B偏导数1练习

1、2.设z = f (x2 - y2, y2 2-x )，f具有连续偏导数，证明:y空+x竺=0。 cxcy证明:由于也f'=M 氷 血-f cx2x + f2 <-2x),(2y) + f2 2y,所以:ozcz''''x+ y=Zxyfr +2xyf2+2xyf1 -2xyf2 = 0. cy&3、设z =arctan# In Jx2 + y2xC2z，求cxcy解:cz4.解:cxi+(y)2xx2 +y2x2+ y2(x2 +2y )(x+y) ”2xX2 + 2xy - y2cxdy/ 2 , 22(X + y )/ 2 , 22(

2、x +y )设z = f(u,x,y),u =xey，其中f具有连续的偏导数，求acz czcx cyczcx'CU''fl+f21 + f30cxfl + f2 ；cu ''+ f20 + f 3T；=xey fi + f3。6、设，而，求dzdx愆 dy , cz=I cy dx&xxey2十-一1 +(xy)21 + (xy)2(X +1)ex1 + xe2x-/、sin X t、11、设 Z = ( y +3x) ，求,.& dy解:竺=(y+3x)sinxcosx + 3Sn exy + 3x=sin x(y + 3x)sinx

3、-1 点y15、设z=(x+2y)33，求一，空excy解:=(x +2y)333ln( x +2y)十3 exX + 2 y計x+2y"yx+2y -ln(x+2y)-.218设z=(x+2y)lnx，求c zdx点y解:乞=(x+2y)lnx(迪exx X + 2 y卑=2（x+釘L空2cxoyx書+)x戈X + 2y刃民）启6分20、设Z =1 n（丘十爲）,证明：CZ 丄CZx一 + y一 ex cy证:cz& vx+T?1（仮5"2仮（仮+佝21、解:cz矿耐7朋+皿乱czx+ y=x ' excy2 両 7x+yy)+ y ”2仮(仮+Ty)27

4、7(仮+7y)设 f(x,y) =xy+(x1)tanj|,求 fx'(1,2), f；(1,2)fx(x, y) = y + tan 咅,fy(x,y) = x + (x - 1)sec £fX(1,2)=2+ta n1f(1,2) =1+0 =123、设函数z（x,y）由方程F（x + ：y+三=0确定，证明: y x）证：设 U =x+z,V = 丫+2 则y x，1I z I+ F2 , Fx = F- - F2 , Fyxz Fi +F2依yy 12x+/y) 2czx +ex6czy =z-xyx一十exy 匸= x(-Z)+y(-H)=x(-FzFzF1-各 F

5、2'X1 ， 1，-Fi +-F2 y x)+ y(1 - 1 -) -F1 +-F2 y x(z-xy)eF1'+拚11) = z-xy-f"-F2'yx24、求 lim n冯1 -Jx2 +y2 +12丄 2 解: lim = lim(X2 + y2)(1 + 77+1+ y2+i)2,八1 (x2 +y2 +1)=也1(1 +7xy)=-2cz cz求一,ex cy25、已知 z(x, y) =x2y + y2 +y(x)，且 z(x,1)=x ,2解：由 z(x,1)=x 得 x = x +1+y(x)于是 y(x) = -X2 +x-1 ,z(x,

6、y) = x2y + y2 + -x2+ x14 分竺=2xy-2<+1?excz2=x约27、设，而，求dzdx5dzcz ,解：=+dxcz.dydx一1 +x2y2x+ xe1+x2y2_(x +1)ex.2 2x1 +x e28、设 X +2y + z - 2jxyz =0，求纟及皀.ex科解：设 F(x, y, z) =x +2y +z-2jxyz，则Fx 亠f ,Fy=2-严，Fz 亠严,xyzvxyzyxyz8 _Fx_ xy- yzcz_ Fy_xz&Fz xy - Jxyz点y Fz xy-Jxyz32.设 2sin(x +2y-3z) =x +2y-3z，证明

7、cZ=1。解:czFXcxcxFz'czFy'Fz'代入整理得33、设=1 n Jx解:Sz34、设解:cxcxcy-2cx2cos(x +2y -3z) 16cos( X + 2y -3z) +34cos(x +2y 3z) 26cos(x + 2y - 3z )+3cx-y=1，得证-y-2yxc2zc2z-y2x2 2x -y,222(x -y )-x -y(x2czcz<xcu丝-212 2-y )czy ,v=xycz-求，-cx cycv_ 2x uy2 (x2+y2)<xcvcxux/ 2 , 2(X +y )xy36、求由方程xy+yz +

