控制系统的综合与校正

1、第六章控制系统的综合与校正6.1弓I言控制器vrtpjFt图6 1自动绕线机图6 1为一自动绕线机的原理图，当其正常工作时，要求绕线电机以较快的转速将电枢线绕到转子上，而由绕线电机及测速器构成的单位负反馈系统的开环传递函数为Gk0s(0.1s 1)(0.2s 1)其中，ko为开环增益。为了保证绕线速度，ko的取值不能太少，一般取 k。=10。由此，可以画出绕线电机的 Bode如图6 2所示，其相位裕度为0.2，不能满足系统稳定的要求。由于绕线电机及测速器的特性不可改变，所以只有通过设计适当的控制器来实现自动绕线机的正常工作。自动控制系统中控制器的设计又叫做系统的综合与校正。本章主要介绍控制系统

2、的综合与校正。所谓综合或校正，就是在系统中不可变部分的基础上，加入一些元件（称校正元件），使系统满足要求的各项性能指标。一般情况下，控制系统的固有部分即不可变部分由已知的元件组成，因而其特性也是已知的。 固有部分的参数除了增益以外，其余大多数参数是不可改变的，因而也叫不可变部分。通常，提高系统的性能指标，仅仅靠提高增益是不能完成的。所以，提高系统的性能指标往往需要引入新的元件来校正系统的特性。控制系统中通常有两种校正方式，即串联校正和反馈校正。 校正元件可以串联在前向通道之中，形成串联校正，如图 6-3所示。也可接在系统的局部反馈通道之中，形成并联校 正或反馈校正，如图 6-4所示。图6 3串

3、联校正系统方框图图64反馈校正系统方框图串联校正的方法中， 根据校正环节的相位变化情况，可分为超前校正、滞后校正、滞后超前校正。按照运算规律，串联校正又可分为比例控制、积分控制、微分控制等基本控制规律以及这些基本控制规律的组合。经典控制理论中系统校正的方法主要有根轨迹法和频率特性法。本章主要介绍频率特性法。频率特性设计法根据系统性能指标的要求，以系统的开环对数频率特性（Bode图）为设计对象，使系统的开环对数幅频特性图满足系统性能指标的要求。具体来说就是：1,系统的低频段具有足够大的放大系数，有时候也要求具有足够大的斜率以满足系统对稳态误差 的要求。2,系统的中频段以一20dB/dec的斜率通

4、过0dB线，并且保证足够的中频段宽度以 满足性能指标对相位裕度的要求。3,高频段一般不作特殊设计，而是根据被控对象自身特性进行高频衰减。6. 2基本控制规律控制系统站在系统设计的角度， 控制系统的校正又可以看成是控制系统的控制器设计。如比的控制器通常采用比例、微分、积分等基本控制规律，以及这些基本控制规律的组合, 例微分、比例微分、比例积分微分，来实现对被控对象的控制。6. 2. 1比例(P)控制规律具有比例控制规律的控制器称为P控制器。它实际上是一个增益可调的放大器，如图6-5所示。P控制器的输出信号 m(t)与输入信号；(t)成比例关系，即m(t) = KP ；(t)(6- 1)其中，KP

5、为P控制器的比例系数， 又称为P控制器的增益。在串联校正中， 提高P控制器的增益就是提高控制系统的 开环放大系数，可以减小系统的稳态误差, 提高控制精度。但是会降低系统的相对稳 定性，开环放大系数过大还会造成系统的 不稳定。因此在控制系统的设计中，很少 单独使用比例控制规律。6. 2. 2比例微分(PD)控制规律具有比例加微分控制规律的控制器称为PD控制器，如图6-6所示。PD控制器的输出；(t)的导数成比例关系，即信号m(t)即与输入信号；(t)的成比例关系，又与输入信号(6 2)m(t)二 KP ；(t) Kp d (t)dt其中，Kp为可调比例系数，为可调微 分时间常数。PD控制器由于采

