二次问题的常见策略

1、讲座1 -二次问题的常见策略二次问题是近几年来高考的压轴题，围绕二次函数能全面考查对函数性态的分析，以二次函数为载机把计算、证明、图象融合起来，把方程、不等式、绝对值等知识融合起来，体现了在知识交汇点上命题思想，既考查运算能力，又考查推理能力。下就处理二次问题的常见策略作一介绍。一、数形结合思想。例1、设函数f(x)=ax 2+8x+3 (a< 0),对于给定的负数 a，有一个最大的正数 4a)上，不等式|f(x)|< 5都成立，问a为何值时，£(a)最大？求出这个最大的分析：|f(x)|< 5的几何意义是，f(x)图象在平行直线y= ± 5之间。由此对关

2、系进行讨论。£(a)，使得整个区间0 ,E(a)，证明你的结论。f(x)最高点与y=5的位置略解：f(a) =a(x +-)2 +3aa(1)当3- > 5，-8 < a< 0时，a)是关于x方程ax2+8x+3=5的小根 aj2a+16 +4 4a)在(-8，0)上递减«a) < £(-8)= 12又f(0)=3 > 0 > -5恒成立 x 0，4a)时，|f(x)| w 5 恒成立y=5(2)当 316 w 5，aw -8 时，如图，a) a的大根*土匹兀e2尸5y=-52是关于x的方程ax +8x+3=-5如)在(-8，-

3、8上递增匕)w £(-8)=2由(1 )、( 2)可知，当a=-8时， 仙)评注：£(a)的含义分两层理解，第一层视 视細为a的函数。例 2、已知 a>0, b>0,函数 f(x)=-bx讨论：_ 1 +max2.a)为常数，因(a)随图象位置即a的变化而变化，第二层2 . +ax分析:对任意x 0，1,|f(x)| w 1的充要条件除仿照例1方法求解，本题还可以通过构造二次函数求解略解:f(X)兰 1 f(X)亠1L 2bx -ax -1 <02bx -ax +1 >02令 g(x)=bx -ax-1/ b > 0, g(0)=-1 <

4、 0 g(1)=b-a-1 w 05/ b > 0, g(0)=1 > 0或后Mih(1) >0-a A b-12令 h(x)=bx -ax+1<12bt 4b化简得：严2;a 兰27b进一步化简得:当b>1时，化为aw 2$ , b-1 w aw 2 Jb当 0 V aw 1 时，化得：aw b+1 a w b+1评注：分类讨论是处理该类问题非常有用的思想方法,抛物线对称轴与区间位置关系是常规讨论标准。二、赋值法Q例 3、设二次函数 f(x)=ax +bx+c ( a> 0),若 |f(0)|w 1, |f(-1)| w 1, |f(1)| w 1,求证：

5、当 |x| w 1分析：因f(0)、f(-1)、f(1)范围已知，故用f(0)、f(-1)、f(1)表示 f(x)a JO)+3 (0)略解：If (0) =Cf (1) =a +b +c,b =f (1) =a -b+c2f(1)f(j)2c =f (0) |f(x)円XX f (0) 1X2+xx2x2斗f(1)+f(T)+f (0)(1 x2)|2 2X2 +xX2 X2目f(1)|+|f(T)|+|f(0)|1 x2 |=|x |2 +|X |+1Jx|(x +1)亠|x|(1-x) + _x-2 2= -(|x| 1)2 +5 兰5244评注：因f(x)由参数a、b、c确定，所以通过

6、赋值手段找到a、b、c与已知量f(0)、f(1)、f(-1)的关系，是化归思想体现。在不等式放缩过程中，第一步利用绝对值不等式|a 1± a2±± an| w |a i|+|a 2|+|an|，对于因式|x 2+x|等的化简，利用绝对值定义化简，主要是防止放缩过度。 2例 4、已知 a, b, c R 二次函数 f(x)=ax +bx+c, g(x)=ax+b，当 x -1 , 1时，|f(x)| w 1,求证： 当 x -1 , 1时，|g(x)| w 2。略解：法一：由例 3得：|g(x)|=|ax+b|=f(1)+f(1)-2f(0)x f(1)-f(1)X

