平面解析几何初步复习课教学设计

1、平面解析几何初步复习课教学设计（一）教材分析解析几何的主要内容为直线与圆，圆锥曲线，坐标系与参数方程。根据课程标准要 求，在必修2解析几何初步中，学生学习的最基本内容为直线与直线方程，圆与圆的方 程，并初步建立空间坐标系的概念。这一内容是对全体学生设计的，大部分学生在选修 中还将进一步学习圆锥曲线，坐标系与参数方程等有关内容。因此，本章要求学生掌握 解析几何最基本的思想方法 用代数的方法研究曲线的几何性质， 并学习最基本的直线，圆的方程，并通过方程研究他们的图形性质。这样的安排，一方面降低了解析 几何的难度，多次反复又逐步提高学生对解析几何的认识，另一方面对部分在解析几何 学习上有较高要求的学

2、生，可以在选修部分拓广加强。因此教学中，要体会必修 2的4个特点是学习立体几何与解析几何的初级阶段 仅仅是初步是螺旋式上升的开始 .感性认识到理性认识的过渡期。（二）课程内容标准（教学大纲与课程标准比较）教学大纲课程标准主要义化点直线和圆的方程（22课时） 直线的倾斜角和斜率。直线 方程的点斜式和两点式。直 线方程的一般式。两条直线平行与垂直的条 件。两条直线的交角。点到 直线的距离。用二L次不等式表示平面 区域。简单线性规划问题。实习作业。曲线与方程的概念。由已知 条件列出曲线方程。平面解析几何初步（约18课时）（1）直线与方程在半囿直角坐标系中，结合具体 图形，探索确定直线位置的几何要 素

3、。理解直线的倾斜角和斜率的概 念，经历用代数方法刻画直线斜率 的过程，掌握过两点的直线斜率的 计算公式。能根据斜率判定两条直线平行或垂直。根据确定直线位置的几何要素，1 .平面解析儿何分 层为三块：初步（必 修）、圆锥曲线（必 选）和坐标系与参数 方程（自选）。2 .线性规划问题移到数学5“不等 式”部分；原立几B 教材“空间直角坐 标系”移至解几初 步。3 .注重过程教学，圆的标准方程和一般方程。 圆的参数方程。教学目标(1)理解直线的倾斜角和斜 率的概念，掌握过两点的直 线的斜率公式，掌握由一点 和斜率导出直线方程的方 法；掌握直线方程的点斜式、 两点式和直线方程的一般 式，并能根据条件熟

4、练地求 出直线的方程。(2)掌握两条直线平行与垂 直的条件，掌握两条直线所 成的角和点到直线的距离公 式；能够根据直线的方程判 断两条直线的位置关系。(3)会用二元一次不等式表 示平面区域。了解简单的线性规划问 题，了解线性规划的意义， 并会简单应用。了解解析几何的基本思 想，了解用坐标法研究几何 问题的方法。(6)掌握圆的标准方程和一 般方程，了解参数方程的概 念，理解圆的参数方程。(7)结合教学内容进行对立 统一观点的教育。探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系。能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式

5、，会求两条平行直线间的距离。(2)圆与方程回顾确定圆的几何要素， 在平面直角坐标系中。探索并掌握圆的标 准方程与一般方程。能根据给定直线、圆的方程，判 断直线与圆、圆与圆的位置关系。能用直线和圆的方程解决一些 简单的问题。(3)在平面解析几何初步的学习过 程中，体会用代数方法处理几何问 题的思想。(4)空间直角坐标系通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画 点的位置。通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。加大了师生共同探 索知识的力度。如“在平面直角坐 标系中，结合具体图 形，探索确定直线位 置的

6、几何要素；理 解直线的倾斜角和 斜率的概念，经历用 代数方法刻画直线 斜率的过程，根据 确定直线位置的几 何要素，探索并掌握 直线方程的几种形 式(点斜式、两点式及 一般式)，体会斜截式 与一次函数的关 系。”4 .删除了直线到直 线的角、两直线夹角 的概念及相应公式。5 .圆的参数方程移 至选修4-5 "坐标系 及参数方程”中。6 .“曲线与方程”移至 选修2-1 (文科不 学)。7、由已知条件列出 曲线方程(求轨迹) 部分的内容要求降（8）实习作业以线性规划为 内容，培养解决实际问题的 能力。低，不讲“纯粹性和 完备性”，只是在选 修内容部分讲解 “充分必要条件”。说明：在平面解

7、析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题 代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理 代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几 何教学的始终，帮助学生不断地体会 "数形结合"。遵循的原则上的差异旧教材遵循的是连续性、一步到位的原则.新教材遵循了阶段性、螺旋式上行的原则（三）学情分析学生通过本章的学习，对解析几何的基本方法 -坐标法有了初步认识和应用，体 会了代数方法研究几何问题的优点。但对这种方法的认识还不够深刻，不系统和全面， 同时对整章涉及的知识缺乏一个整体的认识。所以，有必要