6、用了微分控制规律，可 以反应输入信号的变化趋势，引入早期修正 信号，从而增加系统的阻尼程度，提高系统 的稳定性。但是，微分控制规律只有在输入信号变 化时才有效，所以单一的 D控制器不能单独使用。另外由于微分控制规律具有预见信号变化趋势的特点，所以容易放大变化剧烈的噪声。6. 2. 3积分(I)控制规律具有积分控制规律的控制器称为I控制器，如图6-7所示。I控制器的输出信号 m(t)与输入信号；(t)的积分成比例关系，即(6 3)im(t) =K| 0 ；(t)dtC(s)图6-7积分(I)控制器其中，KI为可调的比例系数。由于I控制器的积分作用，当输入信号变化零 以后，其输出信号可能仍保持为一

7、个非零 的常量。I控制器可以提高系统的型别，从而 消除或减小稳态误差，提高系统的稳态性 能指标。但是I控制器引入了一 90°的相 移，会降低系统的稳定性，甚至可能造成系统的不稳定。6. 2. 4比例积分(PI)控制规律具有比例积分控制规律的控制器称为PI控制器，如图6- 8所示。PI控制器的输出信号m(t)即与输入信号；(t)成比例关系，也与输入信号；(t)的积分成比例关系，即m(t)=心；(t)于Ti其中，KP为可调放大系数，TI为可 调积分时间常数。PI控制器引入的位于原点的极点可 以提高系统型别，从而消除或减小稳态误 差，提高系统的稳态性能指标。同时，只 要保证积分时间常数 T

8、足够大，可以减弱 I环节对系统稳定性的不利影响。 用来提高控制系统的稳态性能。例6- 1R(skKp(1+ 丄)TisM (s)4C(s)图6-8比例积分(PI)控制器PI主要如图6-9所示，某单位负反馈系统的不可变部分传递函数为R(s)图6-9 PI控制系统Go (s)二K。s(Ts 1)试分析PI控制器对系统稳态性能的改善作用。解 由图可知，系统的开环传递函数为G(s)二KpKo(Ts 1)Ti s2 (Ts 1)可见，系统型别由原来的I型提高为II型。由第二章学习的内容很容易计算出， 对于斜 坡输入r(t) = Rt，在无pi控制器作用时，系统的稳态误差为 尺/ K。；接入PI控制器以后

9、， 系统的稳态误差为零。由此可见， PI控制器可以改善控制系统的稳态性能。引入PI控制器后，系统的特征方程为T|Ts Ti s KPK0T|S KPK0 = 0其中，参数T，T|，Kp，Ko都是正数，满足系统稳定的必要条件。并且只要合理的 选择上述各参数，就可以保证系统的稳定性。通过上面的分析可知，采用 PI控制器可以提高型别，消除或消除稳态误差，同时又可 以保证系统的稳定性。6. 2. 5比例积分微分(PID )控制规律具有比例积分微分控制规律的控制器称为PID控制器，如图6- 10所示。PID控制器具有比例、积分和微分三种控制规律各自特点，其输出信号m(t)与输入信号；(t)关系为，m x

10、e 牛 >(t)dt KP 时(6 5)由(6- 5)式可知，PID控制器的传递函数为M (s)；(s)KP(1 s)T|S(6 6)PID控制器的传递函数还可以写成M(s)；(s)KP Ti s2 Ti s 1 Ti -s(6 7)若4/T| ：1，式(6-7)还可以改写成M(S)= Kp .( £ 1)( 2S 1)；(s) Tis(6 8)其中2Tl由(6- 8)式可知，PID控制器可使系统的型别提高一级，并且还引入两个负实零点。 与PI控制器相比，不但保留了改善系统稳态性能的特点，还多提供一个负实零点，在提高 系统动态性能上更加优越。因而，PID控制器在控制系统中得到了

