2020-2021备战中考数学知识点过关培优易错难题训练∶一元二次方程组含详细答案

1、2020-2021备战中考数学知识点过关培优 易错难题训练：一元二次方程组含详 细答案一、一元二次方程1.关于x的方程x2-2 (k- 1) x+k2=0有两个实数根 x1、x2.(1)求k的取值范围；(2)若 x+x2= 1 - x1x2,求 k 的值.1【答案】(1) k <- ； (2) k =32 【解析】试题分析：(1)方程有两个实数根，可得 A = b2 4ac之0,代入可解出k的取值范围;2(2)由韦达定理可知，* +冷=2(k1 Ix1M =k，列出等式，可得出 k的值.1试题解析:.&= 4(k- 1)2-4k2>q8k+ 4刊.kJ ;2(2) x1 +

2、 x2= 2(k 1), x1x2= k2, 1- 2(k- 1)=1 k2,*1=1, k2= 3.- k4- , - k = 3.22.阅读下列材料1 1 1 1111 1111 1 1 1 1 1 1 计算：(1一打4)*(2 + 4 + 5) " (1-2"3-4-5)(2芍+ *)，令2芍+则：111141原式=(1 t) (t+号)(1t号)t = t+- - t2- 5； - 5i+t2 = 5在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做 换元法”，请用 换元法”解决下列问题:12018)1 1 1 1 1*(加否)(

3、1212019) *(2)因式分解：(a2-5a+3) (a2-5a+7) +4(3)解方程：(x2+4x+1) (x2+4x+3) = 31【答案】(1) a。1发;(2) (a2- 5a+5) 2; (3) x1 = 0, x2= - 4, x3 = x4= - 2【解析】【分析】1 1 1(1)仿照材料内容，令, +元丽=t代入原式计算.(2)观察式子找相同部分进行换元，令a2-5a=t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a.(3)观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x= t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出 4个x的解.【详解】1 1 1(1)令

4、_+_4 = t 贝卜v + 3+ +2018 J，2t = t+ t1 1 1t+t2*2019 力丽20191原式=(1-t) (t+2T再)(1 t 2口用(2)令 a2 5a = t,贝U：原式=(t+3) (t+7) +4=t2+7t+3t+21+4= t2+10t+25= ( t+5) 2= ( a2 5a+5) 2(3)令x2+4x=t,则原方程转化为：(t+1) (t+3) = 32-t +4t+3=3 t (t+4) = 0 - 11 = 0, t2= 4当 x2+4x= 0 时，x (x+4) = 0解得：x1 = 0, x2= - 4当 x +4x= - 4 时，2x +

5、4x+4= 0(x+2) 2=0解得：x3 = x4 = - 2【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程.利用换元法一般可达到 降次效果，从而简便运算.3 .某建材销售公司在 2019年第一季度销售 A,B两种品牌的建材共126件，A种品牌的建 材售价为每件6000元，B种品牌的建材售价为每件9000元.(1)若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售 A种品牌的建材多少件？(2)该销售公司决定在 2019年第二季度调整价格，将 A种品牌的建材在上一个季度的基础上下调a%, B种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨a%；同时，与(1)问中最

6、低1销售额的销售量相比，A种品牌的建材的销售量增加了一a%, B种品牌的建材的销售量2.22 “减少了 一a%,结果2019年第二季度的销售额比(1)向中最低销售额增加 一a%,求a 323的值.【答案】(1)至多销售 A品牌的建材56件;(2) a的值是30.【解析】【分析】(1)设销售 A品牌的建材x件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；(2)根据题意列出方程求解即可 .【详解】(1)设销售A品牌的建材x件.根据题意，得 6000X+9000( 126-x 户966000,解这个不等式，得 x <56,答：至多销售 A品牌的建材56件.(2)在(1)中销售额

7、最低时，B品牌的建材70件,c ,1 6000 1 a% 5611 - -a% J -9000 1 a% 70 1 -根据题意，得2a%6000 56 9000 70 11 a% 323令a% = y ,整理这个方程，得10y2 _3y =0,一、，、一 .一3斛这个方程，得 y1 =0, y2 =一 ,10a1 = 0 (舍去)，a2 = 30 ,即a的值是30.【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未 知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解.4 .解下列方程：(1) x2- 3x=1./、1 ,、2(2) (y+2) 2-6=