8、通过章节复习，把基本知识 和方法总结和归纳，从整体上把握知识，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法 条理化。在对整章知识网络的梳理构建的基础上，通过配套题目，巩固知识和方法的应 用，加深对坐标法的理解和应用，体会函数与方程思想，数形结合思想，化归和转化思 想等数学思想在本章的特殊地位。（四）本章内容的基本定位第一，本部分内容是在初中学习直线基础上，利用平面直角坐标系，将几何问题代 数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；运用代 数方法研究直线与圆的几何性质及其相互位置关系，分析代数结果的几何含义，解决几何问题。第二，用代数方法研究几何图形是解析几何的核心。学生

9、在初中曾经学过建立直角坐标系且初步研究过一次函数、二次函数及反比例函数的图像，这是借助几何图形来直 观认识一次函数、二次函数及反比例函数的性质，即从数到形。直线和圆是最基本的几 何图形，也是学生非常熟悉的两种图形，学生已经知道如何从“形”的角度刻画它们的性质。“解析几何初步”则主要是用代数方法刻画直线和圆，研究它们的性质，即从形 到数；再利用直线与圆的方程来研究直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，即用 数来研究形。这部分内容也是学习圆锥曲线的基础，学生应熟知直线与圆的方程中参数 的几何意义。用代数方法研究直线与圆时， 首先应强调确定直线与圆的几何要素，根据几何要素,用代数方法刻画直线与圆，

10、推导出直线与圆的方程。对于直线与直线、直线与圆、圆与 圆的位置关系，也要突出几何要素。第三，坐标系是数形结合的载体之一。在坐标系中，平面上的点与数对可以建立一 一对应关系，从而可以用方程来表示几何图形，通过方程来研究几何图形的性质。（五）教材特色1 .突出解析法基本思想一一代数方法解决几何问题重视“数形结合”思想的运用以形助数、依数识形2 .过程彰现新理念在直线和圆的方程的处理上， 以学生熟悉的问题（生活实例、数学问题等）为背景, 按照“问题情境数学活动一一意义建构一一数学理论一一数学应用一一反思”的顺序结构，引导学生主动参与探索，通过师生共同对问题的分析和解决，使学生 感受建立坐标系，并用坐

11、标、方程等知识来刻划点、直线、圆等图形的一般方法，逐步 体会解析几何的基本思想。3 .将“圆与方程”与“直线与方程”进行类比，感受同构（方法）的特点，体验解 析几何的研究程序。（六）三维目标1 .通过总结和归纳直线与直线的方程，圆与圆的方程，空间直角坐标系的知识，通 过对全章知识的梳理，突出知识间的内在联系， 了解解析几何的基本思想，了解用坐标法 研究几何问题。2 .能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能用直线与圆的方程解决一些简单问题，使学生在综合运用知识解决问题的能力上提高一步。3 .能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析，探究和思考问题的能力，激发学生数学

12、学习的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力。（七）重点难点教学重点：解析几何解题的基本思路和解题方法的形成。教学难点：整理形成本章知识系统和网络。教学过程知识回顾本章内容知识结构（幻灯片）几间要素 一白和一个 方向、用个点国洞的置画空直生系 空几体用一刘I间角标>间的标空点坐空网的鬲式直线与网的位置关系:相电相切%拒交）对比知识结构，阅读课本（北师大版P100本章小结），学生讨论以下问题:直线的倾斜角和斜率，需要注意什么？直线的方程有几种形式，各自适用的范围是什么？两直线的位置关系如何判断？圆的方程有哪几种形式花们各自有什么特点？点与圆、直线与圆、圆与圆分别有什么样的位置关系？如何判断

13、？设计目的：针对学生的易错点，在章节复习中作一个梳理。同时引导学生养成一个 归纳总计各章知识方法易错点的一个习惯。二应用示例：直线方程直线的位置关系例1求经过点A (-5 , 2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线的方 程。活动：学生阅读题目，思考解法，教师引导学生注意分两种情形讨论。解：(1)当横截距、纵截距都是零时，设所求直线方程为y=kx,将点A (-5,2)代入方程，得k=- 2 ,此时，直线的方程为y=- -x,即2x+5y=0。55(2)当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为 + -=1 ,2a a将点A (-5 , 2)代入方程，得a=-,此时，直线的方程为 x

14、+2y+1=0 。2综上所述，所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0 。基础自测：1、已知两直线aix+b iy+1=0和a2x+b 2y+l=0都通过点P(2,3),求经过两点 Qi(ai,b Q2(a2,b2),的直线方程。2、.直线经过点P (3, 2)且与x、y轴的正半轴分别交于 A、B两点，4OAB的面 积为12,求直线的方程。3、求经过点P (2, 3),且被两平行直线 3x+4y-7=0和3x+4y+8=0截得的线段为3品的直线方程。答案：1.2x+3y+1=0设计目的:引导学生体会定义解题，充分考虑直线的方程，方程的直线的内涵。2, x + -=1 即 2x+3y-12