7、 +1X -1X +1X -1f(1) +f1)-xf(0)<+22222+ |x|X 2|x +1 | |x-1|1+x 1 -X<+ +1 =+ +1 =2-2 2 2 2评注：由例3、例4可知，这种赋值代换方法非常有用，解决这类绝对值不等式问题非常有效。法二：|g(x)| w 2u|g(i)|<2|g(-1)|乞 2: |g(1)|=|a+b|=|f(1)-f(0)|w |f(1)|+|f(0)| w 2|g(-1)|=|a-b|=|f(-1)-f(0)|w |f(-1)|+|f(0)|当 x -1 , 1时，|g(x)|评注：本题也可以讨论g(x)单调性，分别证明g(

8、x)最大值不超过1, g(x)最小值不小于-1。二、构造法例5、已知二次函数 f(x)=ax 2+bx+c (a> 0),方程f(x)-x=0两个根Xi、X2满足0< xi < X2< -，当xa (0 , xi)时，求证:X< f(x) < Xi。略解：法一：令 F(x)=f(x)-x=ax +(b-1)x+cy+/ a >0, X2>xi>0 F(x)在(0, x)上递减 F(x) > F(x 1)=0 f(x) > X2令 G(x)=f(x)-xi=ax +bx+c-x 1/ G(x i)=f(x i)-x 1=0, g(

9、0)=c-x i=axiX2-x i=xi(ax 2-I) < 0当 x ( 0, xi)时，g(x) < 0 f(x) < xi评注：本题将不等式问题化归为判断二次函数值符号问题。y.L/A21法二：x < f(x) < XiU f(x)-xf(x)-x1 < 0Xi、X2 是 f(x)-x=0 两根 f(x)-x=a(x-x1)(x-x 2) f(x)=a(x-xi)(x-x 2)+x f(x)-xf(x)-xi=a(x-x i)(x-x 2)a(x-x i)(x-x 2)+x-x 12 2 1=a (x-x 1) (x-x 2)(x-x 2+ J.)

10、< 0 a x < f(x) < Xi评注：根据不等式结构特点，将f(x)看成未知量，转化为证明一个二次不等式问题，思路巧妙！二次 函数的求根表达式是近几年高考题考查二次函数的一个热点。三、夹逼法例 6、已知函数 f(x)=x 2+bx+c( b、c R, c > -2 ),当 x _J2, J2 时，有 f(x) < 0，求 f(x)解析式。略解： x -72, 2时，f(x) w 0 恒成立由图象可知：<0FW2)兰0 2-血 b+cw 02+ (2 b+cw 0由+得：c w -2又由已知C-2 , c=-20再代入得：肩 -, b=0l72b <

11、;02 f(x)=x -22 1例7、已知函数f(x)=x +ax+b, x -1 , 1 , 若|f(x)|最大值为1 ,求f(x)表达式。2略解： |f(0)|=|b|_1 w bw 1 2- |f(1)|=|a+b+1|,|f(-i)|=|-a+b+1|1 .w a+b+1 w 2-1 w -a+b+1 w 12再+得:-3 w bw -12 2由得:此时为b3-1 Ea兰05，a=0b Wa 兰1 f(x)=x 2.评注：利用消元思想，把相关条件向一个变量集中，或者说从两个不同角度研究同一个变量，可以准 确地把握该变量的值，这就是夹逼法。五、灵活运用知识， 2例 8、已知函数 f(x)

12、=ax +bx+c, g(x)=ax+b , a>0，当 x -1 , 1时，|f(x)| w 1,若 g(x)在-1 , 1 4上最大值为2,求f(x)。略解： a > 0,. g(1)=a+b=2 f(1)-f(0)=2, f(0)=f(1)-2/ -1 < f(1) < 1,.-3 < f(0) < -1又-1 w f(0) w 1,. f(0)=-1 f(x) > -1=f(0) 0 -1 , 1 , x=0 为 f(x)图象对称轴 =0 , b=0 ,a=22a2 f(x)=2x-11已知函数f(x)= x22在区间m, n上的值域是3m,

