北师大九上 13 线段的垂直平分线1性质定理与判定定理

1、九年级数学（上册）第一章 证明(二)3.线段的垂直平分线（1）性质定理与判定定理阳泉市义井中学阳泉市义井中学 高铁牛高铁牛驶向胜利的彼岸线段的垂直平分线w我们曾经利用折纸的方法得到我们曾经利用折纸的方法得到: :w线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. .w你能证明这一结论吗你能证明这一结论吗? ?回顾 思考已知已知: :如图如图,ac=bc,mnab,p,ac=bc,mnab,p是是mnmn上任意一点上任意一点. .求证求证: :pa=pb.pa=pb.acbpmn分析:(1)要证明pa=pb,而apcbpc的条件由已知 故结论可证.老

2、师期望:你能写出规范的证明过程.ac=bc,mnab,ac=bc,mnab,可推知其能满足公理（可推知其能满足公理（sassas）. .就需要证明pa,pb所在的apcbpc，驶向胜利的彼岸几何的几何的三种语言三种语言w定理定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等距离相等. .老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.开启 智慧acbpmnw如图如图, ,wac=bc,mnab,pac=bc,mnab,p是是mnmn上任上任意一点意一点( (已知已知),),wpa=pb(pa=pb(线段垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这条线段两

3、个端点距离的点到这条线段两个端点距离相等相等).).进步的标志进步的标志驶向胜利的彼岸思考分析w你能写出你能写出“定理定理 线段垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等的点到这条线段两个端点距离相等”的逆命题吗的逆命题吗? ?w逆命题逆命题 到一条线段两个端点距离相等的点到一条线段两个端点距离相等的点, ,在这条在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上. .w它是真命题吗它是真命题吗? ?abp如果是如果是. .请你证明它请你证明它. .已知已知: :如图如图, ,pa=pb.pa=pb.求证求证: :点点p p在在abab的垂直平分线上的垂直平分线上. .分析分析: :要

4、证明点要证明点p p在线段在线段abab的的垂直垂直平分平分线线上上, ,可以先作出过点可以先作出过点p p的的abab的的垂线垂线( (或或abab的的中点中点, ,),),然后证明另一个结论正确然后证明另一个结论正确. .想一想想一想: :若作出若作出pp的角平分线的角平分线, ,结论是结论是否也可以得征否也可以得征? ?驶向胜利的彼岸逆定理逆定理 我能行我能行w逆定理逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点到一条线段两个端点距离相等的点, ,在在这条线段的垂直平分线上这条线段的垂直平分线上. .acbpmnw如图如图, ,wpa=pb(pa=pb(已知已知),),w点点p p在在abab的

5、垂直平分线上的垂直平分线上( (到一条到一条线段两个端点距离相等的点线段两个端点距离相等的点, ,在这条在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上).).老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.从这个结果出发,你还能联想到什么?驶向胜利的彼岸尺规作图尺规作图 做一做做一做l已知:线段ab,如图.l求作:线段ab的垂直平分线.l作法:l用尺规作线段的垂直平分线用尺规作线段的垂直平分线. .l1.分别以点a和b为圆心,以大于ab/2长为半径作弧,两弧交于点c和d.abcdl2. 作直线cd.l则直线cd就是线段ab的垂直平分线.请你说明cd为什么是ab的垂直平分线

6、,并与同伴进行交流.老师提示:因为直线cd与线段ab的交点就是ab的中点,所以我们也用这种方法作线段的中点.挑战自我挑战自我 随堂练习随堂练习驶向胜利的彼岸l如图,已知ab是线段cd的垂直平分线,e是ab上的一点,如果ec=7cm,那么ed= cm;如果ecd=600,那么edc= 0.老师期望:你能说出填空结果的根据.edabc760梦想成真 试一试试一试p271.已知直线和上一点p,利用尺规作的垂线,使它经过点p.p l回味无穷w 定理定理 w 线段垂直平分线上的点到这条线段线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等两个端点距离相等. .w 如图如图, ,w ac=bc,mnab,pa

7、c=bc,mnab,p是是mnmn上任意一点上任意一点( (已知已知),),w pa=pb(pa=pb(线段垂直平分线上的点到线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等这条线段两个端点距离相等).).w 逆定理逆定理 到一条线段两个端点距离到一条线段两个端点距离相等的点相等的点, ,在这条线段的垂直平分在这条线段的垂直平分线上线上. .w 如图如图, ,w pa=pb(pa=pb(已知已知),),w 点点p p在在abab的垂直平分线上的垂直平分线上( (到一条到一条线段两个端点距离相等的点线段两个端点距离相等的点, ,在这在这条线段的垂直平分线上条线段的垂直平分线上).).小结 拓展acbpmn知识的升华独立独立作业作业p9习题1.5 1,2,3题.祝你成功！习题1.5 独立作业独立作业驶向胜利的彼岸w1.利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线. w老师期望:w先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.习题1.5 独立作业独立作业驶向胜利的彼岸w2. 如图,a,b表示两个仓库,要在a,b一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建造在什么位置？ 老师期望:养成用数学解释生活的习惯. ab习题1.4 独立作业独立作业驶向胜利的彼岸w3.如图,在abc中,已知ac=27,ab的垂直平分线交ab于点d,交ac于点e,b