15、=0 6 4设计目的： OAB的面积与截距有关，自然联想导直线方程的截距式。3, x-7y+19=0 或 7x+y-17=0设计目的：利用平行线间的距离与线段长之间的数字特征，设出斜率，巧妙构造方程。例2正方形的中心为点 C (-1 , 0), 一条边所在的直线方程为x+3y-5=0 ,求其它三边所在的直线方程。活动：学生分析正方形的几何性质，讨论由性质引发的直线方程特征，结合直线位 置关系中的平行与垂直，引导学生思考待定系数法。解：设与直线x+3y-5=0平行的正方形的另一边所在直线方程为x+3y+ci=0,C 至U直线 x+3y-5=0的距离d=| 1 5|_ 6、10. 10利用平行直线

16、系及对称性,| 136 = 一.1010得C1=7或C1=-5 (即是已知条件中的直线):正方形的一条边是x+3y+7=0设与直线x+3y-5=0垂直的正方形的另一边所在直线方程为3x-y+ c 2 =0|-3_c2 | =彳导 c2=9 或 c2=-3,1010;正方形的另两条边所在直线方程为3x-y+ 9=0或3x-y-3 =0直线与圆，圆与圆位置关系问题例3求圆心在直线 2x-y-3=0 上，且过点 A (5, 2), B (3, -2)的圆的方程。活动：学生阅读题目，理解题意，相互交流或讨论，教师引导学生考虑解题的方法，注意 总结，因为条件与圆心有关系，因此可设圆的标准方程，利用圆心在

17、直线2x-y-3=0上，同时 也在线段AB的垂直平分线上，由两直线的交点得出圆心坐标，再由两点间的距离公式得 出圆的半径，从而得到方程.2ab 3 0,a222(5 a)(2 b)r ,解得 b_2_22(3 a)( 2 b) r . r解:方法一设圆的方程为(x a)2+ (y b)2=r2,由已知条件得2,221,所以圆的万程为(x- 2)+(y1)=10.,10.方法二：因为圆过点A(5,2)和点B(3,-2),所以圆心在线段 AB的垂直平分线上，线段AB2ab 3 0,的垂直平分线方程为 y=- 1(x-4).设所求圆的圆心 C的坐标为(a,b),则有12,1.2b - (a 4).解

18、得所以圆心 C(2,1),r=|CA|= .(5 2)2 (2 1)2-1022所以所求圆的万程为(x-2) +(y1)=10.点评:本题介绍了几何法求圆的标准方程，利用圆心在弦的垂直平分线上或者利用两圆相切时连心线过切点，可得圆心满足的一条直线方程，结合其他条件可确定圆心，由两点 间的距离公式得出圆的半径，从而得到圆的标准方程.其实求圆的标准方程，就是求圆的圆 心和半径，有时借助于弦心距、圆半径之间的关系计算，可大大简化计算的过程与难度.如 果用待定系数法求圆的方程，则需要三个独立的条件，“选标准，定参数”是解题的基本方 法，其中选标准是根据已知条件选择恰当的圆的方程形式，进而确定其中三个参

19、数.基础自测：圆：x2+y2-4x+6y=0和圆：x2+y2-6x=0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是 ()A.x+y+3=0B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=0答案：C设计目的：由平面几何知识知AB的垂直平分线就是连心线所在直线。例4已知圆C:(x 1)2 (y 2)2 25,直线l:(2m 1)x (m 1)y 7m 4 0(m R)求证：不论m取什么值，直线l与圆恒相交；求直线l被圆C截得线段的最短长度，以及此时直线l的方程。活动：学生审题，请大家独立思考 多想些办法，教师提示学生注意结论中直线与圆的 位置关系，抓住位置的本质内容，展开联想，分析讨论，

20、然后师生共同总结解题方法.解：(1)证明：由直线 l : (2m 1)x (m 1)y 7m 4 0(m R)2xy 4 0.得:x 3 y 1.得：m(2x+y-7)+(x+y-4)=0 解x:直线l恒过定点P (3, 1).PO<5, ：P (3, 1)在圆内。:不论m取什么值，直线l与圆恒交于两点。(2)从(1)结论可知直线l恒过定点P (3, 1)且于此点的圆C的半径垂直时，l 被圆截得的弦长 AB最短,由垂径定理知|AB|=2JR2 oP2 4<52m 13又kom k1=-1,生2 ,得m 3 ,代入直线l方程m 14;所求直线为2x-y-5=0点评：不要一味地体现用代数方法来研究来几何问题，对于直线和圆这两种具有丰 富几何性质的图形，有时利用几何方法，数形结合，能方便地解决相应的几何问题和代 数问题。基础自测：1 .直线l经过点P (5, 5)且和圆C: x2+y2=25相交，截得的弦长为 4& ,求直线l 的方程。答案：k=；或k=2 ,所求直线方程为 x-2y+5=0 或2x-y-5=0。设计目的:解有关圆的解析几何题目时，有代数法和几何法两种方