湖北省高考数学复习知识点按难度与题型归纳(数学应试笔记)

1、v1.0可编辑可修改湖北省高考数学复习知识点按难度与题型归纳(数学应试笔记)一、填空题答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石A14题，基础送分题，做到不失一题！A1.集合性质与运算1、性质:任何一个集合是它本身的子集，记为AA；空集是任何集合的子集，记为A；空集是任何非空集合的真子集；如果AB,同时BA,那么A=B.如果AB,BC,那么AC.【注意】：Z=整数(，)Z=全体整数(X)已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.(X)空集的补集是全集.若集合A=集合B,则CA=,CB=G(田=D(注：GB=).2、若A=ai,a2,a3“|an,则A的子

2、集有2n个，真子集有2n1个，非空真子集有2n2个.3、硝(BUC)(AB)U(A，C)，AU(BC)AUBMAIC)；(AB)CA(BC),(AjB)JCAJ(BC)4、DeMorgan公式：(AB)CUAJCUB；CU(a|JB)CUaQCUB.【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。A2.命题的否定与否命题* 1.命题pq的否定与它的否命题的区别：命题pq的否定是pq,否命题是pq.命题“p或q”的否定是“p且q”，“p且q”的否定是“p或q”.* 2.常考模式：全称命题p：x

3、M,p(x);全称命题p的否定p：xM,p(x).特称命题p：xM,p(x)；特称命题p的否定p:xM,p(x).A3.复数运算mnmnm、nmnmmm,* 1.运算律：zzz；(z)z;(zz2)z1z2(m,nN).【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围*2.模的性质: | Z1Z2 I |Zi IIZ2I ;|Zl Izn.*3.重要结论: I z1 z2I2I z1z2I2 2(|zi|2 | Z2 |2) Z1 Z2i性质:T=4;.4ni,i1,2i1 i(4)1 i.4ni, i【拓展】：3-Ji2所有的哥函数在（0,）都有定义，并且图像都过点(1,1)；(2)a

4、0时，哥函数的图像通过原点，并且在区间0,）上是增函数.特别地，当 a 1时，哥函数的图A4.募函数的的性质及图像变化规律:14（3） a 0时，哥函数的图彳t在区间（0,像下凸；当0a1时，哥函数的图像上凸;）上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图像在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图像在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.【说明】：对于哥函数我们只要求掌握a12311的这5类，它们的图像都经过一个定点（0,0）和（0,1）,23并且x1时图像都经过（1,1）,把握好哥函数在第一象限内的图像就可以了A5.统计1 .抽样方法：（1）简单随机抽样（抽签法、随机样数表法）常常用于总

5、体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取（2）分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的概率都相等（口）.N2 .总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率总体估计掌握：一“表”（频率分布表）；两“图”（频率分布直方图和茎叶图）.频率分布直方图频率分布直方图就是以图形面积用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小频率=sSf.，、，一，频率,一小长方形面积=组距X4上=频率.组距所有小长方形面积的和=各组频率和=1.【提醒】：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频

6、率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率.茎叶图当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数,这种表示数据的图叫做即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子,茎叶图。3 .用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；-1-1n样本平均数：x(x1x2xn)xinni14.用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差).(1) 一组数据 x1, x2, x3, xn样本方差S2 4(x1 x)2 (x2 x)2 n1 no(xn x) (xi x)n i 11nc 1n c-(xi )(x )n i 1n i 1

7、样本标准差后 Jn(xx)(x2x)2(xn2x)=(xix)2(2)两组数据 x1, x2, x3, xn 与 y1，y2, y3,yn,其中 yaxb , i 1,2,3, n .则ax b ,它们的方差为Sy2 a202,标准差为y |a| x若x1,x2,|“，xn的平均数为x ,方差为s2,则ax1b, ax2 b, 11J, axn b的平均数为ax b ,方差222样本数据做如此变换：xiaxib,则xaxb,(S)aS.日(59,中档题，易丢分，防漏/多解)B1.线性规划1、二兀一次不等式表布的平面区域：(1)当 A 0 时，若 Ax By C(2)当 B 0 时，若 Ax B

