2016-2017学年高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例课时训练新人教A版必修4

1、2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例一、向量在平面几何中的应用1 .利用向量研究平面几何问题的思想向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，因此，用向量解决平面几何问题，就是将几何的证明问题转化为 _的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作.2 .向量在平面几何中常见的应用已知a = (“J, b=化2).(1) 证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：a/ b= a = b= _ = 0(b 0)(2) 证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件

2、：a - b：= a b = 0：二 _= 0(其中a，b为非零向量)(3) 求夹角问题，若向量a与b的夹角为二，利用夹角公式：cos =_二_ (其中a，b为非零向量)(4 )求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：1 aF- ，T或|AB|=|AB| =_(其中代B两点的坐标分别为(x3, y3)，(y4)(5 )对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题3 .禾 U 用向量解决平面几何问题的步骤(1) 建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为

3、向 量问题；(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3) 把运算结果“翻译”成几何关系 .这其实也是用向量法解决其他问题的思路，即从条件出发，选取基底，把条件翻译成向量关系式(用2基底表示其他向量），然后通过一系列的向量运算，得到新的向量关系式，则这个新的向量关系式的几何解释就是问题的结论二、向量在物理中的应用向量是在物理的背景下建立起来的，物理中的一些量，如位移、力、速度（加速度）、功等都与向量有着密切的联系，因此可以利用向量来解决物理中的问题具体操作时，要注意将物理问题转化为向量关系式，通过向量的运算来解决，最后用来解释物理现象1 .向量与力向量是既有 _又有_

4、的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力的三要素是大小、方向和作用点，所以用向量知识解决力的问题，通常要把向量_到同一作用点上2 .向量与速度、加速度及位移速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算 解决速度、加速度和位移等问题时， 常用的知识主要是向量的 _、_ 以及_ 运算，有时也借助于坐标运算来处理3 .向量与功、动量力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的_ ,W W = =F F s s = F F| | s| cosr（r为F和s的夹角）.动量mv实际上是_ 向量.参考答案：忖 7 電二晅订龍 r 笑匚曜曆M

5、靈晅F龜二晅订舄R.W.TsgK膻一、1.向量2. (1)为丫2 X2yi(2)XMy2(3)a b ab &X1X2+ yiy2(4)JM2+yjJ%2 &2)+(y32 y/)：12+%2第22*22_ 、 1. 大小方向平移2. 加法减法数乘3. 数量积数乘重点：平面几何中的垂直、长度以及夹角问题难点：利用向量方法解决其他实际问题 .3易错：向量应用中对向量关系式表达的向量之间的相互关系判断错误.41.- 重点平面几何中的垂直问题【归纳总结】用向量法解决平面几何问题，一般来说有两个方向：(1) 几何法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底),将题中涉及的向量用

6、基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；(2) 坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、 垂直、平行等问题转化为代 数运算一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法2.重点平面几何中的长度问题平面几何中求线段的长度问题，在向量中就是求向量的模的问题，可适当构造向量，利用向量知识求解.如图，平行四边形ABCD，已知AD=1,AB=2,对角线B=2,则对角线AC的长为.对于线段垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式(向量的数量积为 0)，而对于这一条件的应用，可如图，在正方形ABCDh E, F分别是AB BC的中

7、点，求证:AF! DE.【答案】见解析【解析】方法一设AD二a,AB二b，则|a |=|b|,a b二0,又是总AEa b,2ab13所以AF DE =(b ) ( a -)=a2a222441 a|2-| b|2= 0.2故AF_DE，即AF!DE方法二如题图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为-1T所以AF =(2,1),DE =(1,-2).因为AF DE =(2,1) (1,-2)= 2-2 =0,2，则A(0,0),Q0,2),曰 1,0),F(2,1),_ DE，即AF丄DE所以5AE =( _2a,a), BF =(a, 2a).设向量AE,BF的夹角为【答案】-.6【解析】设

8、AD二a, AB=b，贝y-| BDhI a b|= |a |2-2a b | b皿厂4匚2a_b二$5匚2a_b,BD =a - b, AC =a b.r2| BD | =5 -2ab=b=4, |AC|=| a b| a |22a b | b I2= . 52a b八6，即AC【名师点评】 用向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解,一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，利用公式| a |2二a2求解；二是建立平面直角坐标系,确定相应向量的坐标，代入公式求解，即若a =(x, y)，则| ax2y2.3.重点平面几何中的夹角问题等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦

9、值为A.B.C.D.【答案】A【解析】如图，分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设A(2a,0), B(0,2a)，则F(a,O), E(O,a),6AE BF(2a,a) (a匚2a)|AE| |BF、5a . 5a【思路点拨】 根据已知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为x轴和y轴，分别设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模，进而 求得夹角的余弦值4 .难点平面向量在物理中的应用一质点受到平面上的三个力Fi、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态.已知Fi、F2成 60角,且Fi、F2

10、的大小分别为 2 和 4,贝UF3的大小为 _ .【答案】2-J【解析】由题意知F3=-(Fi+F2),IF3|=|Fi+F2I ,222 IF3| =|Fi| + IF2I + 2|Fi|F2ICOS6O =28,IF3|= 2 .,7.【名师点睛】 用向量法解决物理问题的步骤如下：(1) 抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；(2) 建立以向量为主体的数学模型；(3) 利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；(4) 用数学模型中的数据解释或分析物理问题.5难点一一利用向量解决其他问题例5已知直线Ax+By+C=0(其中A2+B2=C?, O 0)与圆x2+y2=6 交于不同的两点M

