第4章不定积分

1、第4章不定积分一元函数积分学是一元函数微积分学的另一重要组成部分，包括不定积分，定积分和 定积分的应用.不定积分的概念是由研究导数问题的逆问题而引入的，定积分的概念则是 由研究微小量的无限累加问题而引入.这是一元函数积分学的两个基本问题，它们似乎互 不相干，却可以通过微积分基本公式密切地联系起来.本章介绍不定积分的基本概念、性 质及求不定积分的基本方法. 1不定积分的概念一、原函数的概念已知一个函数，求它的导数或微分，是微分学所研究的最基本的问题在许多实际应用中，还会碰到它的逆问题例如，从微分学知道，若已知曲线方程为y = f(X)，则可求出该曲线在任一点(X, f(X)处切线的斜率f (X)

2、.现假设知道某一曲线上在任一点处切线 斜率为2x，且曲线经过原点，则如何求出此曲线方程？又如，若作变速直线运动的质点 的位置函数为S=s(t)，则质点在任一时刻的瞬时速度为s(t) 现若知道从静止状态开始作变速直线运动的质点在时刻t的瞬时速度为at，则如何求出它的位置函数S = s(t) ?以上两个例子，研究对象虽属于不同范畴，但本质上都是已知某一函数的导数，要求该函数 表达式的问题.为了解决这类问题，我们引入原函数的概念.定义1设f(X)是定义在区间I (有限或无穷)上的已知函数，如果存在函数F(x),使得对区间I上任一点X，恒有F (X)= f (x)或 dF(X)= f (x)dx ,则

3、称F(x)是f (X)在区间I上的一个 原函数.1 1例如，当x(-1,1)时，因为(arcsinx)=，所以arcsinx是.2在区间Jl-x2J1-X2(1,1)上的一个原函数.当时，因为(x2)=2x,所以x2是2x在(亠严)上的一个原函数.当 x：(-=c,+=c)时，因为(x2+1)=2x，所以 x2+1 是 2x 在(-,垃)上的一个原函数.从上述后面两个例子可见,2x的原函数是不唯一的.127F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，由于常数的导数是零，所以对任f (x)存在原一般地，若意常数C , F(x) +C也是f (x)在区间I上的一个原函数.因此，如果函数 函数，则它的

4、原函数必有无穷多个为此需要讨论两个问题：(1 )一个函数满足什么条件才有原函数？(2)如果函数f(x)有原函数，它的无穷多个原函数相互之间有什么关系?对于上述两个问题，我们有以下两个结论：定理1 (原函数存在定理) 如果函数在某区间上连续，那么它在该区间上必定存在原 函数.简单的叙述是：连续函数必定有原函数. 定理的证明将在下一章给出.需要指出的是，因为一切初等函数在其定义区间上都是连续的，所以每个初等函数在其定义区间上都有原函数.定理2 (原函数族定理)若F(x)是f (x)在某区间上的一个原函数，则F(x)+C是f (x)在该区间上的全部原函数，其中C是任意常数.证一方面，由于F(x)是f

5、(x)的一个原函数，即F(x) = f(x).因此对任意常数 C ,f(x) +C J = f(x)，即 F(x) +C 都是 f(x)的原函数.另一方面，若G(x)是f (x)的任意一个原函数，即 G(x)= f(x)，则由第3章 1定 理2的推论2可得，G(x)与F(x)最多相差一个常数，即 G(x)=F(x ) + C .由以上两个方面可得，F(x) +C是f(x)在该区间上的全部原函数，其中C是任意常数.证毕.二、不定积分的概念定义2设F(x)是f (x)在区间I上的一个原函数，贝U F(x)+C ( C是任意常数)称为f (x)在区间I上的不定积分，记为J f (x)dx，即H(x)

