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文档简介
1、等边三角形(提高)【学习目标】1 .掌握等边三角形的性质和判定 .2 .掌握含30。角的直角三角形的一个主要性质.3 .熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算.【要点梳理】要点一、等边三角形等边三角形定义:三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释:由定义可知,等边三角形是一种特殊的等腰三角形.也就是说等腰三角形包括等边三角形.要点二、等边三角形的性质等边三角形的性质:等边三角形三个内角都相等,并且每一个内角都等于60。.要点三、等边三角形的判定 等边三角形的判定:(1)三条边都相等的三角形是等边三角形;(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角是60。的等腰三角形是等
2、边三角形.要点四、含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性质定理:在直角三角形中,如果有一个锐角是30。,那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释:这个定理的前提条件是“在直角三角形中”,是证明直角三角形中一边等于另一边(斜边)的一半的重要方法之一,通常用于证明边的倍数关系【典型例题】类型一、等边三角形C1、已知:如图,日C、E三点共线,ABC, DCE都是等边三角形,连结 AE BD分别交CD AC于N M,连结 MN.求证:AE= BD, MN/ BE.【答案与解析】证明: ABC , DCE都是等边三角形 .BC= AC, CE= CD /1 = /3=60
3、176; / 1 + / 2+/ 3= 180°,/2=60BCD ECA在BCD和ACE中BC ACBCD ACE (已证)CD CE .BC里 ACE (SAS .BD- AE (全等三角形对应边相等)45 (全等三角形对应角相等)在BMC和ANC中45BC AC (已证)1 2 . BMC2 ANC (ASAMC= NC (全等三角形对应边相等)2=60°. MCh等边三角形(有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形)Z 6= 60 , Z 6=/ 1.MN/ BE (内错角相等,两直线平行)【总结升华】 本题应从等边三角形的性质出发,利用三角形全等证明A
4、E= BD;为证明MN/BE,可先证明 MN等边三角形,再利用角去转化证明.22、如图, ABC为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,使AE= BD,连接CEDE.求证:CE= DE.【思路点拨】 此题如果直接找含有 CE和DE的三角形找不到,也不方便证/ ECD- / EDC联 想的全等三角形的性质,把原等边ABCT展成大等边 BEF后,易证 EBC EFD.【答案与解析】证明:延长 BD至F,使DF= AB,连结EF .ABE等边三角形AB= BC, /B= 60o AE= BD, DF= AB . AE+ AB= BD+ DF即 BE= BF . BEF为等边三角形BE= EF, /
5、F= 60o在 EB% EFD 中EB EFB FBC DFEO ED【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定,关键是在现有图形不能解决问题时,将原图补全成为有对称美感的等边三角形,对学生综合运用知识解答问题的能力要求较高.举一反三:【变式】如图所示, ABC是正三角形, BDC是顶角/ BDC 120°的等腰三角形,以 D为 顶点作一个60°角,角的两边分别交 AR AC边于M N两点,连接MN试探究线段 CN BM MN间的关系,并加以证明.证明方法通常采用截长【答案】对于此类题,三条线段之间的关系一般是它们的和差关系, 补短法.证明:如图所示,延长
6、 AC至Mi,使CMi=BM,连接DM 1.4ABC 是正三角形, ZABC =Z ACB =60°.ZBDC = 120 °,且 BD = CD, /DBC=/ DCB =30°./ABD =Z ACD = 90°.又 BD = CD, BM = CM 1, RtA BDM RtACDM 1 (SAS). DM = DM 1, / BDM = / CDM 1,/ MDM 1 = / MDC + / CDM 1 = / MDC + / BDM = /BDC =120°.又 Z MDN =60°.Z M1DN = Z MDN =60
7、176;.又 DM = DM 1, DN=DN, MDN M1DN(SAS).MN =M1N=NC + M1C = CN + BM .类型二、含30。的直角三角形 3、如图所不,/ A= 60 , CE!AB于 E, BD±AC于 D, BD与 CE相交于点 H, HD= 1 ,HE= 2,试求BD和CE的长.【答案与解析】解:BD±AC于 D, / A= 60° , ./ ABD= 90° 60° = 30° ,在 RtBEH中,/ HEB= 90° , / EBH= 30° BH= 2EH= 4.同理可得,CH
8、= 2HD= 2,BD= BH+ HD= 4+1 = 5.CE= CH HE= 2+2 = 4.【总结升华】 已知条件中出现 60°角与直角三角形并存时,应考虑到“在直角三角形中,如果一个锐角等于 30。,那么它所对的直角边等于斜边的一半”,进而把三角形中角与角的关系转化为边与边之间的关系,充分应用转化思想来解决问题.举一反三:【变式】如图所示,在 ABC中,AB= AC D是BC边上的点,DE!AB, DF,AC垂足分别为 点 E、F, / BAC= 120° .- i -求证:DE DF -BC .【答案】证明:在4ABC中,AB= AC,2/ BAC=120°
9、; ,/1BAC) 30 ./B=/C= -(180DE ±AB, DF± AC,1DE BD, DF21 八DE DF -BC .2C4、如图所示,在等边 ABC中,AE= CD AD. BE相交于点P, BQL AD于Q,求证:BP= 2PQ ACD BAE30°直角三角形【思路点拨】(1)从结论入手,从要证 BP2PQ联想到要求/ PBQ= 30。. (2)不能盲目地用 截长补短法寻找要证的“倍半”关系.本题适合用“两头凑”的方法,从结论入手找已知条件,即BP= 2PQ /PBQ= 30° ,另一方面从已知条件找结论,即由条件ZBPQ= 60°ZPBQ= 30。,分析时要注意联想与题目有关的性质定理.【答案与解析】证明: ABC为等边三角形,AC = BC= AB, Z C= / BAC= 60° .在 ACD BAE 中,AC ABC BAE, CD AE AC国 BAE(SAS)./ CAD= / ABE/CA* / BA% Z BAG= 60° ,/ABE+ / BAF 60° ,ZBPQ
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