习题解答现控理论

1、6-1对线性系统Xx Ax Bu y Cx Du作状态反馈uKx V,试推导出闭环系统的状态空间模型和传递函数。解 将反馈律代入状态空间模型，则有xAxB( Kxv)(ABK)xBvyCxD( Kxv)(CDK)xDv因此，闭环系统的状态空间模型和传递函数分别为& (A BK)x Bvy (C DK)x DvGk(s) (C DK)(slBK)1b d6-2对线性系统X& AxBuDuy Cx作输出反馈u=-Hy+ V,试推导出闭环系统的状态空间模型和传递函数。解将反馈律代入状态空间模型的输出方程，则有Dvy Cx D( Hy v)Cx DHy(I DH)y因此，当(I DH)

2、可逆时，闭环系统输出方程为y (i将反馈律和上述输出方程代入状态方程，& Ax BuAx B( HyA BH(I DH ) 'Cx当闭环系统的状态空间模型和传递函数分别为)& A BH(I DH) 1Cx BH(I DH) y (I DH) 1Cx (I DH) 1DvGh(s) (I DH) 1CsI a BH(I DH) 1C 1BH(I DH) 1D B (I DH) 1dDH) 1Cx则有v) 、 1CxDv(IDH ) 1 DvBH (I DH) 1D Bv1D Bv6-3给定被控系统的状态方程为1 u0试确定一个状态反馈阵K,使闭环系统的极点配置在 -2 &

3、#177;处。解1)判断系统的能控性。开环系统的能控性矩阵为B AB10 :则开环系统为状态能控，可以进行任意极点配置。2)求能控规范II形：0 1BABTC21T1T1ATc2ATc2,& Tc21Bf(s)=s2-2s-5,而由期望的闭环极点-2因此系统开环特征多项式项式f(s)=s2+4s+5,得系统的状态反馈阵K为±所确定的期望的闭环特征多K KTcJ a；® a；-aTc215-(-5)14-(-2) 118y16则在反馈律u=-Kx+v下的闭环系统的状态方程为510/3通过验算可知，该闭环系统的极点为6-4给定被控系统的状态方程为-231±达到

4、设计要求。0问能否确定一个状态反馈阵K,使闭环系统的极点分别配置在下列位置(1) S1=-2, S2=-2, S3=-2, S4=-2(2) S1=-3, S2=-3, S3=-3, S4=-2(3) S1=-3, S2=-3, S3=-3, S4=-3解：由于开环系统模型为约旦规范形，因此由模态判据知，该系统特征值 能控，因此2重的开环极点2可以任意配置；而特征值 -2对应的2维子系统不完全能控， 但由于其对应的2维子系统的能控性矩阵的秩为1,故2重的开环极点-2应有一个可以任意配置，一个不能配置(不能控)。2的子系统完全根据上述分析结果，可以判定如下:(1) S1=-2, S2=-2, S

5、3=-2, S4=-2由于期望闭环极点有一个为-2,因此，可以将可任意配置的3个极点配置为-2，而一个不能配置的极点也为-2，符合期望极点要求。故，应存在状态反馈律将闭环极点配置在期望 位置上。(2) S1=-3, S2=-3, S3=-3, S4=-2由于期望闭环极点有一个为-2,因此，可以将可任意配置的3个极点配置为-3，而一个不能配置的极点还为-2，符合期望极点要求。故，应存在状态反馈律将闭环极点配置在期望 位置上。(3) S1=-3, S2=-3, S3=-3, S4=-3-2还为配由于期望闭环极点没有-2极点，因此，不存在状态反馈律将不能配置的极点 置在期望的4个极点的任何一个上。6

6、-5判断下述系统是否能镇定，若能镇定，试设计一个状态反馈使系统成为稳定的。1 0 0(1) x 001 x013解：(1)先对系统进行能控性分解rank B ABrank 01表明系统不完全能控，取能控性分解变换矩阵0!1 'Pc为于是可得原系统的能控性分解为0Pc01Pc10.25A Pc 1APc01 :13 !P 亠 0 :FC1B00 lU.13 .0i由于该系统的不能控部分只有一个具有负实部的极点 统是可镇定的。再对能控部分进行极点配置。由上可知，系统的能控部分为-1,因此不能控子系统是稳定的，系%10AllBiKi,本例中设期望的闭环极点取为、r*设A为具有期望特征值的闭环