8、y C0表示直线l的右边，若Ax0表示直线l的上方，若AxBy C 0则表示直线l的左边.By C 0则表示直线l的下方.A1A2B1B2 0),则2、设曲线C:(AiXByCi)(A2XB2yC2)0(AxB1yG)(AxB2yC2)0或0所表示的平面区域:两直线AxByCi0和AxB2yC20所成的对顶角区域(上下或左右两部分)3、点R(Xo,yo)与曲线f(x,y)的位置关系:若曲线f(x,y)为封闭曲线(圆、椭圆、曲线|x a| | y b| m等)，则 f(xo,y。) 0,称点在曲线外部;若f(x,y)为开放曲线(抛物线、双曲线等)，则f(x0,y0)0,称点亦在曲线“外部”.4、

9、已知直线l:AxByC0,目标函数zAxBy.当B0时，将直线l向上平移，则z的值越来越大；直线l向下平移，则z的值越来越小；当B0时，将直线l向上平移，则z的值越来越小；直线l向下平移，则z的值越来越大；5、明确线性规划中的几个目标函数(方程)的几何意义：(1) zaxby,若b0,直线在y轴上的截距越大，z越大，若b0,直线在y轴上的截距越大,z越小.(2)表示过两点x,y,n,m的直线的斜率，特别上表示过原点和n,m的直线的斜率.xnx22(1) txmyn表不圆心固te,半径变化的动圆，也可以认为是二兀方程的覆盖问题.(4) yyxmyn表示x,y到点0,0的距离.(5) F(cos,

10、sin)；|AxoBy。C|(6) dJ；,A2B2a2abb2；【点拨】：通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点(cos,sin)及余弦定理进行转化达到解题目的。B2.三角变换：三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换.三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万能公式为基础.三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决.三角变换是指角(“配”与“凑”)、函数名(切割化弦)、次数(降与升)、系数(常值“1”)和运算结构(和与积)的

11、变换，其核心是“角的变换”.角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.变换化简技巧：角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，“1”的变幻，设元转化，引入辅角，平方消元等.具体地:(1)角的“配”与“凑”：掌握角的“和”、“差”“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变形技巧,如下:2(2(154530 ,754530(2) “降哥”与“升骞”(次的变化)利用二倍角公式cos22cos. 2 sin22cos22sin和二倍角公式的等价变形2sin1 cos22，2cos1 sin 22,可以进行“升”与“降”的变换，即“二次”与“一次”的

12、互化.(3)切割化弦(名的变化)利用同角三角函数的基本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角函数，以便于解题.经常用的手段是“切化弦”和“弦化切”(4)常值变换常值1着W，1, 3可作特殊角的三角函数值来代换.此外，对常值 “1”可作如下代换：1 sin2 x cos2 x sec x tan2x tanx cotx 2sin 30tan sincos042III 等.(5)引入辅助角cos般的，a sin b cosa2b2(a.a2 b2sincossin(aa2=b2,sinba2 b2,tan特别白勺,sinAcosA2sin(A);sinx/scosx2sin(x-),73sinxc

13、osx2sin(x&)等.(6)特殊结构的构造构造对偶式，可以回避复杂三角代换，化繁为简举例：Asin220cos250sin20cos50,Bcos20sin250cos20sin501._可以通过AB2sin70,ABsin70两式和，作进一步化简.2(7)整体代换举仞sinxcosxm2sinxcosxm21sin()m,sin()n,可求出sincos,cossin整体值，作为代换之用.B3.三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点.(1)角的变换因为在ABC中，ABC(三内角和定理)，所以任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三

14、个角的半角总互余锐角三角形：三内角都是锐角；三内角的余弦值为正值；任两角和都是钝角；任意两边的平方和大于第三边的平方即，sinAsin(BC);cosAcos(BC);tanAtan(BC).ABCABCABCsincos；cossin；tancot.222222(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理.面积公式:13absinCrp.p(pa)(pa)(pa).ABBCCA其中r为二角形内切圆半径，p为周长之半.tantantantantantan222222对任意ABC,;在非直角ABC中，tanAtanBtanCtanAtanBtanC.(4)在ABC中，熟记并会证明:*

15、1.A,B,C成等差数列的充分必要条件是B60*2. ABC是正三角形的充分必要条件是A,B,C成等差数列且a,b,c,成等比数列.*3.三边a,b,c成等差数列*4.三边a,b,c,成等比数列(5)锐角 ABC 中，A B 2AC12bac2sinAsinBsinCtantan；B.2233一2一2bacsinAsinBsinC,B2yzcosA2xzcosB2xycosC.B4.三角恒等与不等式组一3sin3 3sin 4sin ,cos3sin sin sin sin4cos3 3cos22cos costan 333tantantantan(一)tan(一)13tan233组二tanA

