第05章05节定积分的几何应用举例

1、第5节 定积分的几何应用举例(考点)定积分的应用就是要用定积分计算某个量A :bA = f f(x)dx"a可见，量A分布在区间a,b上。在实际应用时，要求我们把a,b和f(x)找出来。Vx引a,b，考虑xA(x) = f f (t)dtaA(x)是A在a,x上的分布。让x有增量Ax使X +Ax可a,b。AA = dA + Odx) = f (x)dx + Q(dx)也A是A在x,x +ix(或ix + ix,x)上的分布。因此，用积分计算量A的步骤如下:(1)找到A的分布区间a,b；3(2)Vx,x +dxqa,b，把 A在 Ix,x + dx(或x + dx,x)上的分布量AA计

2、算成如下式子bA= f (x)dx +0(dx)即 dA = f (x)dx(3)算出定积分bA = fa f (x)dx以上步骤称为定积分应用的微元法。离散数学5 解、5.1平面图形的面积5.1.1 .直角坐标系中连续曲线y = f(X), y =g(x),x =a, X = b所围图形的面积A。A分布在a,b区间上；/x,x + dx忘a,b，在区间x,x + dx部分的面积 从=1 f(X)-g(x)| dx + 0(dx);所以bA = f(X)g(x) dxa当 f(x) >0,g(x)三0 时bA = f f(x)dxa【例5.1】求由曲线y=ex，y=e-x以及直线x= 1

3、围成的图形面积.解、面积A分布在0 ,区间上；Vx, X + d灼0 ,在区间X, X + dx部分的面积 M-e)dx+i!(dx)；所以1 1A = L® -e)dx = px + e=e + e一2如果用X作自变量，面积A分布在0,4区间上；第1章集 合Px,x +dx可0,1,当0 V X c1时，在区间X, x+ d部分的面积 M=2/Xdx40( dx；当1<x<4时，在区间x,x + dx部分的面积 AA=(£-x+2)dx +0(dx)。表达式不一致，要用x = 1把图形割成两块计算。1961 L4 3144 L2 ? 1 2 tA, = 2 J

4、xdx = |§ X2 I =亍 A = T (VX 一X + 2 )dx = |§X2 一2 X +2x4199A = A1 + A2 = + =362解2、如果用y作自变量，面积A分布在-1, 2区间上。Py, y + dy耳，2， 在区间y ,yd咅y分的面积231,81191 ：= 2 + 4 + 2 ：= 3 232AA 右 y2 + 2 )y 3d( X。所帥 x2 21 2 1A=L(y + 2 y 刖=护讪-gy(从此例要学会：(1)当边界表达式不一致时，要作适当分割;(2)自变量选得好可使计算简单。)2 2【例5.3】 求椭圆笃+ j 1所围成的图形的面积

5、.a b解、由对称性，A =4A，其中A为第一象限内的部分的面积。A1分 布在0, a区间上；/x,x+dx忘0, a，在区间x,x + dx部分的面积 华=b J -务dx +0(dx)。所以aX' a 亠nt 县2t + COS2t11|2 兀A = f bj1-= dx = 2abcos2tdt =ab2dt=ab|t+ sin2ti =ab9 V a2'0'02b 4J04A = 4Ai =兀 ab(这个结果与中学所学一致。我们这里是用定积分做出来的，而中 学是没有证明的估计。)7离散数学5.12极坐标系中 5.121.极坐标在平面中取定一条有长度单位的射线 0

6、P,称为极坐标轴。给了平面上一点M，我们有数组（日，P），其中P = 0M >0,日是 0M与0P的夹角。但，P）是由M点确定的。反过来，如果给了数 组（日，P），按上面规则，（日，P）确定了一点M。因此，（日，卩）可以用 作M点的坐标，称为M点的极坐标。把直角坐标平面的0x作极坐标轴，则极坐标与直角坐标的关系如下lx= P cos9y = P si n05.1.2.极坐标系中的面积计算求曲线P（£）,T =%日cP）所围图形的面积A。用日作自变量，面积A分布在a,P区间上；V日,e+d朕a,P，在 区间8p+d可部分的面积 M=1P）2+O（）。所以21（少所围图形的面 =）

