人大微积分课件115幂级数

1、第五节第五节 幂幂 级级 数数一一 幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性二二 幂级数的运算及其性质幂级数的运算及其性质2.2.收敛性收敛性: :当当 时时, ,收敛；当收敛；当 时时, ,发散发散.1 x1 x,120 xxxnn例如级数例如级数);1 , 1( )., 11,( 收敛域收敛域发散域发散域1.1.定义定义1 1形如形如 的级数称为幂级数的级数称为幂级数. .nnnxa 0,0nnnxa 当当 时时,00 x其中其中 为幂级数系数为幂级数系数. .na一一 幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性定理定理1 (1 (阿贝尔阿贝尔abel定理定理) )如果级数如果级数 在在 处收敛处收敛, ,

2、则则它在满足不等式它在满足不等式 的一切的一切 处绝对收敛；处绝对收敛； 0nnnxa)0(00 xxx|0 xx x如果级数如果级数 在在 处收敛处收敛, ,则它在满足则它在满足不不等式等式 的一切的一切 处发散处发散. . 0nnnxa0 xx |0 xx x证明证明, 0lim0 nnnxa 00)1(nnnxa收敛收敛,nnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxm0 ), 2 , 1 , 0(0 nmxann,m 使得使得10 xxnnxxm 00当当 时时, ,等比级数等比级数 收敛收敛, 0nnnxa 0nnnxa 收敛收敛, ,即级数即级数 收敛收敛. xo r r

3、几何意义几何意义收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域假设当假设当 时发散时发散,0 xx )2(而有一点而有一点 适合适合1x|01xx 使级数收敛使级数收敛.由由(1)(1)结论结论, ,则级数当则级数当 时应收敛时应收敛,0 xx 这与所设矛盾这与所设矛盾.推论推论 如果幂级数如果幂级数 不是仅在不是仅在 一点收敛一点收敛, ,也不是在整个数轴上都收敛也不是在整个数轴上都收敛, ,则必有一个完全确定则必有一个完全确定的正数的正数 存在存在, ,使得使得 0nnnxa0 xr当当 时时, ,幂级数绝对收敛；幂级数绝对收敛；rx |当当 时时, ,幂级数发散；幂级数发散；rx |

4、当当 与与 时时, ,幂级数可能收敛也可幂级数可能收敛也可能发散；能发散；rx rx 问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径? ?定义定义2 2 正数正数r称为幂级数的收敛半径称为幂级数的收敛半径. .开区间开区间(-r,r)称为幂级数的收敛区间称为幂级数的收敛区间. .),rr ,(rr .,rr ),(rr 从而决定了收敛域为以下四个区间之一从而决定了收敛域为以下四个区间之一:, 0 r规定规定收敛域收敛域; 0 x(1)幂级数只在幂级数只在 处收敛处收敛,0 x, r收敛域收敛域).,(2)幂级数对一切幂级数对一切 都收敛都收敛, ,xnnnnnxaxa11lim xaan

5、nn1lim ,x 证明证明 0nnnxa对级数对级数 应用达朗贝尔判别法应用达朗贝尔判别法 ()或或定理定理2 2 如果幂级数如果幂级数 的所有系数的所有系数 , , 0nnnxa0 na设设 nnnaa1lim nnnalim(1)(1)则当则当 时时, ,0 ;1 r(2)(2)则当则当 时时, ,0 ; r(3)(3)则当则当 时时, , . 0 r)0(lim1 nnnaa如果如果 存在存在)1(由比值审敛法由比值审敛法, 1| x 0|nnnxa当当 时时, ,级数级数 收敛收敛, 0nnnxa从而级数从而级数 绝对收敛绝对收敛. 1| x 0|nnnxa当当 时时, ,级数级数

6、发散发散,|,|11nnnnxaxa 0|nnxa并且从某个并且从某个n n开始开始.1 r 0nnnxa从而级数从而级数 发散发散, 收敛半径收敛半径定理证毕定理证毕.; r 0nnnxa从而级数从而级数 绝对收敛绝对收敛. . 收敛半径收敛半径, 0 , 0 x如果如果)2( 0|nnnxa),(011 nxaxannnn有有级数级数 收敛收敛, , 0 x 0nnnxa级数级数 必发散必发散.)3(如果如果 0|nnnxa( (否则由定理否则由定理1 1知将有点知将有点 使使 收敛收敛) )0 x. 0 r收敛半径收敛半径解解)1(nnnaa1lim 12lim nnn2 21 r例例1