16、tanBtanCsinAsinBsinCcosAcosBcosCtanAtanBtanCABC4cos-coscos22214sin公sinBsinC22222_2_sinAsinBsinC22cosAcosBcosC组三常见三角不等式(1)若x(0,5),则sinxxtanx；(2)若x(0,),则1sinxcosx1；一一sinx(4) f(x)在(0,)上是减函数;xB5.概率的计算公式：古典概型:P(A)A包含的基本事件的个数基本事件的总数等可能事件的概率计算公式：p(A)沮电；ncard(I)互斥事件的概率计算公式：P(A+B)=RA)+RB)；对立事件的概率计算公式是：P(A)=1

17、RA);独立事件同时发生的概率计算公式是：RA?场=P(A)?RB);独立事件重复试验的概率计算公式是：kknkPn(k)CnP(1P)(是二项展开式(1小叶的第(k+1)项).几何概型：若记事件A=任取一个样本点，它落在区域g，则A的概率定义为g的测度构成事件A的区域长度(面积或体积等)P(A)的测度试验的全部结果构成的区域长度(面积或体积等)注意：探求一个事件发生的概率，常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在

18、n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件.事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件.【说明】：条件概率：称P（B|A）P（AB）为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。P（A）注意：0P（B|A）1；P（BUC|A尸P（B|A）+P（C|A）。B6.排列、组合（1）解决有限制条件的（有序排列，无序组合）问题方法是：位置分析法小士尸斗用加法原理（分类）元素分析法直接法：用乘法原理（分步）插入法（不相邻问题）捆绑法（相邻问题）间接法：即排除不符合要求的情形一般先从特殊元素和特殊位置入手.（2）解排列组合问题的方法有：特殊元素、特殊位置优先法元素优先

19、法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）。相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。不相邻（相间）问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。多排问题单排法。多元问题分类法。有序问题组合法。选取问题先选后排法。至多至少问题间接法。相同元素分组可采用隔板

20、法。?涂色问题先分步考虑至某一步时再分类.（3）分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n!.B7.最值定理x,y0,由xy2jE，若积xyP（定值），则当xy时和xy有最小值2Jp；x,y0,由xy2Jxy,若和xyS（定值），则当xy是积xy有最大值-s2.4【推广】：已知x,yR,则有（xy）2（xy）22xy.（1）若积xy是定值，则当|xy|最大时，|xy|最大；当|xy|最小时，|xy|最小.（2）若和|x y|是定值，则当|x y|最大时,|xy|最小；当|x y|最小时，|xy|最大.已知a,x,b,yR,若axby1,则有:11(ax by)()

21、 x ym,n上的最值；二是求区间定（动），对byaxabab2xyaba,x,b,yR,若一一1则有：xyxyB8.求函数值域的常用方法:配方法：转化为二次函数问题，利用二次函数的特征来求解;【点拨】：二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意开口方向和对称轴与所给区间的相对位置关系.逆求法：通过反解，用y来表示x,再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围，型如ya-b,x（m,n）的函数值域；cxd换元法：化繁为间，构造中间函数，把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式

22、模型，通过代换构造容易求值域的简单函数，再求其值域；三角有界法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，如转化为只含正弦、余弦的函数，再运用其有界性来求值域；不等式法：利用基本不等式ab2b（a,bR）求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积k一为定值，型如yx一（k0）,解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技x巧；单调性法：根据函数的单调性求值域，常结合导数法综合求解；数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，可根据函数的几何意义，如斜率、距离、绝对值等，利用数与形相互配合的方法来求值域；分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题

23、，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，进而可利用函数单调性确定其值域.判别式法：对于形如ya1x2nxc（a1，a2不同日为0）的函数常采用此法.a2xb2xc2【说明】：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：1.yb型，可直接用不等式性质；kx22. ybx型，先化简,mx n再用均值不等式;23. yX2mXn型,通常用判别式法;xmxn24. y一mxn型,可用判别式法或均值不等式法;mxn?导数法：一般适用于高次多项式函数求值域B9.函数值域的题型（一）常规函数求值域：画