6、dx = F(x) +C ,其中J称为积分号,f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数.例 1 求 J3x2dx .解因为(X3) =3x2，所以J3x2dx = X3 +C .例 2 求 jsin xdx.解 因为(cosx) = sinx ,所以 Jsinxdx = cosx + C -1例 3 求 f2 dx .1+x21解因为(arctanx) =12，所以 f x = arctanx+C .1+x21+x2三、不定积分的几何意义设F(x)是f(x)的一个原函数，那么方程y = F(x)的图形是平面直角坐标系上的一条曲线，称为f (X)的一条积分

7、曲线.将这条积分曲线沿着 y 轴方向任意平行移动，就可以得到f (X)的无穷多条积分曲线，它们构成一个曲线族，称为f (X)的积分曲线族不定积yA分Jf(x)dx的几何意义就是一个积分曲线族它的特点是:在横坐标相同的点处，各积分曲线的切线斜率相等，都是 即各切线相互平行(如图 4-1).在求f(x)的所有原函数中，有时需要确定一个满足条件f(x),/J_OAx图4-1y(X0)= y。的原函数，也就是求通过点(X0,y0)的积分曲线.这个条件一般称为 初始条件，它可以唯一确定积分常数 C 的值.2 1例4求f(X)=X通过点(3,1)的积分曲线.y7x2dxEx3+C，代入初始条件，y1 0)

8、.aJcscxdx.dx解 Jcscxdx = Jsin Xi 2 dx7 少，sinx sin X cos xT1cosx-1c1-In+ C = In2cosx+12Jcscxdx =(cosx-1)(cosx-1) +c(cosx+1)(cosx-1)利用例6得f d(cos x) cos2 X -1Jin2cosx -1cosx +1Jin2(cosx-1)2cos X -1cosx-jc sin x=lncosx -1sin x+C =ln cscxcotx +C .类似可得fsecxdx = In secx + tan x + C .例 9 求 Jtan4 xdx .解 tan4

9、xdx = Jtan2 x(sec x -1)dx = ftan2 xsec xdx- ftan2 xdx2213=ftan xd(tanx) - J(sec x-1)cx =- tan x -tanx + x + C .3二、第二换元积分法(代换法或置换法)我们通过一个具体的例子来说明第二换元积分法计算不定积分的基本思想.1例10求J=dx . 1 +a/x解 作变量代换 jx =t，即X =t2(t 0)，其目的是把被积函数中的根号去掉，在上 述代换下，有1 1丙T 荷,dx=2tdt，于是12tdt1+t -11JEx7T7r2Jdts1-Hdt1= 2gt-2rd(t+1)=2t-2l

10、n 1+t +C 十t=2仮-2ln 1 +Vx +C .一般地，若积分Jf(x)dx不易计算，而如能作适当变换(t)，把原积分化为Jf(t)dt的形式后容易积分，并且在求出原函数后容易将 t =屮(X)代回还原,则可以使用这种方法.这就是第二换元积分法计算不定积分的基本思想.定理2设f (x)连续，X=(t)是单调、可导函数，且屮(t)H 0 . f砂(t) W (t)的一个原函数，即Jf 岁(t)dt =W(t)+C ,若(t)是(1)J f (x)dx =证由复合函数的求导法则以及反函数的求导公式，有d鱼=叭t)】屮(t)丄 dxdxdt即旷(x)j忙W金=f抄匸f(x)-这说明申V 4

11、(x)是f(x)的原函数，即(2)式成立.证毕.将(1)式和(2)式合起来写成便于应用的形式：X 当V)t 平(X)Jf(x)dx = Jf 卯(t)护dt =(t)+C= wy4(x)1 + c 1例11求J时xdx -解令t 导 +x，贝U X =t3-1 , dx=3t2dt .于是11t2=|(3rx)2-33/rrx+3i 门1+舒7 卜 c.灯ax+b （a H0, n为正整数）时，则可令一次根式代换.一般来说，若不定积分中的被积函数含有 t =如+b清除根式.这种代换，称为1例 12 求 f dx .、J1 +ex解令t+ex，则 ex =t2 -1,eXdx =2tdt ,dx

