人大微积分课件116函数展开成幂级数

1、第六节第六节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数三三 函数展开成幂级数函数展开成幂级数二二 泰勒级数泰勒级数一一 问题的提出问题的提出2.2.展开式是否唯一展开式是否唯一? ?3.3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数? ?1.1.如果能展开如果能展开, , 是什么是什么? ?na上节例题上节例题)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 即得形如即得形如 函数的展开式函数的展开式.需要考虑需要考虑问题问题 是否存在幂级数在其收敛域内以是否存在幂级数在其收敛域内以 为和函数为和函数? ?)(xf一 问题的提出)()(!)()(! 2)()()(

2、)(00)(200000 xrxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 二 泰勒级数1.1.toylor公式：公式：复习前面的两个公式复习前面的两个公式,)()!1()()(10)1( nnnxxnfxr 其中其中 在在 与与 之间之间 0 xx)(!) 0(! 2) 0() 0() 0()()(2xrxnfxfxffxfnnn 2.2.maclaurin公式公式,)!1()()(1)1( nnnxnfxr 其中其中 在在 与与 之间之间 0 xx函数展开幂级数的必要条件函数展开幂级数的必要条件.定理定理1 1 若若 在在 处能展开成幂级数处能展开成幂级数则则 在在 内具有任意阶导数内具有任意

3、阶导数, ,且且)(xf0 xnnnxxa)(00 )(xf),(0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann证明证明在在 内收敛于内收敛于 ,即即nnnxxa)(00 )(0 x)(xf nnxxaxxaaxf)()()(0010 )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn令令 , ,即得即得0 xx 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐项求导任意次逐项求导任意次, ,得得即为泰勒系数即为泰勒系数), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且泰勒系数是唯一的且泰勒系数是唯一的, ,所以所以)(xf的展开式是唯一的的展开式是唯一的.问题

4、问题nnnxxnxfxf)(!)()(000)(? 泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定不一定.定义定义 如果如果f(x)在点在点 处任意阶可导处任意阶可导,则幂级数则幂级数称为称为 在点在点 的泰勒级数的泰勒级数. 称为称为在在 点点 的麦克劳林级数的麦克劳林级数.0 xnnnxxnxf)(!)(000)( nnnxnf 0)(!)0()(xf0 x)(xf0 x), 2 , 1 , 0( 0)0()( nfn在在x=0点任意可导点任意可导, ,且且 0, 00,)(21xxexfx例如例如.00 nnx麦克劳林级数为麦克劳林级数为)(xf该级数在该级数

5、在 内和函数内和函数 可见可见. 0)( xs),(除除 外外, 的麦氏级数处处不收敛于的麦氏级数处处不收敛于 .0 s)(xf)(xf函数展开幂级数的充要条件函数展开幂级数的充要条件.)()(!)()(000)(xrxxixfxfninii 证明证明必要性必要性.设设 能展开为泰勒级数能展开为泰勒级数.)(xf),()()(1xsxfxrnn )()(lim1xfxsnn )(limxrnn)()(lim1xsxfnn ;0 定理定理2 2 在点在点 的泰勒级数的泰勒级数, ,在在 内内收敛于收敛于 在在 内内)(xf)(xf)(0 xu 0 x)(0 xu . 0)(lim xrnn充分性

6、充分性),()()(1xrxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxrnn , 0 ),()(lim1xfxsnn 即即).(xf的泰勒级数收敛于的泰勒级数收敛于)(xf定理定理3 3 设设 在在 上有定义上有定义, , 对对 恒有恒有则则 在在 内可展开成点内可展开成点 的泰的泰勒级数勒级数. .)(xf),(00rxrxx , 0 m)(0 xu, 1 , 0,| )(|)( nmxfn)(xf),(00rxrx 0 x证明证明10)1()()!1()()( nnnxxnfxr ,)!1(10 nxxmn),(00rxrxx , 0)!1(lim10 nxxnn 010)!1

7、(nnnxx在在 收敛收敛),(, 0)(lim xrnn),(00rxrxx 故故可展成点可展成点 的泰勒级数的泰勒级数. .0 x三 函数展开成幂级数1.1.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤: :;!)()1(0)(nxfann 求求 nxnfxffn!)0()0( )0()(写出写出 级数级数: :maclaurin)2(讨论讨论 或或,)()(mxfn 0lim nnr)3().(xf则级数在收敛区间内收敛于则级数在收敛区间内收敛于解解,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn nxxnxxe!1! 2112), 2 , 1 , 0(

8、n nxxnxxe!1! 2112由于由于m的任意性的任意性, 即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx例例1 1xexf )(将将 展开成幂级数展开成幂级数., 0 mxnexf )()(me ,mm 在在 上上解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )()(xfn)2sin( nx1 ),( x且且例例2 2将将 展开成展开成 幂级数幂级数.xxfsin)( x解解,)1)(1()1()()(nnx

9、nxf ),1()1()0()( nfn), 2 , 1 , 0( n nxnnxx!)1()1(! 2)1(12nnnaa1lim 1 nn, 1 , 1 r例例3 3 将将 展开成展开成 幂级数幂级数.x)()1()(rxxf 在在 内内, ,若若)1 , 1( nxnnxxs!)1()1(1)( 1)!1()1()1()1()(nxnnxxs nxnnxxxsx)!1()1()1()1()(2 !) 1() 1(!)() 1()!1() 1() 1(nnmmmnnmmnnmm 利用利用)()1(xsx 1222!)1()1(! 2)1(nxnnxx)(xs ,1)()(xxsxs . 1

10、)0( s且且两边积分两边积分,1)()(00dxxdxxsxsxx )1 , 1( x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs 即即,)1ln()(ln xxs,)1()( xxs )1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 )1 , 1( x牛顿二项式展开式牛顿二项式展开式注意在注意在 处收敛性与处收敛性与 的取值有关的取值有关. .1 x )1 , 1()1(11132 nnxxxxx 1 , 1!)!2(!)!32()1(64231421211132 nnxnnxxxx 1 , 1!)!2(!)!12()1(64253142312111132 nnxnnx

11、xxx双阶乘双阶乘21, 1 当当 时时,有有2.2.间接法间接法根据唯一性根据唯一性, , 利用常见展开式利用常见展开式, , 通过变量代换通过变量代换, ,四四则运算则运算, , 恒等变形恒等变形, , 逐项求导逐项求导, , 逐项积分等方法逐项积分等方法, ,求展开式求展开式. .从而可以得到以下几个常见的展开式从而可以得到以下几个常见的展开式: : )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn)(sincos xx由由例例4 4 将将 展开成展开成 幂级数幂级数.x211)(xxf 解解)11(,1112 xxxxxn把把 换成换成 得得x2x ,)1(1112422 nnxxxx)11( x例例5 5 将将 展开成展开成 幂级数幂级数. .x)1ln()(xxf 解解,)1(1112 nnxxxx)11( x将上式从将上式从 到到 逐项积分逐项积分, ,得得0 x nxxxxnn 132)1(3121 xxdxx01)1ln()11( x例例