11、广泛的应用。6. 3串联超前校正本节首先介绍串联超前校正的特点，然后介绍采用频率响应法确定超前校正参数的方 法。6. 3. 1超前校正网络超前校正就是利用超前校正环节引入正的相移，增加系统的相位裕度， 从而提高系统的动态性能。常用的超前校正环节有PD控制器和带惯性的 PD控制器。PD控制器的传递函数为(6 - 9)Gc =Kp(1 s)图6 11 PD控制器的频率响应其中，Kp为比例系数，为微分时间常数。 当Kp =1时，PD控制器的频率相应特性如图611所示。可见，当由0变到：时，幅频 特性由0dB变到：，而相频特性由0°变到 90°。显然，PD控制器是超前校正元件。从相

12、 频特性可以看出，采用 PD控制器可以为控制 系统引入最大至90°的超前相移，然而从幅频 特性可以看出，采用 PD控制器会增加控制系 统的幅频特性高频段斜率，不利于抑制噪声。因而，在超前校正中，带惯性的PD控制器比PD控制器更常用。带惯性的PD控制器的传递函数为Gc1 S1 Ts(T)(6 10)若令.=aT(a 1)，则带惯性的PD控制器的频率响应为Gc(j )1 jaT，1 jT (a 1)(6 11)其相频特性为丄111 a-Teo/Gc(j J = (，) = tgaTr -tg = tg 一 2 2(6- 12)1 + aT 灼图6- 12带惯性的PD控制器的频率响应带惯性

13、的PD控制器的频率响应如图 6 12所示，结合（6 12）式可以看出,m会在m处出现极值，由d'（）/d =0可以求得增加到：时, 1、aTm 二 Gc()=tgj a -1. .1 a -1sin2、aa 1当由0(6 13)(6 14)式可以看出，爲的值随着PD控制器的相频特性。由（a值的增大而增大，图 6 13为在不同a值的情6 14）式可以计算出不同的a值所对应的'm6 1 64.8°之间。而当a较小时，爲值过小；a较大时, 中取a值在520的范围内。m随a增大的变化较小。故通常在超前校正由（614）况下，带惯性的的值，如表6 1所示，图6 14则以曲线的方式

14、表示出了a与m之间的关系。从表41. 8表6 1' m a关系表a358101520304050100COm30°41.8°51 °55 °61°64.8 °69.3 °72°74°78.6 °90°将(6- 13)式的结果代入带惯性的 PD控制器的幅频特性 20lgGc(j)，得到20lgGc(j m) "Olga (dB)(6- 15)带惯性的PD控制器所能提供的最大超前相移m < 90，与PD控制器相比较小，但由于引入了一个惯性，带惯性的PD控制器不会提高

15、控制系统幅频特性高频段的斜率，在抑制 系统高频噪声的能力上优于PD控制器。6. 3. 2基于频率响应法的串联超前校正基于频率响应的校正方法是一种简便的校正方法，它是通过引入校正装置改变控制系统的开环频率特性，使系统达到要求的性能指标。控制系统的开环频率特性的形状反应了系统 的性能指标。通常，开环频率特性的低频段反应了闭环系统的稳态性能；中频段反应了闭环系统的动态性能；高频段反应了闭环系统的阶次和抑制噪声的能力。基于频率响应校正的目标就是使校正后的系统的频率特性低频段具有足够的斜率和增益，以满足稳态性能指标的要求；频率特性的中频段以 20dB/dec穿越OdB线并具有足够的宽度，以满足动态性能指

16、标 的要求；高频段具有足够的斜率以满足抑制噪声的要求。超前校正可以为控制系统引入超前相移，通常采用带惯性的PD控制器进行超前校正。由图6 12可以看出，带惯性的 PD控制器在 ： 1/ 时的幅频特性为 OdB，因此它不会改 变待校正系统的低频段特性。而在-1/T时的幅频特性斜率为 0,因此它不会改变待校正 系统高频段斜率。当1/ ： ： 1/T时，带惯性的PD控制器斜率为20dB/dec，引入控制系 统后，将提高控制系统在1/1/T之间的斜率，改善系统的动态性能。从相频特性看，带惯性的PD控制器在1/. 1/T之间引入正的相移，能够提高系统的相位裕度。在'm处,引入的正的相移达到最大值