12、=p2bdt .于是JJdtt(t -1)t -1dt =lnt1t+1=lnJl + ex -1Jl + eX +1例 13 求 J Ja2 -X2 dx(a0 )一一x解 令X =asint(- t )，贝U t = arcsin-,22adx = acostdt .于是jVaxdx = j7a2(1sinT)acostdt =a2 fcos2 tdt2 2a1adt =(t +sin2t)+C =(t+si ntcost) + C2222a . X . a =arcsin 十2a 2/ 2 2 2 X va Xa . x.x fl+ C =arcsin + va -x +C2a 2一般来

13、说，若不定积分中的被积函数含有二次根式 为了消除根号，通常利用三角函数关系式来换元.比如Ja2 -x2 , J a2 + X2 或 J x2 - a2号,(1)被积函数含有因式,则令X =asint(才ct吒专)；(2)被积函数含有因式Ja2 +x2兀兀,则令 X = atant(-一 )；22(3)被积函数含有因式,则令 X = a sect(O a时，令 X =ased (Oct a .根据上面的计算，有1J(_x)2a2d(-x) =ln (-X)+J(-x)2-a2 +C22151f 1j jR22VX -a=lndx = In2-a+C2 = -InJx2 - a2 + X + C2

14、 + In a2,a +x2I na C? = InJx2 -a2 +x +C ,其中 C = 2ln a -C2.f 1J 122vx -a综上所述，:dx = In X + Jx2-a2 + C .F面我们再介绍一种很有用的代换-倒代换例16求碍dx 曰MzX占4t1(-F)dt1J(t2 +l)2tdt1 2IQQ=2皿 +1)2d(t +1)1= -3(t3(x2+1)2+c3x3类似可求t vO有3耳x_+C .x3x为了以后计算不定积分的方便，我们将几个重要的积分公式放入基本积分表中，以便在今后的积分中引用.(13)Jtanxdx = -ln cosx +C ;(14)Jcotxd

15、x =ln sinx +C ；(15)Jsecxdx =lnsecx + tanx +C ；(16)fcscxdx =ln cscx-cotx +C ；(17)-2-2d21-lnx -a2aX -aX +a(18)1 1 dx=-lnX +aX -a(19)2 1 2 dx =1 arctan-+C ； x +a a a(20)xdx =arcsin + C(a :0);a(21)jJa2 /dx2 =arcsin-+ 虫Ja2 -x2 +C (aO)；2a 2(22)1 JdxJx2 a2=ln x+Jx2a2 +C (a 0).习题 4-21.求下列不定积分:165(1)Jcos(12x

16、)dx ；(3)(5)fcosx ； 、(X sin x)X(6)；1 X(7),sin X +cosx ,Gsinx-cosxdx ；I 。 , xcos x+sin X ,(8)J (xsinx)2 dX ；(9)f223dx ；(10)(11)dx(13)2 ， X2 -2x +5 f-cosdx; x x(12)(14)(15)Jsin5 xcos3xdx ；(16)(17)dxJx(4-x)(18)f x2edx;处凹dx ；sin xcosxJ-x2dx ;f x2dxX(19)(20H j 2 dx ;V2x -4x彳 p.2arccosx(21) J10 dx ；山x21(22

17、)J；/；(23)xdxJx2 +4x +51(24) f dx ；1 +J2x(25)広9 dx(xAO); Xdx(26)仏dx(28) r(xi)7x(27)也爭x ；xyx2 .若已知 Jf(x)dx = F(x) +C，求(1) Jf(ax + b)dx ；(2)Jcos(3x)f (sin3x)dx . 3分部积分法前一节我们在复合函数求导法则的基础上研究了换元积分法.现在我们利用两个函数 乘积的微分法则，来推得另一个求积分的基本方法-分部积分法.定理1设u,v都是x的函数且有连续导数，则有Judv = uv- Jvdu .证 由于u,v都有连续导数，故 u,v的微分存在，于是有d

