清华 质点运动学

1、注意注意参照系不一定是静止的。参照系不一定是静止的。第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 参照系、质点参照系、质点一、运动、参照系：一、运动、参照系：运动是绝对的，而对运动的描述是相对的。运动是绝对的，而对运动的描述是相对的。参照系：参照系： 描述运动时选择的一定的基准。描述运动时选择的一定的基准。坐标系坐标系：为了定量地确定质点在空间和时间上的位置而固为了定量地确定质点在空间和时间上的位置而固定在参照系上一个框架。定在参照系上一个框架。在已定的参照系中存在两类物理量：在已定的参照系中存在两类物理量：时刻：时刻：位置：位置：时间轴上的点时间轴上的点空间轴上的点空间轴上的点状态量状态量时间间

2、隔：时间间隔：空间间隔：空间间隔：即时间。即时间。空间轴上的一段线段。空间轴上的一段线段。过程量过程量二、质点：二、质点：没有大小和形状，只具有全部质量的一点没有大小和形状，只具有全部质量的一点理想模型理想模型质点不存在质点不存在物体上各点运动状态完全一致。物体上各点运动状态完全一致。物体上任一点的运动可以代表所有点的运动物体上任一点的运动可以代表所有点的运动物体上各点运动状态虽不一致，但差别不大。物体上各点运动状态虽不一致，但差别不大。时间轴上的一段线段。时间轴上的一段线段。xyzo1 2 质点运动的描述质点运动的描述一、位置矢量一、位置矢量 ： r描述质点位置的矢量，描述质点位置的矢量，

3、简称简称“位矢位矢”。prxyz 是自参考点是自参考点O 到到 t 时刻质点所时刻质点所在位置在位置P 所引出的矢量。所引出的矢量。在直角坐标系有：在直角坐标系有：kzjyixr 可见：可见：位置矢量与质点的位置一一对应。位置矢量与质点的位置一一对应。二、运动方程：二、运动方程：ktzjtyitxtr)()()()( 运动方程矢量式运动方程矢量式ktzjtyitxtr)()()()( 运动方程矢量式：运动方程矢量式：分量式：分量式：)();();(tz zty ytxx 表示质点运动空间位置的方程。表示质点运动空间位置的方程。)();();(tz zty ytxx t消去消去f (x, y,

4、z)=0三、位移、路程：三、位移、路程：x y zor2 r1 r 初位置初位置A 引向引向t 时间间隔时间间隔的末位置的末位置B 的矢量。的矢量。12rrr jyyixx)()(1212 可见：位移是某一时间间隔内位置矢量的增量。可见：位移是某一时间间隔内位置矢量的增量。以下主要讨论二维情况。以下主要讨论二维情况。简称简称 “位移位移” B Ax y zor2 r1 r B A 质点在一段时间间隔内质点在一段时间间隔内走过的路径。走过的路径。jyyixxrrr)()(121212 大小：大小：212212)()(yyxxr 方向：方向： 用位移与用位移与x 轴正向的夹角轴正向的夹角 表示表示

5、1212tanxxyy s 位移：位移： 矢量矢量路程：路程： 标量标量均为过程量。均为过程量。但一般情况：但一般情况：sr 位移与路径无关。位移与路径无关。 在相对静止的两坐标系中：在相对静止的两坐标系中：位移与坐标无关，但位置矢量与坐标有关位移与坐标无关，但位置矢量与坐标有关.12rrr 1 3 质点运动的描述质点运动的描述 一、速度：一、速度：A 平均速度平均速度 ：)( trr 设：设：t 时间内的位移为时间内的位移为r trV 系系Rtjtyitx jViVyx 大小：大小：方向：方向：trV r B 平均速率平均速率 ： tsV 一般情况：一般情况：VV 路程为路程为s 其中：其中

6、：A 定义：定义：t 0 时，平均速度的极限，时，平均速度的极限，简称速度。简称速度。trVt lim0trdd jViVyx B 分析：分析： 速度是一矢量。速度是一矢量。大小：大小：trVdd 称为称为“速率速率”方向：方向： 是质点是质点t 时刻的运动方向时刻的运动方向x y zor2r1 A Br jtyitxdddd txVtx lim0txdd tyVty lim0tydd trV 二、加速度：二、加速度：平均加速度：平均加速度：tVVtVa 12大小：大小：tVa 方向：方向：V （瞬时）加速度：（瞬时）加速度：tVat lim0tVdd 22ddtr 可见：可见： 加速度、速度

