2018版高中数学第二章平面向量2.4第1课时向量的数量积学案苏教版必修4

1、第 1 课时向量的数量积【学习目标】1. 了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F 的作用下产生位移 s 所做的功 2 掌握平面向量数量积的定义和运算律，了解其几何意义3 会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.西问题导学-知识点一平面向量的数量积思考 1 如何计算这个力所做的功?思考 2 力做功的大小与哪些量有关?梳理 平面向量的数量积(1) 已知两个非零向量a和b,它们的夹角是9，我们把数量|a|b|cos0叫做向量a与b的_ (或_ )，记作ab,即卩ab= |a|b|cos9.(2) 我们规定：零向量与任一向量的数量积为 _.特别提醒：两个向量的数量积是一个数量

2、，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角 都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定.知识点二两个向量的夹角思考 把两个非零向量的起点移至同一点，那么这两个向量构成的图形是什么？梳理两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a,b，如图所示.一个物体在力F的作用下产生位移2梳理(1)条件：向量a与b的夹角为0.投影:向量b在a方向上的投影|b|cos0向量a在b方向上的投影|a|cos0(3)ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与_ 的乘积.知识点四平面向量数量积的性质及运算律 思考 1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别?思考 2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和

3、零，其数量积的符号由什么来决定?梳理（1）数量积性质作OAa,OB b,则/AOB=0，称为向量a与b的夹角.(2) 范围：_ .(3) 当0=_时，a与b同向；当0=_时，a与b反向.当0=_时，则称向量a与b垂直，记作a丄b.知识点三平面向量数量积的几何意义思考 1什么叫做向量b在向量a上的投影？什么叫做向量a在向量b上的投影?思考 2 向量b在向量a上的投影与向量a在向量b上的投影相同吗?b831当a与b同向时，ab= |a|b| ；2当a与b反向时，ab=- |a|b| ；3当a丄b时，a - b= 0;4aa= |a|2或 |a| =aa.（2）数量积的运算律ab=ba；笑（入a）

4、b=a（入b）=入（ab）=入ab； （a+b） c=a - c+bc.题型探究类型一 求两向量的数量积例 1 已知|a| = 4, |b| = 5,当a/b；a丄b； (3)a与b的夹角为 30时，分别求a与b的数量积.反思与感悟 求平面向量数量积的步骤是：(1)求a与b的夹角0,B 0 , 180 ； 分别求|a|和|b|; (3)求数量积，即a-b= |a|b|cos0，要特别注意书写时a与b之间用 实心圆点“”连结，而不能用“x”连结，也不能省去.跟踪训练 1 已知菱形ABC啲边长为a,ZABC=60 ，则BD-CD=_类型二求向量的模 例 2 已知|a| = |b| = 5,向量a与

5、b的夹角为号，求|a+b| , |a-b|.3引申探究若本例中条件不变，求|2a+b| , |a-2b|.a2= |a|2,即|a| = , a勿忘记开方.跟踪训练 2 已知|a| = |b| = 5,且|3a 2b| = 5，求|3a+b|的值.反思与感悟此类求解向量模的问题就是要灵活应用4类型三求向量的夹角 例 3 设n和m是两个单位向量，其夹角是 60,求向量a= 2m+n与b= 2n3m的夹角.反思与感悟求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意 向量夹角的范围是0,n.跟踪训练 3 已知|a| = 2|b| = 2，且ab= 1.(1)求a与b的夹角0;求(

6、a 2b) b；当入为何值时，向量 入a+b与向量a 3b互相垂直?5当堂训练1._已知|a| =8, |b| = 4,a,b= 120 则向量b在a方向上的投影为 _ .2 .设向量a,b满足 |a+b| = 10, |ab|=6，贝 Uab=_ .3._若a丄 b,c与a及与b的夹角均为 60, |a| = 1, |b| = 2, |c| = 3,则（a+ 2bc） =_4.在ABC中, |XB= 13, |EBCf = 5, |CA= 12,则XB-BC的值是_5.已知正三角形ABC的边长为 1,求：（1）AB- AC（2）AB-BCE3C-AC厂规律与右法 - ,1.两向量a与b的数量

7、积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正（当a*0,b* 0, 0w090时），也可以为负（当a* 0,b* 0, 900 180时），还可以为 0（当a= 0 或b= 0 或0= 90 时）.2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是 有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.3.a-b= |a|b|cos0中，|b|cos0和|a|cos0分别叫做b在a方向上的投影和a在b方向上的投影，要结合图形严格区分.4 .求投影有两种方法60（0为a,b的夹角），a在b方向上的投影为|a|cos0.5.两非零向量a,b,a丄b?ab= 0,求向量

8、模时要灵活运用公式|a| = _a2.（1）b在a方向上的投影为|b|cosb在ab|OTa在b方向上的投影为7合案精析问题导学知识点一思考 1W|F|s|cos0.思考 2 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.梳理数量积内积（2）0知识点二思考角.梳理 （2）0 0 180（3）0 180（4）90 知识点三思考 1 如图所示，OA= a,OB= b,过B作BB垂直于直线OA垂足为B,贝U OB=|b|cos0.|b|cos0叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos0叫做向量a在b方向上的投影.思考 2 由投影的定义知，二者不一定相同.梳理（3）b在a的方向上的投影|b|cos0知识

9、点四思考 1 向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量.思考 2 由两个非零向量的夹角决定.当 00 V90时，非零向量的数量积为正数.当0= 90时，非零向量的数量积为零.当 90V 0 180时，非零向量的数量积为负数.题型探究例 1 解（1）a/b,若a与b同向，贝U 0= 0,ab=|a|b|cos 0 =4x5=20；若a与b反向，则0= 180, ab=|a|b|cos 180 =4x5x（1）=20.当a丄b时，0= 90,.ab= |a|b|cos 90 = 0.当a与b的夹角为 30时，8ab=|a|b|cos 30 =4x5x -2 =10 .3.93跟踪训练 12a

10、2例 2 解ab= |a|b125|cos0 =5X5X2|a+b|=a+ba|2+2ab+1b|2|a-b|=a-b2=a|2-2ab+1b|225-2X25+25=5.引申探究解a-b= |a|b|cos0= 5x5x1 = 25,|2a+b|=2a+b2=；4|a|2+4a-b+|b|2|a-2b|=a-2b2=|a|2-4a-b+4|b|225-4X ? +4X25=5 .3.跟踪训练 2 解 |3a-2b|2= 9|a|2 12a-b+ 4|b|2=9X25-12a-b+4X25=32512a-b,/|3a2b|=5 , 325-12a-b=25,-ab= 25.|3a+b|2= (

11、3a+b)2= 9a2+ 6a-b+b2=9X25+6X25+25=400,故 |3a+b| = 20.例 3 解Tln| = |m= 1 且m与n夹角是 60,1 1m-n=|m|n|cos 60=1X1X|a|=|2n|= .n2=,4X1+1+4m-n=4X1+1+4X；=7,|b|=|2n-3m|=?n3m2=4X1+9X1-12m-n=Aj4X1+9X1-12Xt=V7,2 2ab=(2n+n)(2n-3m)=m-n-6m+2n25+2X25+25=5 3.X25+4X25+25=57.10设a与b的夹角为0又T 00, n,2n ,r.t2n0=可，故a与b的夹角为33跟踪训练 3 解Ja| = 2|b| = 2,- Ia|=2,|b|=1,又J 0 0 , 2b=ab 2b= 1 2= 3.J入a