17、，因而采用带惯性的PD控制器进行超前校正，通常将校正后系K。统的穿越频率选在-m处。具体步骤如下:1) 绘制系统固有部分的开环幅频特性，根据稳态性能指标确定开环增益3）根据动态性能指标的要求，确定系统校正后的相位裕度和穿越频率'，c。4）根据 和'，c，计算超前网络参数 a和T。通常选择 r =%，充分利用网络的超前特性。而因为，c为校正后系统的穿越频率，即校正后系统在该频率点的幅频特性为OdB，故有20lg Go（j c） 1Olga = 0（6- 16）其中，Go为系统固有部分开环传递函数，由上式可求出a值。然后根据式（6-13）可求出1T （6- 17） -m、a5）验证

18、校正后的相位裕度是否满足要求。若不满足要求，则重新选择C,通常增大-c ,重复步骤4 ）和5）直至满足要求。例6-2设有一单位负反馈系统固有部分的传递函数为KGos（0.5s 1）要求校正后系统的性能指标为：开环放大系数K = 20s J，相位裕度50 ,设计超前校正网络。解1）根据开环放大系数的要求，系统固有部分的传递函数为：20G。s（0.5s 1）绘制其幅频特性图，如图 6 15中ABC段所示。由图可知20lg G0的幅值穿越频率： c = 6.3rad/s校正前系统的相位裕度:= 180 -90 -tg(0.5 6.3) =182) 根据系统性能指标要求相位裕度50，采用带惯性的PD超

19、前校正网络Gc(s)=aTs 1Ts 13) 求超前校正网络参数。 通常校正后的系统 Bode图以20dB/dec穿越0dB线并具有足够 的宽度，就可以满足上述的相位裕度的要求。在26.3之间取-4rad /s，对应系统Bode图中的D点，过D点做一20dB/dec的直线，交0dB线于 =10，可知校正后系统的穿越频率 ，c =10。由带惯性环节的 PD控制器的特性可知，令 c二f，可得2 = c2 / h = 102/4 = 25rad/s故超前校正网络参数为Gc(s)-0.25s 10.04s 1校正后系统开还传递函数为Ge(s)20(0"5s 1)s(0.5s 1)( 0.04

20、s 1)4)检验。系统开环放大系数为20,满足要求。相位裕度为= 180 -90 tg'(0.25 10) -tg (0.5 10) -tg(0.05 10)=57.7满足要求。若相位裕度不满足要求，重复第3)步，减小-.1或者增大2，直到满足要求。由上例可知，超前校正可以提高系统穿越频率C，从而提高系统频带宽度。6. 4串联滞后校正本节首先介绍串联滞后校正的特点，然后介绍采用频率响应法确定滞后校正参数的方 法。6. 4. 1滞后校正网络滞后校正就是利用滞后校正网络的或PI控制器的高频幅值衰减特性，使校正后系统截至频率下降，从而使系统获得足够的相位裕度。I控制器和PI控制器都属于滞后网

21、络，而常用的滞后网络的为近似PI控制器，其传递函数为1 aTs / 八 GJs)(a : 1)(6-18)1 +Ts其频率响应为1+ jaTcoGc(j )(a :1)(6 19)1 + jT 其相频特性为Gc( j ) = tg，aT -tg T (a < 1)(6 20)其Bode图如图6 16所示图6 16 近似PI控制器的频率响应图结合图6 16和(6 12)式可以看出，当由0增加到时，'m会在处出现极 值，由d (J/d：=0可以求得(6 21)m = Gc( j 0 = tgj1一 a . a!-a sin2a1 a(6 22)可以看出，滞后校正网络的 m和'

