南京工业大学高等数学-ch8-1ppt课件

1、第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念在现实世界中，许多客观现象或过程的发生和发展都是受多种因素制约的，表现在数学上，就是一个变量依赖于多个变量的问题。涉及多个变量的函数称为多元函数，本章讨论多元函数的微分学及其应用。主要针对二元函数展开讨论，这不仅是因为有关的概念和方法有比较直观的解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然地推广到二元以上的多元函数。1.邻域 P P P P U P U P y ,x P PxOyy xP 00000000 ，即即，邻邻域域，记记为为点点的的的的全全体体，称称为为的的点点小小于于的的距距离离，则则

2、平平面面上上到到平平面面上上的的点点，）是是，（设设0 PU yyxx yx ) , U(P 020200）（）（）（），（也也即即 xy0（x0 ，y0 ）几何意义 PU0，2.区域 设 E 为一平面点集的内点；为则，点的邻域，使若存在：内点E P E) U(P P 111的边界点；为的点，称又有不属于的点，于的任意邻域内，即有属若：边界点 E PE E P 22为开集。称中的点均为其内点，则若：开集 E E 。的边界组成的边界点的全体：边界 E E P1P2En开区域 ： 连通的开集称为开区域，简称区域。的折线连接起来。可用完全属于，中的任意两点系指集合连通的开集：D P PD 21为闭区

3、域。开区域再加上其边界称：闭区域 D P2 P1闭区域闭区域开区域：例如 0 y x y)x,( 4 y x1 y)(x, 0 y x y)(x, 22为无界点集。是有界点集；否则称则称，即，总不超过的距离与定点，使所有点，若存在正数设点集有界点集：E E EPK AP K A EP K E 为无界开区域。为有界闭区域；：例如 0 y x )y(x, 4 y x1 y)x,( 2212xy00yx3. n 维空间维空间 n i x n xxx n xxx n n in21n21维维空空间间记记为为个个坐坐标标。称称为为该该点点的的第第的的点点，而而数数维维空空间间中中称称），（维维空空间间。其

4、其中中每每个个的的全全体体为为），（元元数数组组序序为为取取定定的的自自然然数数，称称有有设设Rn . xy xyxy PQ x x xQ x xxP n 2nn222211n21n21定定义义为为间间的的距距离离），（及及），（维维空空间间中中两两点点离离公公式式。三三维维空空间间中中的的两两点点间间距距一一维维直直线线、二二维维平平面面和和已已经经学学过过的的时时，上上述述公公式式即即为为我我们们，显显见见当当 3 2 1 n 二、多元函数概念二、多元函数概念1. 二元函数二元函数。记为记为的函数，的函数，和和是是，我们也可视，我们也可视且有且有，和高和高依赖于它的底面半径依赖于它的底面半

5、径圆柱体的体积圆柱体的体积来表示；来表示；用用的函数，的函数，和和，可看作变量，可看作变量。温度变量。温度变量，和纬度，和纬度经度经度依赖于该点的依赖于该点的面上一点的温度面上一点的温度在给定的时刻，地球表在给定的时刻，地球表 ) h ,r (V V h r V hr V h r V ) y x, ( f T y x T yx T 2rhVV r2 h V( r , h )二元函数的定义：的的函函数数）。（或或点点的的二二元元函函数数，是是对对应应，则则称称的的法法则则总总有有确确定定值值与与其其按按照照一一定定，变变量量为为平平面面点点集集，若若设设 y)P(x, yx z z D y)P(

6、x, D ) P ( f z ) y ,x ( z z y ,x z ) y x, ( f z 或或，记作记作 D y)(x, y)f(x, z z D ，值域值域定义域定义域数数统统称称为为多多元元函函数数；两两个个或或更更多多自自变变量量的的函函注注： 1 o的的函函数数可可视视作作平平面面上上点点二二元元函函数数y)P(x, y)f(x, z 2o b , a P(x) ) P ( f y 一一元元函函数数D y)P(x, ) P ( f z 二二元元函函数数 z)y,P(x, ) P ( f u 三三元元函函数数点点函函数数 y x ln y y)f(x, 2 1 x 1yx y)f(

7、x, 1 2；并并作作图图求求下下列列函函数数的的定定义义域域，例例 1 x 0 1yx |y)(x, D 1 ，定定义义域域解解：101x1yD 0 y x |y)(x, D 2 2定定义义域域yx0Dxy2二元函数的几何意义： 面面。的的图图形形。为为一一块块空空间间曲曲为为，空空间间点点集集，则则称称的的定定义义域域为为若若 y)f(x, Dy)(x, y)f(x, z z)y,(x, S D y)f(x, z . y x 1 z 2 y x z 1 2222；图形图形试画出下列二元函数的试画出下列二元函数的例例),(yxD),(yxfz xyz0三、二元函数的极限.)()()(0 li