7、与位置矢量一样具有瞬时性。加速度、速度与位置矢量一样具有瞬时性。22ddtra jtyitx2222dddd jaiayx 大小大小=方向：方向： 22yxaa V t 船的运动方向为船的运动方向为 -x 方向方向例：距水面例：距水面h 的高处有一定滑轮，现通过此定滑轮向岸边拉船。的高处有一定滑轮，现通过此定滑轮向岸边拉船。 若绳子一端的速度若绳子一端的速度 一定。一定。求：船距离岸边为求：船距离岸边为 x 时，船的速度、加速度。时，船的速度、加速度。0V0Vhx解：解：XYO取图示坐标系，取图示坐标系，则船的位矢为：则船的位矢为：rjhixr V (1) 0dddd itxtrV(2) dd

8、dd22itxtVa 对水平方向的绳子有：对水平方向的绳子有：trVdd0 由几何关系：由几何关系：222hxr txxtrrdd2dd2 trxrtxdddd 0VhxXYOrV(1) 0dddd itxtrV(2) dddd22itxtVa trVdd0 )(dd0Vxrtx 022Vxhx 320222ddxVhtx 代入代入 ixVhaiVxhxV3202022 自然系：自然系：轨迹轨迹轨迹上的任一点轨迹上的任一点A 可取：可取：沿轨迹在该点切线方向的切向单位矢量沿轨迹在该点切线方向的切向单位矢量 与切向正交，且指向轨迹曲线与切向正交，且指向轨迹曲线 凹侧的法向单位矢量凹侧的法向单位矢

9、量nn可见：可见：A. 自然系中的方向矢量不是常量。自然系中的方向矢量不是常量。B. VV 自然系中的加速度：自然系中的加速度： anaan tVadd )(dd Vt tVVtdddd比较可得：比较可得：22ddddtrtVa A tVVtadddd anaan 切向加速度切向加速度 ： a tVadd大小：大小：tVadd 方向：方向： 沿所讨论点的切线方向沿所讨论点的切线方向 ： naVtan dd )(t )(tt )()(ttt 时时 0 t0 )(t 时时即：即： 0 tn 1且：且：轨迹轨迹 nA)(t )(tt Vtan dd n ttt limdd0nt dd ntss dd

10、dd Vts dd（速率）（速率） 1dd s其中其中 为为t 时刻该点附近曲线的曲率半径。时刻该点附近曲线的曲率半径。nVt ddnVVtan 2dd 大小：大小： 2Van 方向：方向：n沿法线指向曲线的凹侧沿法线指向曲线的凹侧 )(lim0ntt 时时 0t 综上可知，在自然坐标系中有：综上可知，在自然坐标系中有： aaan大小：大小：222)dd()(tVV 方向：方向： aan tan) (,Va 按照按照an 、a 的情况可以将平面运动进行分类：的情况可以将平面运动进行分类：a =0a 0an=0an0匀速、直线匀速、直线变速、直线变速、直线匀速、曲线匀速、曲线变速、曲线变速、曲线

11、（an=k，匀速圆周）匀速圆周）（一般曲线运动）（一般曲线运动）（改变（改变 大小）大小）V（改变（改变 方向）方向）V14 运动学问题分析运动学问题分析存在两类问题：存在两类问题：)(trr trtVVdd)( 22dddd)(trtVtaa 一、直线运动：一、直线运动：微分法：微分法：)(txx txtVVdd)( 22dddd)(txtVtaa 积分法：积分法：)(taa 初始条件初始条件 )(tVV )(txx )(xaa 变量代换变量代换tVadd txxVdddd xVVdd VVxadd )0( na二、抛体运动：二、抛体运动：特点：在不考虑空气阻力的情况下：特点：在不考虑空气阻

12、力的情况下：a = g 讨论直角坐标系的情况：讨论直角坐标系的情况：yxo0V0 以初抛位置为原点建立以初抛位置为原点建立Rt坐标系坐标系则：则：)1( jga 初始条件：初始条件：0, 000 rVVt，时时 tVVtaV0dd0)2( 0taVV trtVr00dd tttaV00d)()3( 2120tatVr 将上式投影：将上式投影： 2000021sincosgttVytVx )(trr trtVVdd)( 22dddd)(trtVtaa 2000021sincosgttVytVx yxo0V0 运动轨迹：运动轨迹：)(xfy 202200cos2tanxVgx R射程射程R ：令令