7、系统矩阵，且-3和-2，因此有显然，当反馈阵K1为A*% E%01kik2k11k23k1k231此时，闭环极点为-3和-2。求取原系统的状态反馈镇定矩阵K000.25 经检验，状态反馈后得到的如下闭环系统矩阵为镇定的。006K K% 0 FC18311BK 00(2) 先对系统进行能控性分解00 u1rank B ABrank表明系统不完全能控，取能控性分解变换矩阵03，00Pc011 !II 0 i 2 !Pc为FC1210.001/3于是可得1 ! 0% Pc1AFCPc1B3 1 012原系统的能控性分解为1 ： 03 = 0亠 X 0 ： 2，系统的能控部分为10设A为具有期望特征值

8、的闭环系统矩阵, -1和-2，因此有AiiBiKi,本例中设期望的闭环极点取为A* %1kik2k111 k23由于该系统的不能控部分只有一个具有负实部的极点-1,因此不能控子系统是稳定的，系统是可镇定的。(2) 对能控部分进行极点配置。由上可知010显然，当反馈阵|1为kik219此时，闭环极点为-1和-2。(3) 求取原系统的状态反馈镇定矩阵210. 经检验，状态反馈后得到的如下闭环系统矩阵为镇定的。020K K% 0 pc1619BK001/36-6已知系统状态空间模型的各矩阵为试判断该系统的输出反馈可镇定性。解 设输出反馈U=h1 h2y,因此闭环系统的系统矩阵为01 I00A BHC

9、 01h1h2100h20 h11其特征多项式为s3+ h1S-(1+ h2)。由劳斯判据可知，该系统不可能通过输出反馈进行镇定。 本题系统为能控能观的，根据定理6-5，其输出反馈可镇定性。6-7已知待解耦的传递函数矩阵为。1Gp (s) ss1s(s 1) s 1试作一前馈补偿器 Gc(s)使系统解耦，且其传递函数阵为G(s)1(s 1)2(s11)(s 2)解 根据641节的方法，前馈补偿器Gc(s)为Gc(s) Gp 3s 1)6-8已知状态空间模型的各矩阵为0 ,C(s)G(s) I G(s)ss 1s(s 1)1(s 1)2(s 1)(s 2)1(s 1)2(s 1)(s 2)1(s

10、 1)21(s 1)丁 j(s 1)(s2) 1s 1s(s 2)s2 1s2(s 2)s(s2(s 1)s 3s 1(s 1)0试判断该系统能否实现状态反馈解耦。若能，求其积分型解耦系统。解：由于GB 1 0,C2B 00, C2TAB01,可知I10,l2从而C1BC2ABC1AC2A1 1 0根据6.2节进行极点配置方法，可计算出对偶系统的状态反馈阵即所求状态观测器的反馈阵则相应状态观测器为状态反馈解耦控制律的反馈矩阵与前馈矩阵为1K E 01 110, 1, 2 0 1FH E1因此，状态反馈解耦控制闭环系统传递函数阵为Gd(s) C(sI A BK) 1BH6-9给定被控系统的状态空

11、间模型为y试确定一个状态观测器，要求将其极点配置在-2,-2和-3处。解（1）用方法一求解。利用对偶性方法，求得原系统的对偶系统为（於C%8 2262 (y y?)10：? 1 16-10给定被控系统的状态空间模型为y-3和-5处。试设计一个降维状态观测器，要求将观测器的极点配置在 解(1)由于输出C已为规范形式，则系统各矩阵可分解为如下形式12 i 0A 3 r 1I - 亠 U 0 2 ； 0因此，降维状态观测器的特征多项式为f(s) I si F I silA%1siL1L22L12L2s2 2L2S 72L2 6L1(3) 由给定的期望特征值得期望的特征多项式为f*(s) (s 3)(s 5)8s15令f(s)=f*(s),则可得L1L2(4)故，可得降维状态观测器的各矩阵为2A1LA21Ai2LA22B1LB2F3GFLH2720于是所得的降维状态观测器为& FzGyHu2720 y3Ly y6-11给定被控系统的状态空间模型为y该系统的状态不能直接测量，试设计一个带状态观测器的状态反馈系统，要求将其状态观测部分的极