18、(uv) = udv +vdu ,两边积分得Jd(uv) = Judv+ Jvdu ,所以uv = Judv + Jvdu ,移项得到Judv =uv- Jvdu .证毕.注因上式等式右端还保留不定积分号，所以不必写上C .上面这个公式称为 分部积分公式它把所求的积分分成了两个部分，一部分是uv , 是已经求出了的；另一部分是Jvdu，是还要积分的，即求不定积分Judv的问题转化成了 求不定积分Jvdu的问题它适用于 Judv不易计算，而Jvdu比较容易计算的情况.例 1 求 f xcosxdx.解 把某个函数与dx凑微分，化成分部积分公式左边的形式，现将cosx凑入微分:Jxcosxdx =

19、 fxd(si nx)(u =x,v = s inx)=xsi n x- Js in xdx = xs in x + cosx + C .如果把x与dx凑微分，则有1 2 1 2 1 2Jxcosxdx = fcosxdx)=尹 cosx - J-x d(cosx)1 2+ 1 r 2-.=x cosx + fx sin xdx，2 2 上式右端的积分比原来的积分更不容易求出.由此可见，如果u和dv选择不当，就求不出结果.所以应用分部积分法时，适当选取u和dv是一个关键.一般选择u与v有个经验公式：“反、对、幕、指、三”指的是按反三角函数，对数 函数，幕函数，指数函数及三角函数的顺序.被积函数

20、若为其中某两个函数的乘积时，排 在前面顺序的函数作为 u，排在后面顺序的函数作为 v，凑入微分成为dv .例 2 求 Jx 2 . 2 2 XfX1, Xx,=In X f dx =一In x 一exdx =x2eX - 2 J xeXdx = x2eX - 2 J xd(eX)解 Jx2eXdx = fx2d(eXx2eX - feXd(x2)= x2e2(xeX - JeXdxx2eX-2xe2eC 例 3 求 fxln xdx .2 2 2XXX解 fxln xdx = In xd(一) =一 In x - f一d(ln x)222=X tan X 一 ftan xdx 一1 x221

21、2= xtanx+ln cosx -x +C .2例 5 求 Jarccosxdx .解 Jarccosxdx = x arccosx - J xd(arccosx).x1 ,12=xarccosx+ f dx = xarccosx 一 f .d(1 x )C22Q7 I =x arccosx - J1 -x2 + C例 6 求 fexcosxdx.解 JeXcosxdx = Jcosxd(eX) =eXcosx fexd(cosx)=ex cos Jexsin xdx =eX cosx + Jsin xd(ex)= excosexsinx- Jexd(sinxexcosexsinx- fex

22、cosxdx , 移项得2 Jexcosxd =ex cosex sin x + G，1excosxdx = ex(sinx+ cosx) +C .2类似可得X1 Xfexsinxdx =?ex(sinx-cosx) +C .以上这种解题方法称为循环法.例 7 求 JseCxdx .32解 Jsecxdx = Jsecx secxdx = Jsecxd(tanx)= secxtanx- Jtanxd(secx) =secxtanx- Jsecxtan2 xdx= secxtanx- Jsecx(sec x-1)clx移项得- fsec xdx ,= secxtanx + ln secx +ta

23、nx32 fsec xdx = secxtanx+ln secx + tanx +G，Jsec xdx =1 (secxtanx + ln|secx + tanx|) +C 当被积函数是某一简单函数的高次幕函数时，我们可以适当选取 U和dv ,通过分部积分后，得到该函数的高次幕函数与低次幕函数的关系，即所谓递推公式，故称递推法.例8求I n = f(ln x)ndx的递推公式(其中n为正整数)，并用公式计算f(ln x jdx .解当n =1时,114 = Jin xdx = xln X - fxd(ln x) = xln x - Jx dx = xln x-x + C , 、 x当n 2时,