24、图像，定区间，截段.常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数（二）非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域解题步骤：（1）换元变形；（2）求变形完的常规函数的自变量取值范围；（3）画图像，定区间，截段。（三）分式函数求值域：四种题型cxdCycxd(a0)：则y且yR.axbacxd.x的范围解不等式求 y的范围.（2）yC一-（x2）：利用反表示法求值域。先反表示，再利用axb2x23x26x2x1(2x1)(x2)x2,11口y(x-)，则y-Uy1且yR.(2x1)(3x1)3x1232x1(4)求y2x1的值域,当xR时，用判别式法求值域。x2

25、x12x12.一._.2,一一y-yx(y2)xy10,(y2)4y(y1)0值域.xx1（四）不可变形的杂函数求值域：利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲解（五）原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域（六）已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围.B10.应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：凑系数（乘、除变量系数）.例1.当0x4时，求函的数yx（82x）最大值

26、.5凑项(加、减常数项)：例2.已知x -,求函数f (x) 4x 41F的最大值.2调整分子：例 3.求函数f(x) -一7x 10(x1)的值域;x 1a b 变用公式：基本不等式 J06有几个常用变形：22.2a bab,()2 ab ,22a b a b22(ab)2.前两个变形很直接，后两个变形则不易想到，应重视；例 24.求函数15y 72x1 J5 2x( x )的最大值； 22，、一一,一 ，、2 16连用公式：例 5.已知a b 0,求y a 的取小值；b(a b)1lnv对数变换：例 6.已知x -, y 1 ,且xy e ,求t (2x) y的最大值；三角变换：例7.已知

27、0 y x ,，且tanx 3tan y,求t x y的最大值;常数代换(逆用条件):例8.已知a 0,b 0 ,且a 2b 1 ,求t1 1的取小值.a bB11. “单调性”补了 “基本不等式”的漏洞:平方和为定值若x2 y2 a (a为定值，a 0),可设xTa cos ,y Va sin ,其中 0w f (x, y) x y a sin . a cos.152asin(一)在0,- ,- ,2 )上是增函数，在44415 一， 一,上是减函数；44_1-13 g(x, y) xy -asin2 在0 -,244函数；571357一,-,2 )上是增函数，在，一,-，上是减444444

28、1 m(x, y) x1 x y y xysin cosa sin cos令 t sin cos V2asin( 一), 其中4t 2, 1)IJ( 1,1)U(1,/c,0）,（0,7c上是减函数，在（，Jc,Jc,）上是增x函数；当c0时，在（，0）,（0,）上是增函数；当c 0时，在Jc,0）,（0, Jc上是减函数，在e11xy1cmm(x,y)(x)xyxycx(,c,、c,）上是增函数;0时，在（,0）,（0,）上是减函数; n(x, y) x2(x-)2 x2c在(Vc）,（0, Jc上是减函数，在（Vc,0, Tc,）上是增函数.倒数和为定值一 ），则 y yc-.成等差数列且

29、均不为零，可设公差为z ,其中zx f (x)1 z,-y2dz,得x.当d数；当d 0时，在（ g(x, y) xy数；当d 0时,d1 dzy0时,在（1、，1%,一）,（ 一,0上是增函数，在 d dd2d.当d 0时，在( d z1、，1 一 ,，-;）,（二,0上是减函数,在 d d1、，1 c,rc 1、，1,-）,（二,0上是减函数，在0,二）,（二, d dd d-1、 ， 1、 一0,-）,（-,）上减函数；d d1、， 1iz1,d）X彳,0上是减函数，在”丐,10, d),(）上是增函数;）上是增函）上是增函 n(x, y)_22 22d (d z 1) 人2 22.(d

30、2z2 1)2其中t1且t 2n(x,y)手 (t 2)2d2在1,2）上是增函数，在4（2,）上是减函数.B12.理解几组概念* 1.广义判别式设f(x)是关于实数x的一个解析式，a,b,c都是与x有关或无关的实数且a0,则b24ac0是2万程af(x)bf(x)c0有实根的必要条件，称“为广义判别式.* 2.解决数学问题的两类方法：一是从具体条件入手，运用有关性质，数据，进行计算推导，从而使数学问题得以解决；二是从整体上考查命题结构，找出某些本质属性，进行恰当的核算，从而使问题容易解决，这一方法称为定性核算法.* 3.二元函数设有两个独立的变量x与y在其给定的变域中D中，任取一组数值时，第