22、m与超前网络具有几乎相同的形式。6. 4. 2基于频率响应法的串联滞后校正滞后校正网络可以改变控制系统中频段和高频段的幅频特性，通常采用近似PI控制器进行超前校正。由图 6 14可以看出，近似 PI控制器在-:1/ .时的幅频特性为 OdB，因 此它不会改变待校正系统的低频段特性。当1/. ： ：1/T时，近似PI控制器斜率为20dB/dec。而在门 1/T时的幅频特性斜率为 0，因此它不会改变待校正系统高频段斜率。 利用近似PI控制器的在中、高频段的衰减作用，使校正后系统的幅频特性曲线以一20dB/dec 的斜率穿越OdB线，同时保持低频段的Bode图不变。引入近似 PI控制器，可以改善系统

23、的动态性能指标，同时不改变系统的稳态性能。利用近似PI控制器进行串联滞后校正应用在当待校正系统的期望穿越频率附近的幅频特性斜率为-20dB/dec,而该频段的开还幅频特性大于OdB，并且开还Bode图的低频段满足要求，即开还放大系数和系统型别已满足要求 时。需要注意的是，由于滞后网络引入了负的相角，在利用滞后网络对系统进行校正时，应 该使校正后的系统穿越频率c离m足够远，一般取校正后的系统的穿越频率-'c为110 20，此时滞后网络在'c处的相位角 G（c） = -5 -3。利用近似PI控制器进行滞后校正的步骤如下：1）绘制系统固有部分的开环幅频特性，根据稳态性能指标确定开环增

24、益K。2）根据确定好的开环增益 K ,计算系统固有部分的相位裕度和穿越频率-'c。3）根据动态性能指标的要求，确定系统校正后的相位裕度和穿越频率-'c。4）根据.c的值确定参数a。滞后网络将待校正系统的幅频特性20lg G0（j ）向下平移20lga，使得校正后系统的幅频特性曲线在c处的幅值为0dB。所以可以由下式计算出a的值：2OlgGe(jc<)|=2OlgG0(jc<) +20lg GJ他；)=20lgG°(jc<) +20lg a = 0 (6 23)确定参数通常取才盘aT，故可由程计算出T的值。5）验证校正后的相位裕度是否满足要求。若不满足

25、要求，则重新选择-c，通常减小重复步骤4 ）和5）直至满足要求。例6 3设待校正系统的传递函数为GoKvs(O.1s 1)(0.2s 1)要求满足性能指标：1）系统型别v =1 ；2）开还增益Kv =25sJ ；3）穿越频率-.c =2.5rad/s ；4）相位裕度_40。试用近似PI控制器对系统进行串联滞后校正。解1）从待校正系统的传递函数可以看出，系统已经满足了型别为1的要求。按开环增益的要求，取Kv =25s，绘制待校正系统的 Bode图如图6 17所示。可以得出，系统穿越频率，c =10.8rad /s，相位裕度 二-22.4。2）由系统对穿越频率的要求、； = 2.5rad / s，

26、可以计算出待校正系统在该频率处的相位裕度为（2.5） =49.4，大于性能指标要求的-40，故可以采用滞后校正的方法。3）根据式（6 23）得到4）取转折频率得到故滞后网络的传递函数为校正后系统的传递函数为20lg G°(j2.5) 20lga =0a =0.11/aT =(1/10) cT = 40sGc 1 4s140 sGe(s)二 Gc(s) G°(s)1 4s ,251 40s s(0.1s 1)(0.2s 1)将-2.5rad /s代入到相位裕度得到'-180 -90 tg 4(0.1 2.5)tg'(0.2 2.5) -tg4(40 2.5)