24、I n = J(ln X )dx =x(ln x) - Jxd(ln x f= x(ln x)n - Jx n(ln x)n-dx X= x(ln x)n -n J(ln x)ndx = x(ln-门打斗- 所求的递推公式为：In =x(ln X)n - nln(n 二 2). 从而由Ixln x-x +C可求得In (n 2).33I3 = J(ln x) dx = x(ln x) -312= x(ln X)3 -3x(ln x)2 -21= x(ln X)3 -3x(ln x)2 +61 j32=x(ln X)-3x(ln X)+6(xlnx-x)+C例9求In32= x(ln X)-3x

25、(1 n X)+6x1 nx 6x+C .dx=f 一 （其中n为正整数，a。）.（X +a ）解当n =1时,l1f 2dx arctan- +C , X +a2a当n 2时，因为InXI 1=Z 2 丄- J xa_2 n(x +a )(X +a )于是，得递推公式ln =x=.2 , 2,2(x +a )2X十2( n-1)J 2 +2、ndx(X +a )2.2 2X丄c ,X +a -a ,-_72 屮广 2 (n _ 1D22 xd(x +a )X 牛a )x,2 , 22(x +a )+ 2(n- 1)lnj-2( n- 1)a2ln,x2、n4(2n -2)a2 (x2 乜2)

26、+ (2n-3)l2 (n 2) =2(t cost Jcostdt) = -2t cost + 2sin t +C=-2 JXcos JX + 2sin JX +C .例11设F(x)为f(x)的一个原函数，F(x)连续，F(0)=1 , F(x)0，且当x0时，有xexf(x)F(x2 亦帚求 f (x).解由F (X)= f (x)代入得2F(x)F(x) =xxe(1 + x)2，于是J2F (x)F(x)dxxr xe.fx，(1+x) x 1x xe 1Txed(丄)-+ L丄1+x1+x1+xxex1 +xxx xe=-一 + r一e dx =+1+x 1+x1+xd(xeX)F

27、2(x) =x+c =x+C1 +x由 F(0) =1 及 F2(O) =1+C 得 C = 0，因为 F(x)0，所以F(x)岳，xxe2f(X)=3 -2(1+x)2习题 4-31求下列不定积分:(1)Jxcos3xdx；(2)jTXin xdx ；(3)fxe4xdx;2(4) jx arctanxdx ;(5)Jesinnxdx ；(6) Jsin(In x)dx ；(7)1 +xJx|n=dx ；(8) Je%;(9)fxsin xcosxdx ；2(10) J(arcsin x) dx ;(11) Jln(X + J1 + X2)dx ；、fX +ln X ,(12) Wx ；(1

28、3) J(x .证明下列递推公式: +1)1 nxdx;X(14)%dx.设 In = Jtann xdx，则 I 1n 1tann4x -1 nd,n 为自然数且 n 2 . 4几种特殊类型函数的积分前面介绍了不定积分的两种基本方法-换元积分法和分部积分法.下面介绍几种特殊 类型函数的积分.一、有理函数的积分有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即如下形式的函数ax + a。P(X) _ anXn +an斗Xn斗 +川 + Q(x) bmXm +bm 斗xmd +|l+t1x + b0其中m,n皆为自然数. 式.利用多项式的除法,当 n m时称有理函数为 假分式；当n 2)，则的分解式一

29、般含有 k项:Q(x)AAA i|jXalx-arx-a)3(x-a)若Q(x)中含有二次单因式 X2 + PX + q ( P2 -4q CO)，则的分解式含有一Q(x)项:Mx +N2X + P X + q2k 2(4)若 Q(x)中含有二次 k 重因式(X +px+q)(p -4qv0,k2),则鵲的分解式一般含有k项:M1X + N1X2 + P X +qM2X + N2,j| MkX + Nk川，1 (x + px+q)(x2 + px+q)2X 5例1化真分式 f(X)=2为部分分式的和.(x+1)(x-2)解设芦1爲二角+爲+;b(A，B，C为待定系数)2A(x-2) +B(x+