8、0.2【答案】x1 =313 ,x2 =313 ；(2)y =-2 2.3,y2 =-2-2、322【解析】试题分析：(1)利用公式法求解即可；(2)利用直接开方法解即可；试题解析：解：(1)将原方程化为一般式，得x2-3x- 1=0,. b2- 4ac=13>0, 一 GJ-(2) (y+2) 2=12,广 2二2 加或 H2=-2«,Vi =-2 2、3,y2 -2-2.325 .解方程：(2x+1) =2x+1.【答案】x=0或x= _1 .2【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：:( 2x+1) 2

9、 - (2x+1) =0,(2x+1) (2x+1 1) =0,即 2x (2x+1) =0,则 x=0 或 2x+1=0,1解得：x=0或x=-.226 .解万程：(3x+1) =9x+3.12【答案】M= - , x2=-.33【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可试题解析：方程整理得：(3x+1) 2-3 (3x+1) =0,分解因式得：(3x+1) (3x+1-3) =0,可得 3x+1=0 或 3x- 2=0,12斛得：x1 二 , x2=.33点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点， 然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法

10、、公式法、因式分解法中合理选择 即可.7.解方程：(1 2x)2 =x2 -6x +94【答案】x1 = , x2 =-23【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解 即可.试题解析：因式分解，得 22(1-2x) = (x -3)开平方，得1 -2x =x -3,或 1 -2x = -(x -4斛得 x1 x2 = 238.已知制为正整数，二次方程x： +(2打+1)丫+打：=0的两根为a区,求下式的值:1 1 1（% +1XA +D （% + 奴尸4 +1）3芯 +IX% + D【答案】 760【解析】”23,有由韦达定理，有 见+E=T幼+D,比/*二

11、打：.于是，对正整数 * (口, + 1XA +1) aJ3, + % +月 +1 / (2 号 + D+12 一 一 1 . 2.9.已知关于x的万程x - (k+1)x+-k +1=0有两个实数根. 4(1)求k的取值范围； 22(2)若万程的两实数根分别为X1, X2,且X1 +X2 =6X1X2 -15 ,求k的值.3【答案】(1) k >- (2)42【解析】试题分析：根据方程的系数结合根的判别式即可得出 = 2k - 3之0 ,解之即可得出结论根据韦达定理可得：% +x2 =k +1, x1 x2 =- k2 +1 ,结合为2+x22 = 6x1x2 -15即可得4出关于k的

12、一元二次方程，解之即可得出 k值，再由的结论即可确定 k值.试题解析：因为方程有两个实数根，所以21 2 =T,k1 -4 1-k 1= 2k-3>0 ,.一 3斛得k .2根据韦达定理,-k 1x1 x2 = k 1,11 . 2 d-k 11x1 x2 = 4二一 k2 1.14因为X1222_+ x2 =6x1x2 -15 ,所以(为+x2 ) -8x1x2 +15 = 0,将上式代入可得1 2-8 -k2 +1 1+15 =014J '整理得k22k8=0 ,解得ki =4,一3卜2 2又因为k之一2，所以k =4.10.已知关于x的二次方程2m -mx -m2 x =

13、0.(1)当m取什么值时，方程有两个不相等的实数根;(2)当m=4时，求方程的解.【答案】(1)当m>-1且m=0时，方程有两个不相等的实数根；(2)3 + V543 -，5x2.4【解析】【分析】(1)方程有两个不相等的实数根，A。，代入求m取值范围即可，注意二次项系数 (2)将m =4代入原方程，求解即可.【详解】(1)因为(2)2 m _由题息得： A=b2 -4ac =(m + 2 ) 4gmg >0,解得 m a1.m#0,即当m>1且m=0时，方程有两个不相等的实数根 .把 m=4带入得 4x2 6x+1 = 0,解得 x1 =31Y! , x2 =3zY5【点睛

14、】本题考查二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及二次方程求解是加大本题的关键.2k11.关于x的万程kx +(k+2 )x+= 0有两个不相等的实数根. 4(1)求实数k的取值范围;(2 )是否存在实数k ,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.【答案】(1) k>-1且k#0； (2)不存在符合条件的实数 k ,使方程的两个实数根之 和等于两实数根之积的算术平方根.【解析】【分析】(1)由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式L>0,由此可以得到关于 k的不等式，解不等式即可求出 k的取值范围.(2)首先利用根与