7、 1 求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间:;2)1(1 nnnnx;)!1()2(1 nnxn.)1()3(1 nnnnnx21 x,11 nn该级数发散该级数发散；当当 时时,级数为级数为21 x,)1(1 nnn该级数收敛该级数收敛；当当 时时,级数为级数为故收敛域是故收敛域是).21,21 nnnaa1lim 0)11(111lim nnnn)3(,)2(lim nn, 0 r)2(nnnaa1lim , r故收敛域是故收敛域是).,(级数只在级数只在 处收敛处收敛.0 x)()(1xuxunn nnxnnx2)1(2121)1(2 )(2 nx当当 即即 时时, ,原级数收敛

8、原级数收敛., 12 x1 x例例2 2 求幂级数求幂级数 的收敛域的收敛域. . 1212)1(nnnnx解解级数级数 缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项, 1212)1(nnnnx对级数对级数 用比值判别法用比值判别法 1212nnnx当当 即即 时时, ,原级数发散原级数发散. ., 12 x1 x 112)1(nnn当当 级数为级数为 , ,收敛收敛., 1 x.1 , 1 故原级数的收敛域为故原级数的收敛域为,21)1(2limlim1 nnaannnn 例例3 3 求幂级数求幂级数 的收敛域的收敛域. . 1)1(21nnnxn解解令令 ,原级数化为原级数化为1 xt.21 nnnnt.

9、 2 r 11nn当当 时时, , ,级数级数 发散发散, ,2 t1 x 1)1(nnn当当 时时, , ,级数级数 收敛收敛, ,2 t1 x原级数的收敛域原级数的收敛域为).1 , 3 的收敛域为的收敛域为).2 , 2 12nnnnt1.1.代数运算性质代数运算性质(1)(1) 加（减）法加（减）法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中)nnnbac rrx, 21,minrrr 21,rr设设 和和 的收敛半径分别为的收敛半径分别为 0nnnxa 0nnnxb二 幂级数的运算及其性质(2)(2) 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc rrx, (其

10、中其中)0110bababacnnnn 注注： 相除后的收敛区间比原来两级数的收敛相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多区间小得多. .(3)(3) 除法除法00 nnnxb 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc在收敛域内在收敛域内2.2.幂级数和函数的性质和求法幂级数和函数的性质和求法: :(2)(2)幂级数幂级数 的和函数的和函数 在收敛区间在收敛区间 内可积内可积, ,且对且对 可逐项积分可逐项积分. . )(xs 0nnnxa),(rrx (1)(1)幂级数幂级数 的和函数的和函数 在收敛区间在收敛区间 内连续内连续, ,在端点收敛在端点收敛, ,则在单侧连续则在单侧连续.

11、. )(xs 0nnnxa 00nxnndxxa.110 nnnxna收敛半径不变收敛半径不变. xnnnxdxxadxxs000)()(即即 0)(nnnxa.11 nnnxna收敛半径不变收敛半径不变. 0)()(nnnxaxs即即(3)(3)幂级数幂级数 的和函数的和函数 在收敛区间在收敛区间 内可导内可导, ,且对且对 可逐项求导任意次可逐项求导任意次. . )(xs 0nnnxa),(rrx 两边积分得两边积分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11( x例例4 4 求下列幂级数的和函数求下列幂级数的和函数.;)1()1(1 nnnnx;)1()2(1 nn

12、xn.)23()3(112 nnxn解解易求得易求得 的收敛域为的收敛域为 1)1(nnnnx.1 , 1( )1(,)1()(11 nnnnxxs, 0)0( s设设显然显然又又 时时, 收敛收敛.1 x 111)1(nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即)11(,1211 xxxxnn 100)1()(nxnxdxxndtts)11(,)1(2)(22 xxxxxs易求得易求得 的收敛域为的收敛域为 1)1(nnxn).1 , 1( )2(两边从两边从 到到 积分积分, ,得得,)1()(11 nnnnxxs设设0

13、x两边求导得两边求导得易求得易求得 的收敛域为的收敛域为 112)23(nnxn).1 , 1( )3(设设 112)23()(nnxnxs,)23(741253 nxnxxx,)23(74)(127532 nxnxxxxsx两式相减两式相减,得得)11( x)11(,)1(2)(223 xxxxxs 12532333)()1(nxxxxxsx,12132323xxxxxx )1(2 xxx,)1(23xx 解解,)1(1nnxnn 收敛区间收敛区间(-1,1),考虑级数考虑级数 12)1(nnnn)21( s . 8 故故 1)1()(nnxnnxs)(11 nnxx则则例例5 5 求求 的和的和. . 12)1(nnnn例例6 6 求求 的收敛域及和函数的收敛域及和函数.nnnnnx 132)1(解解).31,31(),2 , 2( 易求得易求得 与与 的收敛域分别为的收