31、三个变量Z就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量Z称为变量x与y的二元函数.记作：Zf(x,y).其中x与y称为自变量，函数Z也叫做因变量，自变量x与y的变域D称为函数的定义域.把自变量x、y及因变量Z当作空间点的直角坐标，先在xoy平面内作出函数Zf(x,y)的定义域D;再过D域中得任一点M(x,y)作垂直于xoy平面的有向线段MP,使其值为与(x,y)对应的函数值Z;当M点在D中变动时，对应的P点的轨迹就是函数Zf(x,y)的几何图形.它通常是一张曲面，其定义域D就是此曲面在xoy平面上的投影.* 4.格点在直角坐标系中，各个坐标都是整数的点叫做格点(又称整数点).在数论中，有

32、所谓格点估计问题.在直角坐标系中，如果一个多边形的所有顶点都在格点上，这样的多边形叫做格点多边形.特别是凸的格点多边形，它是运筹学中的一个基本概念.* 5.间断点我们通常把间断点分成两类：如果x0是函数f(x)的间断点，且其左、右极限都存在，我们把称为函数f(x)的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点* 6.拐点连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点如果yf(x)在区间(a,b)内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定yf(x)的拐点.(1)求f(x);(2)令f(x)0,解出此方程在区间(a,b)内实根；(3)对于(2)中解出的每一个实根%,检查f(x)在

33、Xo左、右两侧邻近的符号，若符号相反，则此点是拐点，若相同，则不是拐点.* 7.驻点曲线f(x)在它的极值点小处的切线都平行于x轴，即f(%)0.这说明，可导函数的极值点一定是它的驻点(又称稳定点、临界点)；但是，反之，可导函数的驻点，却不一定是它的极值点v1.0可编辑可修改* 8.凹凸性定义在D上的函数f(x),如果满足：对任意x1,x2D的都有f(x_xi)1f(x1)f(X2),则称是f(x)上22的凸函数.定义在D上的函数如果满足：对任意的xi,x2D都有f(x一x)-f(x1)f(x2),则称f(x)是D上22的凹函数.【注】：一次函数的图像(直线)既是凸的又是凹的(上面不等式中的等

34、号成立)若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的下方，则称这段弧是凹的；若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的上方，则称这段弧是凸的.连续曲线凹与凸部分的分界点称为曲线的拐点B13.了解几个定理* 1.拉格朗日中值定理：如果函数yf(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c,使f(b)f(a)(ba)f(c)成立.这个定理的特殊情形，即：f(b)f(a)的情形.描述如下：若(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且(a)(b),那么在(a,b)内至少有一点c,使(c)0成立.* 2.零点定理：设函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)f(b)0

35、.那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点(avvb)使f()0.* 3.介值定理：设函数f(x)在闭区间a,b上连续，且在这区间的端点取不同函数值，f(a)A,f(b)B,那么对于A,B之间任意的一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点，使得f()C(avvb).* 4.夹逼定理：设当0|xx0|时，有g(x)f(x)h(x),且limg(x)limh(x)A,则必有limf(x)AxXoxx0xXo【注】：|xXo|：表示以xo为的极限，则|xxo|就无限趋近于零.(为最小整数)C 10 12，思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力115C1.线段的定比分点公式

36、设P(X1,y1)，P2(X2,y2),P(x,y)是线段RF2的分点，是实数，且PPPP2(或际=市1),Xi1_y_y2OPOP1OP21OP靛(1t)OP2(t-)1v1.0可编辑可修改24y推广1：当1时，得线段P|P2的中点公式：xyiXi_y22-x22-推广2:AM则而MBPAPB对应终点向量）.三角形重心坐标公式：ABC勺顶点xAx1，y1，Bx2,y2,Cx3,y3，重心坐标Gx,y：Xx2x33yy2y33注意：在ABC中，若0为重心，则OAOBOC0,这是充要条件.【公式理解】：*1.入唱键（，1）PP3P2P2（内分）入0若P与P1重合，入=0P外分）入0(入-1)夕卜

37、分）入0(-1入0)与P2重合,不存在离P2Pi无穷远,*2.中点公式是定比分点公式1的特例；*3.始点终点很重要，如若P分PP2的定比P分P2P的定比入=2；*4.X1,%,X,知三求一;*5.利用有界性可求一些分式函数取值范围;*6.OP=10A2OB则121是三点P、AB共线的充要条件.C2.抽象函数抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式,只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题求解抽象函数问题的常用方法是:（1）借助模型函数探究抽象函数:正比例函数型:f(x)cxf(Xy)f(x)f(y),f(1)c.指数函数型:f(x)f(xy)f(x)f(