15、系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k的等式，解出k值，然后判断k值是否在 (1 )中的取值范围内.【详解】 解：(1)依题意彳导 =(k +2)2 -4k k >0 ,4:.k >-1 ,又k = 0 ,，k的取值范围是kA1且k#0； (2)解：不存在符合条件的实数 k,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根,2k理由是：设方程 kx +(k+2 )x+= 0的两根分别为X1, X2,4X1 X”一由根与系数的关系有：x1 x2 =.4又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根,二-3,由

16、(1 )知，k 1,且 k#0,4 “人升一二k =不符合题意，3因此不存在符合条件的实数 k ,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方 根.【点睛】本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。21212.已知关于x的一元二次方程 x2 +(m +1 )x + -m2 -2 = 0 .(1 )若此方程有两个实数根，求m的最小整数值；2212(2 )若此方程的两个实数根为 , X2,且满足xi +X2 +X1X2 =184m ,求m的值.【答案】(1) m的最小整数值为 _4 ; (2) m = 3【解析】【分析】(1)根据方程有两个实数根得 色2 0,列式即可求解，(2)

17、利用韦达定理即可解题.【详解】有212(1)解：A = m +1 -4x1x -m -2422_=m 2m 1-m 8=2m 9:方程有两个实数根>0,即 2m+9 至 09.m _2二m的最小整数值为 口一 一r1 2(2)由根与系数的关系得：x+x2 = m + 1, X1X2 =-m2 -24,221 2-. I21 2 _ 1 , _ 1 2由 x1 +x2 +x1x2 =18 - m 得： (m+1)l -. m -2 y=18 - m m1 =3 , m2 = 57m- -92m =3【点睛】本题考查了根的判别式和韦达定理，中等难度，熟悉韦达定理是解题关键13.某公司今年1月

18、份的生产成本是 400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3份的生产成本是361万元.假设该公司 2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同.(1)求每个月生产成本的下降率；(2)请你预测4月份该公司的生产成本.【答案】(1)每个月生产成本的下降率为 5%; (2)预测4月份该公司的生产成本为342.95 万元.【解析】【分析】(1)设每个月生产成本的下降率为x,根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；(2)由4月份该公司的生产成本 =3月份该公司的生产成本 X(1一下降率)，即可得出结 论.【详解】(1)设每个月生产成本的下降率为X,根据题意得：

19、400 (1 -x) 2=361,解得：xi=0.05=5%, X2=1.95 (不合题意，舍去).答：每个月生产成本的下降率为5%;(2) 361X (1-5%) =342.95 (万元),答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)根据数量关系，列式计算.214.关于x的一兀二次方程(k-2)x-4x+2=0有两个不相等的实数根.求k的取值范围；(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值.8【答案】(1) kv4

20、且 kw2.(2) m=0 m=3【解析】分析：(1)由题意，根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式列出关于k的不等式组，解不等式组即可求得对应的k的取值范围；(2)由(1)得到符合条件的k的值，代入原方程，解方程求得 x的值，然后把所得 x的 值分别代入方程 x2+mx-1=0即可求得对应的 m的值.详解：(1) 一元二次方程(k-2)x2-4x+2=0有两个不相等的实数根， =16-8(k-2)=32-8k>0 且 k-2w0.解得：kv4且kw2.(2)由(1)可知，符合条件的：k=3,将k=3代入原方程得：方程 x2-4x+3=0,解此方程得：x1=1, x2=3.把x=

21、1时，代入方程 x2+mx-1=0,有1+m-1=0,解得 m=0.把 x=3 时，代入方程 x2+mx-1=0,有 9+3m-1=0 ,解得 m=-.38. . m=0 或 m=3点睛：(1)知道 在一元二次方程 ax2+bx+ c =0?a # 0)中，当4 = 4200时，方程有两个不相等的实数根；当 = b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； = b2 -4ac父0时，方程没有实数根”是正确解答第1小题的关键；(2)解第2小题时，需注意相同的根存在两种情况，解题时不要忽略了其中任何一种情况15.利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息信息1:甲乙两种商品的进货单价和为11;信息2:甲商品的零售单价比其进货单价多2元，乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元：信息3:按零售单价购买甲商品 3件和乙商品2件共付37元.(1 )甲、乙两种商品的进货单价各是多少？(2)据统计