13、 y=0 得：得：02002sin gVxRy 最大高度最大高度h ：0dd ty令令飞行时间飞行时间t ：最高点：最高点：0dd ty001sin gVt 001sin22 gVtt 三、圆周运动：三、圆周运动： 物理量：物理量：位置：位置： 弧坐标弧坐标 S=S(t)路程：路程： 弧长的变化量弧长的变化量 S线速率：线速率：tsVdd 线加速率：线加速率：tVadd 22ddts 2Van RV2 运动规律：运动规律：匀速圆周运动：匀速圆周运动：变速圆周运动：变速圆周运动：Vts RVan2 0 a2021tatVs 22 aaan R1V2V )(tP)(ttQ O Xs 物理量：物理量

14、：角位置：角位置：)(t 角位移：角位移：12 角速度：角速度：tdd 大小：大小：角加速度：角加速度：tdd 大小：大小：对比直线运动对比直线运动)(txx 12xxx txVdd tVadd 其中：其中： 、 为矢量，其方向规定为：为矢量，其方向规定为： 右手四指沿运动方向弯曲时，拇指指向为右手四指沿运动方向弯曲时，拇指指向为 的方向的方向 V 加速运动；加速运动； 减速运动减速运动R1V2V )(tP)(ttQ O Xs 运动规律：运动规律：匀速圆周运动：匀速圆周运动：t 00 匀变速圆周运动：匀变速圆周运动：2021tt t 0)(20202 k RstsVdd tRdd RtVadd

15、 tRdd RRVan2 221RR R2 Ra 42 R1v2v )(tP)(ttQ O Xs 15 相对运动相对运动静系静系Sxoy，动系，动系S xo y XYOXYOS 系相对于系相对于S系以速度系以速度 运动运动 uu 若若S 系原点相对于系原点相对于S系原系原点的位置矢量为：点的位置矢量为：0r0rP 则空间的同一点则空间的同一点P ，在两，在两个坐标系中的位置矢量个坐标系中的位置矢量 、 r rr r有关系：有关系：0 rrr 记为：记为：sspspsrrr sspspsVVV sspspsaaa VVps称为绝对速度称为绝对速度其中：其中：VVps称为相对速度称为相对速度uVs

16、s称为牵连速度称为牵连速度uVV 则：则：uVV 特特别别指指出出讨论问题一定要选取坐标系讨论问题一定要选取坐标系注意矢量的书写注意矢量的书写tvsrd,d,d,d与与的物理含义的物理含义 tvsr ,要区分清楚要区分清楚 2002 tataV tVxtxdd00 tttata0200d)2( 623020tatax txVdd tVxdd 例例1.1.一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a0，以后加，以后加 速度均匀增加，每经过速度均匀增加，每经过秒增加秒增加a0 。 求：经过求：经过t 秒后质点的速度和运动的距离。秒后质点的速度和运动的距离。解：

17、解：据题意知，加速度和时间的关系为：据题意知，加速度和时间的关系为：taaa 00 taVdd tVtaV00ddttaatd)(000 tVadd 例例2. .一质点沿一质点沿x轴作直线运动，其位置轴作直线运动，其位置坐标与时间的关系为坐标与时间的关系为 x=10+8t-4t2 。 求：求：（1）质点在第一秒、第二秒内的平均速度。质点在第一秒、第二秒内的平均速度。 （2）质点在质点在 t=0、1、2 秒时的速度。秒时的速度。解：解：t时刻有：时刻有：x = 10 + 8t4t2t+t 时刻有时刻有: (x+ x) = 10 + 8(t +t )4(t+ t )2则在则在t 时间间隔内的位移为