38、y),f(xy)M,f(1)a0.对数函数型:f(x)lOgaxf(xy)f(x)f(y),f(-)yf(x)f(y),f(a)1(a0,a1).哥函数型:f(x)xf(xy)f(x)f(y),f(1)xf(x),f(-)yf(y)三角函数型：f(x)cosx,g(x)sinx，f(xy)f3f(y)g(x)g(y)，f1,呵f(x)tanx,f(xy)f(x)f(y)1f(x)f(y)sinx1.(2)利用函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性等)进行演绎探究:(3)利用一些方法(如赋值法(令x=0或1,求出f(0)或f(1)、令yx或yx等)、递推法、反证法等)进行逻辑探究。C3.函

39、数图像的对称性(1)一个函数图像自身的对称性ab性质1:对于函数yf(x),若存在常数a,b,使得函数定义域内的任意x,都有的图像关于直线x对2称.【注】：f(amx)f(bmx)(m0)亦然.【特例】，当ab时，f(ax)f(ax)f(x)的图像关于直线xa对称.【注】：f(x)f(2ax)亦然.性质2：对于函数yf(x),若存在常数a,b,使得函数定义域内的任意x,都有f(ax)f(bx)f(x)的ab图像关于点(,0)对称.2【特例】：当ab时，f(ax)f(ax)f(x)的图像关于点(a,0)对称.【注】：f(x)f(2ax)亦然.事实上，上述结论是广义奇(偶)函数的性质.性质3:设函

40、数yf(x),如果对于定义域内任意的x,都有f(amx)f(bmx)(a,b,mR,且m0),则a,一，ab,yf(x)的图像关于直线x对称.(这实际上是偶函数的一般情形)广义偶函数.2性质4:设函数yf(x),如果对于定义域内任意的x,都有f(amx)f(bmx)(a,b,mR,且m0),ab.则yf(x)的图像关于点(,0)对称.(实际上是奇函数的一般情形)广义奇函数.2【小结】函数对称性的充要条件函数关系式(xR)对称性f(x)f(x)函数f(x)图像是奇函数f(x)f(x)函数f(x)图像是偶函数f(x)f(2ax)或f(ax)f(ax)函数f(x)图像关于直线xa对称f(x)2bf(

41、2ax)或f(ax)2bf(ax)函数f(x)图像关于点P(a,b)对称【注】：这里代数关系式中两个“f”(对应法则)内的“x”(变量)前的正负号相异，如果把两个“f放在“的两边，则“f”前的正负号也相异.因为对称性关乎翻转(2)两个函数图像之间的对称性1.函数f(x)与yf(x)的图像关于直线2.函数f(x)与yf(x)的图像关于直线y0对称.x0对称.3.函数f(x)与yf(x)的图像关于原点(0,0)对称.4.函数f(x)与它的反函数yf1(x)的图像关于直线yx对称.5.函数f(amx)与yf(bmx)的图像(a,b,mR,m0)关于直线bax对称.2m特别地，函数yf(ax)与yf(

42、bx)的图像关于直线C4.几个函数方程的周期(约定a(1)若f(x)f(xa),或f(x0)a)2f(xa-),则f(x)的周期T2(2)若f(x)f(xa)0,或f(xa)/axf(x-)2f(xa、一,一)，或fxa21(f(x)fx0),faxx为偶函数fax为奇函数为偶函数f(x)f2(x)f(xa),(f(x)0,1)，则f(x)的周期T2a；f(x)(f(x)f(xa)0),则f(x)的周期T(4)若为偶函数f(xa)f(x)1f(x)或f(xa)f(a)1(f(xJg1,0(5)若f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)xfax，或fxx为奇函数1f(x)一-,或1f(x)2a

43、),则f(x)f(x4a)f(x)的周期Tf(X1)f(X2)且1f(xjgf(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的周期T5a;(6)若f(xa)f(x)f(xa),则f(x)的周期T【说明】函数yfx满足对定义域内任一实数x(其中a为常数)，都有等式成立.上述结论可以通过反复运用已知条件来证明C5.对称性与周期性的关系定理1：若定义在R上的函数f(x)的图像关于直线xa和xb(ab)对称，则f(x)是周期函数，且是它的一个周期推论1：若函数f(x)满足f(ax)f(ax)及f(bx)f(bx)(ab),则f(x)是以2ab为周期的周期函数.定理2：若定义在R上的函数f(x