11、 N, O是坐标原点，则cos -4a25a27则OM MN =_ .【答案】-101【解析】取MN勺中点P,则MP MN,MN _ 0P2| A 0+ B 0 C |又|OP|22 ,|OM |八6,JA2+B28 ABC，所以四边形ABCD为菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的-.3倍作AE _ BD于E,则BE二一6，所以AE2,2(1)重心若点6是公ABC的重心，则GA GB GC=0或是=1(PA PB PC)(其中P为平3面内任意一点)反之，若GA GBG0,则点6是厶ABC的重心.r T(2)垂心若H是厶ABC的垂心， 贝U HA HB = T T-HC HA，则点H是厶ABC

12、的垂心.HB HC二反之，若從(3)内心若点 I 是厶ABC的内心，则有|BC | IA |CA| IB |AB | IC二0.反之，若 OM MN=(OPPM)而|PM|2OM MN 2 510【名师点睛】 向量在解决其他问题时的“两个”作用:(1)载体作用：向量在其他问题中出现时，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.工具作用：利用a丄b?ab=O(a,b为非零向量)，a/b?a=入b(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越的方法6 易

13、错一一对向量关系式表达的向量之间的相互关系判断错误i在四边形ABCD中,忒式(1,1)，里聖沁BD，则四边形ABCD的面积-_|BD|BA| |BC|确求解【正解】由+ -BC 与ZABC的平分线有关，从而不能迅速找到解题的突破口，不能正|BA| |BC|AB =(1,1),|BA| |BC|BC = BD，可知平行四边形ABCD中的对角线BD平分|BD|故S四边形ABCD讥1BDA2三3【误区警示】对常见的向量表示形式要熟记于心，如:【错因分析】不清楚9| BC | IA |CA |101.已知0 A,B,C为同一平面内的四个点，若2AC+CB =0，则向量OC等于21斗A. OA OB33

14、B._ OA2OB33R TC2OA-OBT TD-OA 2OB2已知三个力f1=(-2,-1),f2=(-3,2).f3=(4, - 3)冋时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4,则f4=A. (-1, -2)C. (-1,2)IB |AB|IC=0,则点I是厶ABC的内心.(4)外心.若点0是厶ABC的外心，则(OA - OB)-BA =(OBOC)CB= (0C OA) AC =0或|OAH8B|8C|.反之，若|OA|=|OB|=|B. (1, -2)D. (1,2)|，则点0是厶ABC的外心.116.如图所示，设 。是厶ABC内部一点，且OA+OC=2OB，则AOB

15、与厶AOC的面积之比为3 .在ABC中，若2AB AB AC BA BC CA CB,则厶ABC是A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形._ .n4.如图，在ABC中，已知BAC =3,AB =2,AC=3,=2BD,AE =3ED，贝U |BE|二5 菱形ABCDK AC与BD交于点12(1) 求x与y之间满足的关系式；(2) 若AC_ BD，求x与y的值及四边形ABCD的面积.9.在厶ABC中，点D,E分别在边BC,AC上,A.C.15_a b31215 . a b312B.D.T且BD = 2DC!DC，CE二3EA，若AB113,a a b312113,_ a： b如

16、图，在四边uuuuuu uuu uuu| DC则(AB DC) AC的值为A.2C. 4D. 4.2urn uuu uuu=0,|AB| |BD| |BD|在水流速度为4 km/h的河流中，有一艘船正沿与水流垂直的方向以8 km/h的速度航行，则船自身航行的速度大小为km/h.10 已知D为ABC的BC边上一点,DC 2DB，过D点的直线分别交直线AB、AC于E、F，若T -*T2 1AE =?；.AB,AF =丄AC，其中00，则一 匚11.如图，已知向量AB =(6,1)，BC = (x, y),CD =(-2,-3)，且BC/ 启B.2.2D221312378CDACC1 . C【解析】

17、因为AC.OC-OA,CB.OB-OC，所以2AC CB = 2(OC_OA)(OB -OCOC-2OA OB =0，所以OC =2OA -OB，故选C.D【解析】由物体平衡，则所受合力为 0 知：fl+f2+f3+f4=0,故f4=-(fl+f2+f3)= (1,2).解法二：由A(1,2),O(-3,1)及中点坐标公式可得C(-7,0),设B(m,n),则D(-6-m,2 -n),BD =(-6 -2m,2 -2 n),AC =(-8,-2),由BD _ AC得所以ABAC=(m -1,n -2) (-8, -2) = -8(m-1)-2(n -2) = -2(4m n) 12 =34.【

18、解析】如图所示，设M是AC的中点，贝 UOA+OC =20M又OA+OCOB，A【解析】由A2= ABACBA BCCA CB，知A2- AB AC =BA2BC - CA BC，AB(A-ACHBC (BA-CA).ABCB=(CB)=所以CBAC = 0 =，故 ABC为直角三角形所以因此【解析】 因为AEvED,)1 T 1 T 111一 BA +-(BC) = BA+-(BA + AC) = AB 十一 AC , 44 344241 二211 13132 3 ,BE =42 164131 1 3 1 -*BE BA BD44443212(BE = AB 亠一 AC41634【解析】 解

19、法一：由题意可得AO _ BO，所以AO OB =0，且AO二(-4, -1), 所以ABAC=(AOOB) 2AO二2AO2=2 (-4)2(-1)2 =34.BD AC - o,即(-6 2m) (8)-2(2-2n)=0,即4mn- -11,6.=-OB，即是BM的中点,22141SAAOB=SAAOM= SAAOC，即SAAOBSAOC15T T T T 2Tr 1T2115C【解析】DE二DB BA AE CB BA一AC3434312C【解析】由| AB | | BD | | DC匚4得|uu uuu uun uuu由| AB| |BD | |BD | |DC |八得| BD | (| AB | |DC |) = 4,所以(AB DC) AC =(AB DC) (AB BD DC)因为BC/AD，所以(x 4)y-(y-2)x=0，即x 2y = 0.4