18、：时间间隔内的位移为：x = 8t 8tt 4t 2txVttt ,tt 488第一秒内的平均速度：第一秒内的平均速度：)m/s(4)01(40881 , 0 V与与x 正向相同正向相同（2）质点在质点在 t=0、1、2 秒时的速度。秒时的速度。 x=10+8t-4t2txVdd t 88 m/s80 V轴轴正正向向相相同同与与 x01 V轴轴正正向向相相反反与与 x此此时时转转向向第二秒内的平均速度：第二秒内的平均速度：)m/s(4)12(41882 , 1 V与与x正向相反正向相反ttVttt 488,m/s82 V解：解：例例3 设质点做设质点做二维运动：二维运动： jti tr)2(2

19、2 求：求：t=0 0 秒及秒及 t=2 秒时质点的速度，并求后者的大小和方向。秒时质点的速度，并求后者的大小和方向。 iVt2 , 00 jiVt42 , 22 大小：大小：方向：方向：626324arctan 轴轴的的夹夹角角与与为为xV2 trVdd s/m47. 442222 Vj ti22 例例4.4.一质点沿一质点沿x 轴作直线运动，其轴作直线运动，其 Vt 曲线如图所示，如曲线如图所示，如 t=0 时，时， 质点位于坐标原点。质点位于坐标原点。 求：求：t=4.5 秒时，质点在秒时，质点在x 轴上的位置。轴上的位置。解：解：tVxdd tVxdd用求面积的方法：用求面积的方法：m

20、2 21)21(22)15 . 2(d5 . 40 tVxV(m/s)t(s)-1 2 1 0 1 2 3 4 2.54.5例例5. 由楼窗口以水平初速度由楼窗口以水平初速度V0 射出一发子弹，取枪口为原点，沿射出一发子弹，取枪口为原点，沿 V0 为为x 轴，竖直向下为轴，竖直向下为y 轴，并取发射时轴，并取发射时t=0 . .试求：试求：(1)(1)子弹在任一时刻子弹在任一时刻t t的位置坐标及轨道方程；的位置坐标及轨道方程； (2)(2)子弹在子弹在t t时刻的速度，切向加速度和法向加速度。时刻的速度，切向加速度和法向加速度。解：解：(1)(1) tVx0221gty 20221Vgxy

21、ana gyxo oV0 0 (2)(2)子弹在子弹在t t时刻的速度，切向加速度和法向加速度。时刻的速度，切向加速度和法向加速度。gtVVVyx , 0任意时刻任意时刻t的速度：的速度：大小：大小：222022tgVVVVyx 方向：方向： 01tanVgt 任意时刻任意时刻t的加速度：的加速度：22202ddtgVtgtVa 与速度同向与速度同向2220022tgVgVagan 与切向加速度垂直且与切向加速度垂直且指向轨迹凹侧指向轨迹凹侧ana gyxo oV0 0 例例6. . 一质点在一质点在oxy 平面内作曲线运动，其加速度是时间的函数。平面内作曲线运动，其加速度是时间的函数。 已知

22、已知 ax=2 ， ay=36t2。设质点设质点 t0 ，r0=0，V0=0 。 求：求：(1) 此质点的运动方程；此质点的运动方程； (2) 此质点的轨迹方程；此质点的轨迹方程； (3) 此质点的切向加速度。此质点的切向加速度。解：解： (1) dd ; ddtVatVayyxx tttaVyyd36dd2 及及jti tV3122 tVx2 312tVy ttaVxxd2dd tVyttVy020d36d tVxtVx00d2d)12;2(3tVtVyx tyVtxVyxdd ; dd ttyttxd12d ; d2d3 tytxttyttx03000d12d ; d2d423 ; tyt

23、x 所以质点的运动方程为：所以质点的运动方程为： 423tytxjtitr423 (2) 此质点的轨迹方程：此质点的轨迹方程：上式中消去上式中消去t, 得：得：y=3x2轨迹是抛物线轨迹是抛物线。(3) 此质点的切向加速度此质点的切向加速度tVadd 312 ; 2 tVtVyx 62221444 ttVVVyx 4262636121621444864821ddtttttttVa 例例7. 河水自西向东流动，速度为河水自西向东流动，速度为10 km/h, ,一轮船在水中航行，一轮船在水中航行， 船相对于河水的航向为北偏西船相对于河水的航向为北偏西 30o , ,航速为航速为20km/h 。此。此 时风向为正西，风速为时风向为正西，风速为10km/h 。求：求： 在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向。（设烟离开烟囱在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向。（设烟离开烟囱 后即获得与风相同的速度）后即获得与风相同