44、)的图像关于点(a,0)和直线xb(ab)对称，则f(x)是周期函数，且4ab是它的一个周期.推论2：若函数f(x)满足f(ax)f(ax)及f(bx)f(bx)(ab),则f(x)是以4ab为周期的周期函数.定理3：若定义在R上的函数f(x)的图像关于点(a,y)和(b,y0)(ab)对称，则f(x)是周期函数，且2ab是它的一个周期.推论3：若函数f(x)满足f(ax)f(ax)2y0及f(bx)f(bx)2y0(ab),则f(x)是以2ab为周期的周期函数.C6.函数图象的对称轴和对称中心举例函数满足的条件对称轴(中心)满足faxfax的函数yfx的图像或fxf2ax,fxf2axxa满

45、足faxfax的函数yfx的图像或fxf2ax,fxf2axa,0满足faxfbx的函数yfx的图像abx2满足faxfbx的函数yfx的图像丫02满足fxfx的函数yfx的图像(偶函数)x0满足fxfx的函数yfx的图像(奇函数)0,0满足yfax与yfbx的两个函数的图像bax2满足yfx与yfx的两个函数的图像x0满足yfx与yfx的两个函数的图像y0C7.函数周期性、对称性与奇偶性的关系1、定义在R上的函数f(x),若同时关于直线xa和x2a对称，即对于任意的实数x,函数f(x)同时满足f(ax)f(ax),f(2ax)f(2ax),则函数f(x)是以T2a为周期的周期函数，且是偶函数

46、2、定义在R上的函数f(x)，若同时关于直线xa和点(2a,0)对称，即对于任意的实数x,函数f(x)同时满足f(ax)f(ax),f(2ax)f(2ax),则函数f(x)是以T4a为周期的周期函数,且是奇函数.3、定义在R上的函数f(x),若同时关于点(a,0)和直线x2a对称，即对于任意的实数x,函数f(x)同时满足f(ax)f(ax),f(2ax)f(2ax),则函数f(x)是以T4a为周期的周期函数,且是偶函数.4、定义在R上的函数f(x),若同时关于点(a,0)和点(2a,0)对称，即对于任意的实数x,函数f(x)同时满足f(ax)f(ax),f(2ax)f(2ax),则函数f(x)

47、是以T2a为周期的周期函数,且是奇函5、若偶函数f(x)关于直线xa对称，即对于任意的实数x,函数f(x)满足f(ax)f(ax)，则f(x)是以T2a为周期的周期函数.6、若偶函数f(x)关于点(a,0)对称，即对于任意的实数x,函数f(x)满足f(ax)f(af(x)是以T4a为周期的周期函数.7、若奇函数f(x)关于直线xa对称，即对于任意的实数x,函数f(x)满足f(ax)f(ax)，则f(x)是以T4a为周期的周期函数.8、若奇函数f(x)关于点(a,0)对称，即对于任意的实数x,函数f(x)满足f(ax)f(af(x)是以T2a为周期的周期函数.【拓展】：1、若函数yf(xa)为偶

48、函数，则函数yf(x)的图像关于直线2、若函数yf(xa)为奇函数，则函数yf(x)的图像关于点(a,0)对称.3、定义在R上的函数f(x)满足f(ax)f(ax),且方程f(x)0恰有2n个实根，则这2n个实根的和为2na.4、定义在R上的函数yf(x)满足f(ax)f(bx)c(a,b,c为常数)，则函数yf(R的图像关于点(ab,c)对称.22v1.0可编辑可修改C8.关于奇偶性与单调性的关系 如果奇函数y f(x)在区间0,上是递增的，那么函数y f(x)在区间,0上也是递增的；如果偶函数y f (x)在区间0,上是递增的，那么函数y f(x)在区间,0上是递减的；【思考】：结论推导C 9.几何体中数量运算导出结论数量运算结论涉及到几何体的棱、侧面、对角面、截面等数量关系及几何性质1.在长方体(a,b,c)中：体对角线长为a2b22c ,外接球直径2R-2；-224ab c ；棱长总和为4(a bc)；全(表)面积为2(abbcca),体积 V abc；体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为cos2 +cos2 +cos2 =1, sin 2+sin 2 +sin2