8、zx=1所确定的函数z(x, y)的偏导数c2oxcy22解：有题意z=Xxyx + yy(x + y)(1xy)(x + y)2= (x+y)22y(x + y)2+(y2 +1)2x + y)(x + y)4y tf 237、设 z =arctan +ln、fxx解:=ex1 1 1Jx2 +y2 2 Jx2 +y2-(X2 +y2) -(X-y)2y-2xy-x2 + y2cxdy/ 2 , 2 2(x +y )/ 2 , 22(x +y )39、设 z =1 n Jx22-y-2卡E z,求cxdy解:=41、设函数z =z(x, y)由方程 F(x +2 y+-) =0X确定，且F具

9、有连续的偏导数,x22x -yc z2yx=7_27cxcy(x -y )dz证明：+42、令 x+r=u,yzy + = vx也辽-(Fu+F，)x + y =X + yex-(Fu(二) + Fv)yL 1L 1Fu + Fv y x2 2(x y zx)Fu +(xy -zy)FvxFu +yFv= z-xy、八In x设z = y,求三cx5y解：有题意In y丄X44、45、得：JLSj(In cxeyxIn x_1.X ”y In y + yIn x丄)y设 z = Xy + xf (u), u = Y, f (u)可微,证明x解：令 乞=y + xf '(u)( -当),

10、 exxX 竺+ y 空=z+xy. excy1x + xf '(u) xy1代入左式即X (y+ xf (u)(-飞)+ y，(x + xf'(u)=z +xy等于右边，得证xx解：In z =ln xIn y点In zaex"Jnz ex Xczz,czz,y= =- In y,=一1 nxexxcyyc Inz<xcy09AX+ L © (a£)£ £) (Ax 二MX 丄耳2X 二)UF 引AX+ L &-+(AX+L)unZQ ,LAyz UGAX+ LAX+ L xgz?(x?JinZQ I(AX+ L

11、)u一ah n u一 -a ,LgA 寸 + 3lax8+ Lczx 寸 + L4 0HX?A寸 + l£ax寸 + zljAx寸+ tJEX寸+ LJeH z ,XQ哎犁4X4"親-a，卜寸X X A心倉rp A心 >soox) H (>us) + X >soo H+N >lns n L n n 5 y 吕 z zq 、 c c c c cXu 5 d 3( ( .L. (.>80 H+ n 5 N 3( ( (xg 处川 .a_ (lz)ax 召 5N%z Cz zk LzG召 xg N N+Z g L 尽 zg LGZ U一心Gex再对上

12、式两端关于exx求偏导得:52、解： 对方程两端关于 x求偏导得:2x+2z-4=0，且=-2x-cx 4 - 2z2 +2 斗 2zEx2 2Ez.cz c -42 =0 ex2从而有c2z4-2z4-2z4-2z2 + 2x-z2(2-Z)53.方程 x+2y3z=2jxyz确定一 十点ZCZZ = f(X, y)，求一, excydz(yz + xypexdzc c 吒1 Z丄QZ、2-3=-j (xz + xy)=今 Jxyz列2-cz3254.设z = f（X -y ），其中f具有二阶导数，求C2z C2zr2'L、L、exexey解：一=3x2f'(X3 -y2)e

13、xc2z-'.32.4 - ''.32.-2 =6xf (x -y )+ 9x f (x -y ) <xC z2''32=6x yf (x -y ) exey56.设 z = ln( X +ln y)，求czOxoy解:& x+ In yc2z2 _ _ 2点X点y(x+ In y)y(x+ In y)60.设 2sin(x+2y 3z) = x + 2y 3z，证明： 皂+ =1. ex cy证明：对等式两边同时关于 X求偏导得：Fz2 cosX +2y -3y )(1 -3)= 1 -3 cz 2cos(x+2y-3z)-1exex得=CX 6cos(x +2y -3z) -3对等式两边同时关于 y求偏导得:2cos(x +2y -3y)(2-3皂)=2-3空dydycz 4cos(x+2y-3z) -2得 dy 6cos(x+2y -3z) 3c 说亠辽 2 cos(x+2y-3z) -14 co