27、tg 4(4 2.5)二 44.25满足系统性能指标要求，故该方案可行。从上例可以看出，滞后校正会降低系统穿越频率-.c,从而降低频带宽度。6. 5串联滞后超前校正本节首先介绍串联滞后超前校正的特点，然后介绍采用频率响应法确定滞后超前校正参数的方法。6. 5. 1滞后超前校正网络滞后超前校正具有滞后校正和超前校正的特点，常用的滞后超前校正网络的传递函数为Gcas 1 bT2S 1TiS 1T2S 1 13s 1(a : 1,b1)(6 24)式中，宀=1/aT1, 2 =1/T1, - '3 =1/bT2, - '4 =1/T2，可以看出 aT1S 1 为滞后s + 1网络，而

28、 匹空1为超前网络，通常 T1 T2'2 ： '3 ”： ' '4。绘制滞后超前网络的T2S+1Bode图如图6 17所示，可见滞后超前网络不改变系统幅频特性中的低频段和高频段斜率，而在 '3与'4之间可以为系统提供正的相位。6. 5. 2基于频率响应法的串联滞后超前校正串联滞后超前校正结合滞后校正和超前校正的特点。串联超前校正可以提高系统通频带宽度，但是会降低系统抑制高频噪声的能力。而串联滞后校正则会降低系统通频带宽度，但是会降低系统响应速度。而串联滞后超前校正既可以有效提高系统的阻尼程度与响应速度， 又可大幅度增加其开环增益，既提高系统的动态

29、指标，也提高系统的稳态指标。串联滞后超 前校正的设计步骤如下：1）根据稳态性能指标要求确定开环增益K。2）根据确定好的开环增益 K ,计算系统固有部分的相位裕度和穿越频率-。3）在待校正系统幅频特性上，选择斜率从 40dB/dec变为-20dB/dec的交接频率作为滞后超前网络超前部分的交接频率3。这种选择的方法，可以降低校正后系统的阶次，且保证中频段斜率为-20dB/dec，并具有较宽的带宽。4）根据性能指标要求， 选取校正后截止频率-'c ,根据超前校正方法计算出-'4。并根据滞后校正的方法计算出滞后网络的参数a和Ti。5）验证校正后系统的各项性能指标。例6 4设待校正系统

30、的传递函数为G°(s)Ks(s 1)(0.1s 1)设计串联滞后超前网络使校正后系统满足性能指标：1）开环放大系数K =602）穿越频率 'c = 3.5rad /s3）相位裕度-45解1）取K =60 ,绘制系统幅频特性图如图6 16中ABCD所示。可以计算出待校正系统的穿越频率c =7.7rad/s，从而计算处待校正系统的相位裕度 -180 -90 tg'（1 7.7）tg 4（0.1 7.7）=30.2显然不满足系统性能指标的要求。2 22）选取 3 =1rad /s，得到4 二c /'3 = 3.5 /1 = 12.25rad/s，观察系统 Bode

31、图,待校正系统幅频特性由-40dB/dec变为-60dB/dec的交接频率为10 rad/s，为简化校正后系统的形式，取 十=10rad/s。从Bode图中可以看出在弓I入了超前网络后，系统的幅频特性变成了 ABE，根据滞后校正方法，可以计算出a =35/60，取:2 =0.1. c =0.35，则；、=a；.-：2 -1.225/ 60。故滞后超前网络为丄 s+1+1G (s) _ 0.35s 1s7k1.2253）计算校正后系统的相位裕度= 180 -90 -tg"l 3.5)-tg(0.1 3.5)1 1 1 60 1 1tg (3.5) tg (3.5) tg (1 3.5)tg (0.1 3.5)=46.040.351.225满足系统性能指标要求，校正方案可行。还可反馈校正也是一种使用广泛的校正方法，反馈校正不仅可以实现串联校正的功能,以减弱和消除系统元部件参数变化对系统性能指标的影响6. 6. 1反馈校正的原理1 比例负反馈可以减小环节的时间常数 设有惯性环节传递函数为R(s)KTs 1C(s)Hc图6 - 18比例负反馈系统方框图