30、1)+ C(x +1)(x-2)(x+1)(x-2)2两端去分母后, 比较等式两边有 A(x-2)2 + B(x+1) + C(x+1)(x-2) =x-5 .X的同次幕的系数得A+C =0 VA+ B -C =1 , 4A+B -2C =-5解方程组得2 2A V，CH，所以X 5(x+1)(x-2)2_2-32X +1 (X-2)2 3 x-22169为部分分式的和.例 2 化真分式 f(X)=(1+2x)(1+x2)aBX +C解设(1+2x)(1+x2厂右+ k(A，B，C为待定系数)，两端去分母后有21 =A(1+x ) +(Bx+C)(1 + 2x),比较等式两边X的同次幕的系数得

31、A+ 2B =0解方程组得所以B +2C =0, A+C=1A=4,B5一 5，c=_154(1+2x)(1+x2 *)511 2x-121+2x 5 1+x2 四类最简分式的不定积分因此真分式的积分归结为四类最简分式的积由于真分式都可以分解为最简分式之和, 分，下面分别讨论其求解方法.A(1)dx = Aln x-a +C -X -a(2)r A=dx= (1-n)(x-a)nJC(n=2,3川.(3)Mx +Nx2 + p X +qdxMMp-(2x + p)-于+NJ-T2dxX + p X + qM rd(x2d+(N 迪” + px + qf(Xdx2+2+(q-十)l_Mp2x+卫

32、U+c q气其中p2-4q v0 .Mx +N()J(x2+px+q严M 、Mp(2x+p )- + N2dx(x +p x+q)1712d(x + px+q)十 _ Mpdx (x2 + px+q)n2 . (x2 + px + q)n_M(x2 + px+qrN Mp)j2(1 n)d(电)_2 1n”+宀其中p2 -4q cO, n = 2,3,等式右端第二项的不定积分可以利用4.3例9得到的递推公式计算.通过上面的讨论可知，每一个有理函数的原函数都是初等函数.从原则上说，有理函 数的不定积分的求法已经解决.-43.x3 -1例 3 求 f2x -x -1dx .解 被积函数是假分式，先

33、将它表示成多项式和真分式之和,2x4-xx -1 X +1亠1=再将真分式分解成最简分式之和,亠 Bx+C-1=十(xT)(x2+x+1)xTx2+x + 1两边去分母得x = A(x2 +x+1) + (x-1)(Bx +C)，比较等式两边x的同次幕的系数得(A+B=0A-B +C =1，AC = 0解方程组得于是2x4 -x3 -XX1所以X3 111dxj2x1+-；dx73(x-1) 3(x2 +x+1)X 5=X2=x2=x2x+3in2dx.(x+1)(x-2)由例1得X 51 2x+13x-1 - dx6 x2+x+12,1d(x +x +1)亠 1X1 f +6， x2+x+1

34、21d(x + yX2 +x+121 2 43 25)2十(号)21x-1 -InX2 +x+16-x+ln3+arctan l373十1 +C2(x+1)(x-2)2x+1 (X2)3 X 2x-5(x+1)(x-2)2g勺;dx + f2丄dx3 X 2dX2 2(X +1)(x -1)dx-2ln|x+13+-lnX23+匕+|lnX-2+cX2X +12“(X2%(X2 +1)(x2 -1)、2(X2 +1)(x -1)1 )dx Jx2-1 x2+11173Jln4X1x+11 -arctan x +C 2二、三角函数有理式的积分由三角函数及常数经过有限次四则运算而得到的式子叫做三角函数有理式.例如1 +sin x,等均是三角函数有理式.因为各种三角函数都可cosx(1+tan X)sinx+tanx 5+4sin x用sinx和cosx的有理式表示，所以一般用记号R(sin x,cosx)表示三角函数有理式对于一般的三角函数有理式的不定积分，可用万能代换xtan2化为有理函数的积分，即令X2t 七巧，则 x=2arctant , d-dt，sinx_ 2t1 +t21 -t2壬曰cosx =2，于疋1 +t2fR(sin x,cos x)dx = fR(,)、1+t2 1+t2 1+t27dt ,从而上式成为右端是t的有理函数的积分.