8、m A x -x 0 , 0 , 0 0 xx0AxfxxxfAxf 时时的的极极限限，记记当当是是则则称称时时，恒恒有有当当：复复习习),(),(),(,),(),(),()()(0000002020000yyxxAyxfyxfyyxxyxfAyxfDyxPyyxxPPyyxx A lim A 0 D y,xP D , ) y ,x f(z 000或或的的二二重重极极限限，记记作作时时当当为为，则则称称恒恒有有时时，使使当当，若若的的内内点点或或边边界界点点。为为）（，定定义义域域设设二二元元函函数数极极限限定定义义：式式。点点是是沿沿着着任任意意路路径径的的方方）（点点趋趋向向定定义义中中

9、注注意意： yx,P y)P(x, 0.0),(2 lim 0)y(x x1)siny(xy)f(x, 1 0y0 x22222 yxfy证证明明：设设例例 sin)(x 0 201222 yxy，欲欲使使证证：2221sinyxy 2x，即即 22yx22yx ，即即 22yx sin)( )()( 010022222222yxyxyx恒有恒有时，时，使当，使当故只要取故只要取# ),(lim得得证证000 yxfyx不存在。不存在。证明二重极限证明二重极限例例 lim 2 0y0 x22yxxy 极极限限的的唯唯一一性性。趋趋向向不不同同的的值值，不不满满足足）点点时时，（点点沿沿不不同同

10、路路径径趋趋向向说说明明当当方方法法： ),( yxPy)P(x, 000yxf52420022202022 xxxyxxyxyx 0y0 xlimlim ),(2x y y)x,( 时时点点沿沿着着当当解解：0 xyxy22xy 52420022202022 xxxyxxyxyx 0y0 xlimlim ),(2x y y)x,( 时时点点沿沿着着当当解解：01002042300220022 xxxxxyxxyxyyxxxyxyxlimlimlim ),( ),( 时时沿沿着着当当# lim 不存在。不存在。可推知可推知根据极限存在的唯一性根据极限存在的唯一性2200yxxyyx 0 xyx

11、y22xy 四、二元函数的连续性点点连连续续。在在，则则称称若若复复习习： )( )()(lim 0 xx00 xxfyxfxf 点点连连续续。在在则则称称点点函函数数时时，若若，点点集集设设点点函函数数的的连连续续性性：0000PPfuPfPfDPPPfuPP )( )()(lim , D ),( 连续性定义连续性定义 . 1点连续。点连续。在在则称则称，若若，为平面点集，为平面点集，设设：二元函数的连续性定义二元函数的连续性定义),(),( ),(),(lim ),(),( ),( 00000000yxPyxfzyxfyxfDyxPyxPDyxfzyyxx 上上的的连连续续函函数数。为为此

12、此时时也也称称上上连连续续，在在上上点点点点连连续续，则则称称在在，若若为为开开区区域域（或或闭闭区区域域）设设DyxfDyxfDyxfD ),( ),( ),( 点点的的连连续续性性。在在，讨讨论论例例 ),( 0 , ),( 0000222222 yxyxyxxyyxf lim),(lim 0y0 x不不存存在在，已已知知解解：2200yxxyyxfyx 点点不不连连续续。在在 ),( ),( 00yxf值值各各一一次次。小小上上至至少少取取得得最最大大值值和和最最在在则则上上连连续续，在在有有界界闭闭区区域域若若最最值值定定理理：DyxfDyxfz ),( ),( 2.闭区域连续函数的性

13、质至至少少一一次次。这这两两个个值值之之间间的的任任何何值值上上可可取取得得介介于于它它在在可可取取得得两两个个不不同同值值，则则上上在在上上的的多多元元连连续续函函数数，若若闭闭区区域域介介值值定定理理：DDD 一一次次。最最小小值值之之间间任任何何值值至至少少上上的的最最大大值值和和则则其其必必可可取取得得介介于于它它在在上上连连续续，在在有有界界闭闭区区域域特特别别地地，若若 ),(DDyxf定定义义区区域域内内连连续续。一一切切多多元元初初等等函函数数在在其其性性质质；似似一一元元连连续续函函数数的的运运算算多多元元连连续续函函数数有有完完全全类类注注： sinlim 3 lim 2

14、lim 1 1 0y0 x计算下列二重极限计算下列二重极限例例xxyxyxyyxyxyxyx 42002131 410求某些二重极限。求某些二重极限。数极限的方法，数极限的方法，可以借助一些求一元函可以借助一些求一元函注：注： 的的连连续续性性。，讨讨论论例例 ),( ),( 0 ),(),( , sin),( 2 00002222yxyxyxyxyxf 。为为二二元元初初等等函函数数，连连续续时时，当当解解：),( ),(),( 1yxfyx00 00000 ),( ),(),( 2fyx时时，当当),(limyxfyx00 ？任任意意变变化化）（时时，当当作作极极坐坐标标变变换换 ),(),( , sincos 00022 yxryxryrxr rcos2 0 cos 及及12),( 00f 020 )cossin(lim),(lim 0y0 xryxfr # ),(21续续。在在整整个个实实平平面面上上点点点点连连的的讨讨论论可可知知，、综综合合yxf# ),(lim lim sin),( ),(lim 2 0y0 x00000220022222222222222 yxfyxyxyxyxyxyxyxyxyxfyxfyxyx利利用用夹夹挤挤准准则则，由由也也可可以以用