13、3n，求m n之值。略解: 3n- m , n c (- s, 1 f(x)在m, n上递增Jf(m) =3m jf(n) =3n解之得：宵评注：二次函数在闭区间上的最值是二次问题重要题型之一，例8、例9从二次函数最值的性质出发,活用了二次函数的性质。开口向下的抛物线，当对称轴在已知区间内时，在顶点取得最大值，闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值。总之，考查二次问题，不仅考查配方法，待定系数法，夹逼法，还重在考查数形结合、分类讨论、等价化归、构造等思想方法，很好地体现了命题以立意为主的意图。巩固练习一、选择题1、(1)已知函数2f(x)=ax +(1-3a)x+a 在区间1 , +s)上递增

14、，求a的取值范围A、B.1(-,1 C. 12,+s)D. 0, 17(2 )已知函数上是减函数，则实数a的取值范围是Qy =log 1 (3x -ax +5)在-1 ,+ oo )A. (- g, -6B.(3)二次函数f(x)(-阿,-6 ) C. (-8 , 满足 f(2+x)=f(2-x)，又 f(x)-6 D. -8, -6在0 , 2上是增函数，且f(a) > f(0)，那么实数a的取值范围是A. 0 , +oB.(-o, 0 C. 0, 4D.(-8, 0 U 4 ,+ 8)16112、已知不等式ax2-bx-1 >0的解集是_!, 1 ，则不等式x2-bx-a &l

15、t; 0的解集 一 3A.(2, 3)B.( oo2)U( 3, +8)(1,丄)33、若方程C.D.2sinx-s in x+(a-1)=0有实数解,1 )U( 1 , +o)32则a的取值范围是( oo98二、填空题B. -2, 9 C. 08,9 D. -1 24、设函数 f(x)=lg(ax -4x+a-3)(1) 若f(x)的定义域是R,则a的取值范围是(2) 若f(x)的值域为R,则a的取值范围是_(3)若f(x)在区间(-4 , -1 )上递减，贝y a的取值范围是 o、在 ABC中，tgA与tgB是方程x2+mx+m+1=啲两根，则m的取值范围是 、二次不等式x2-(a-2)x

16、+3a < 0在区间(-2 , 1 )内恒成立，则实数 a的取值范围是解答题(1)(2)8、(1)(2)1 k2已知f(0)=1-一COS20+ sin0的最大值等于3, 二次函数g(x)=ax -x-12 2求k的值及f( 0 )的最小值；若对于任意0、X R,不等式f( 0 ) > g(x)恒成立，求实数a的取值范围。已知a、b、c为实数(a< b),而r为正实数，证明：方程(x-a)(x-b)=r有两个不相同的实数根；设方程(x-a)(x-b)=r有两个不相等的实数根为，试比较a、B、a、b的大小。、已知二次函数 f(x)=ax 2+bx+c (a > 0),二次

17、方程 f(x)=x的两个根X1、X2适合0v X1V x2-，当0a< u< X1时，试比较X1与f(u)的大小关系。2设二次函数 f(x)=ax +bx+c (其中a>0)已知 |f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1，试求 f(x)的解析式;10、(1)已知 |f(0)| w 1, |f(-1)| W 1, |f(1)|w 1,求证：当|x|5w 1 时，|f(x)| w 上4c R),当 0 w x w 1 时，|f(x)| w 1,求 |a|+|b|+|c| 的最大 2变式 1 :已知函数 f(x)=ax +bx+c ( a、b、 值；变式 2 :已知 a、2 2函 数 f(x)=ax +bx+c , g(x)=ax+b ,p(x)=cx -bx+a ,q(x)=acx时,|f(x)| w 1，证明:(1