.+ - m) 823 m2+3m.4即： 9 m2+3m= .44解得 m1=1, m2=3.27、/ 015、 K1 ( 1, ) , K2 (3,)88点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式 和三角形的面积求法.在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范 围.【答案】(1)抛物线的表达式为:yy 2x 1 ； (2)存在，理由见解析；点2x 8,直线AB的表达式为:P (6, 16)或(4, 16)或(1 77,2)或(1 ",2).【解析】(1)二次函数表达式为：(2) S>adac=

45、2Sdcm,贝Uy=a (x-1) 2+9,即可求解;1SVDAC - DH XC XA2求解；12-x 2x 8 2x 1 1 3 21-9 1 1 x 2 ,即可 2(3)分AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可.2斛：(1)二次函数表达式为：y a x 19 ,将点A的坐标代入上式并解得：a 1 ,故抛物线的表达式为：yx2 2x 8，则点B 3,5 ,将点A, B的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB的表达式为：y 2x 1 ；(2)存在，理由：二次函数对称轴为：x 1 ,则点C 1,1 ,过点D作y轴的平行线交AB于点H ,2设点 D x, x 2

46、x 8 ,点 H x,2x 1 , S DAC 2 s DCM ,_1 _12_1 一一则 SVDAC DH xC xA x 2x 8 2x 1 1 3911x2，222解得：x 1或5 (舍去5),故点D 1,5 ；(3)设点 Q m,0、点 P s,t , ts2 2s 8,当AM是平行四边形的一条边时，点M向左平移4个单位向下平移16个单位得到 A,同理，点Q m,0向左平移4个单位向下平移16个单位为 m 4, 16 ,即为点P,即：m 4 s,6 t,而 t s2 2s 8,解得：s 6或-4,故点 P 6, 16 或 4, 16 ；当AM是平行四边形的对角线时，由中点公式得：m s

47、 2, t 2,而ts2 2s 8,解得：s 1 J7,故点 P 1 J7, 2 或 1 77,2 ；综上，点P 6, 16或 4, 16或1 77,2或16,2 .【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中(3),要注意分类求解，避免遗漏.13.如图，已知抛物线¥ = J+bK + c的图象与x轴的一个交点为B (5, 0),另一个交点 为A,且与y轴交于点C (0, 5)。(1)求直线BC与抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，过点 M作MN/y轴交直线BC于点N, 求MN的最大值；(3)在(2)的条件下，M

48、N取得最大值时，若点 P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形 CBPQ设平行四边形 CBPQ的面积为S, ABN的面积为 S2,且S=6&,求点P的坐标。【答案】(1)产/一卬+ 525彳(3) P 的坐标为(1, 12)或(6, 5)或(2, 3)或(3, 4)【解析】【分析】(1)由B (5, 0) , C (0, 5),应用待定系数法即可求直线BC与抛物线的解析式。(2)构造MN关于点M横坐标的函数关系式，应用二次函数最值原理求解。(3)根据Si=68求得BC与PQ的距离h,从而求得PQ由BC平移的距离，根据平移的性质求得PQ的解析式，与抛物线¥ =

49、+ 3联立，即可求得点 P的坐标。【详解】解：(1)设直线BC的解析式为y=kx + m,! 5k + m =1将 B (5, 0) , C (0, 5)代入，得 e =",得m 二 S。直线BC的解析式为¥=-黄十目。hs + 5b + c = 0 Ik =-62I 一 51 = 5将 B (5, 0) , C (0, 5)代入+bx +c,得 C- ，得七一.。 2 抛物线的解析式虱+ 5。(2)二,点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，设M(m.m -6+5)。 点N是直线BC上与点M横坐标相同的点，.N(m+ 当点M在抛物线在x轴下方时，N的纵坐标总大于 M的纵坐标。

50、225 225MN =- m + 5 -(nV - 6m + 5)=_ m" + 5m =_ t(n +=25MN的最大值是4。I 5 5（3）当MN取得最大值时，N1¥ = /一自4 5的对称轴是 JC = 3, b（5, 0）, ，A（1, 0） 。 ，AB=4。15.S2 = SJabW = 2X4X2 = 5 o由勾股定理可得，BC = 5Xi，7o设BC与PQ的距离为h,则由S=6S2得：5寸= 即卜=人工 如图，过点B作平行四边形 CBPQ的高BH,过点H作x轴的垂线交点E,则 BH=h=3，？，eh是直线BC沿y轴方向平移的距离。易得， BEH是等腰直角三角形,EH=Y X& = 6。直线BC沿y轴方向平移6个单位得PQ的解析式：V=-x + 5 + 6=-x + 11 或 ¥=-翼 + 5_6=_乂- 1。当卜二一 K +旬时，与+ 5联立，得I y=-x + ll |x=- 1 lx = 6* =解得* - "或"。此时，点P的坐标为（1,或（6, 5）。当v=r-l时，与¥ = x -与+ 5联立，得