7、有时候用极坐标计算面积比较简单。9第1章集 合【例5.4】计算阿基米德螺线:r = aq ( a > 0 ) 从 0? 2p 的解军、P(0) =a9(0 <0 <)。1 2 兀21 2 3A= f (a日)2d0 = a2 日320 62兀0Vx,x +dxa,b,在区间段弧与极轴所围成的图形的面积.43 2=兀a35.1.3.由曲线的直角坐标方程F(x, y)=0写极坐标系方程P=Pe)X = P c o0s(1 )把代入等式F (X, y) = 0得等式y = Ps i 日nF ( P c 0日 s P,商;n(2)由等式 F(PCOS0,Psin 0)=0解出 P =

8、 P(0)。x ,x d的部分的体积也Vx =兀f(x)2dx+0(dx)(半径为f (x)高为dx的圆柱体)；所以b2Vx =兀f (x)2dx"a(转轴与积分变量一致。)(2) Vy分布在a, b区间；Vx,x+dx a,b,在区间x,x + dx的部分的体积 Zy =2兀xf (x)dx +0(dx)(空心圆柱壳：底是周长2兀X宽dx高f(X);所以离散数学bVy =2兀 Ja xf （x）dx（转轴与积分变量不一致。）9（这里所讲与P245有什么不一样？）yi第1章集 合【例5.5】 计算由摆线x= a(t- sint)，y = a(1- cost)的一拱及x轴所围成的图形(

9、图2a5.4)分别绕x轴，y轴旋转而成的立体体积.图5.4解、2 TP2Vx " 0y(x) dxXza(t_sint)2 兀2= 兀(a(1 cost)a(1 cost)dt32兀3"a3 (1-cost)3dt32 江23"a3 (1-3cost+3cos2tcos3t)dt2pax"a32兀 +3Q1 + cos2t dt- r(1-sin2t)dsintI 020丿3 sc L -23=兀&(2兀+ 3江)=5兀a2用xT(tint)2 兀Vy =2兀 t xy(x)dx =2兀a(t-sint)a(1-cost)a(1 cost)dt3

10、 2兀22=2兀a3 L (t -2tcost +tcos21 - sin t + sin 2t - sint cos21 )dtJ0 3 costdt = J0 汽td sin t = Etsint 字一兀sin tdt = cost 字=0f tcos2tdt = tdt = It2+f - td sin2t0b 24 i U=兀2 +丄 Etsin 2tf 兀 si n2tdt "2Icos2t F =兀2404 080厂-|2兀2 兀2/兀 213 1f sintcostdt = -f cos td cost = |一cos t 1=0'0'0nJ02；l02

11、兀#第1章集 合2ayza(1-cost)Vy1 =兀 J0 X1(y)2dy =兀0a (-s in t)2asi ntdt=兀a3 r(t2sint -2tsin2t +sin3t)dt2a-y.三(1_cost)兀 22Vy2= J X2(y)2dy= 兀 J a2(t sint)2asintdt"0"2 J!3 兀 223=a f (t sin t -2ts in t+sin t pt2；!32 兀 223Vy=Vy2-Vyi= -兀 af0(tsi nt-2tsi nt+sin t)dt2兀t2si ntdt=-t2 cost 1 兀 + 2 L 兀t costd

12、t = 4兀2 + Et sin t + cost 0兀=Y兀2f'tsi n2tdt0"si n3tdt-01 2兀11I2 兀=一t(1 -cost)dt = it2 -tsin t - cost二兀22牯2 b丄2兀213严=f (1-cos t)d cost = |cos tcost =0p3J0的圆，圆心与一定直线l的距离为3 x ,3Vy = Jia)dt = -兀 a3 (一6兀2) = 6江3a3【例5.6】设有一半径为a2 兀 223【0 (t sintztsin sin tb ( b> a )求此圆绕直线I旋转而成的圆环体的体积.解、以I为x轴正半y

13、轴过圆心建立直角坐标系。大半圆方程2aj rdVxf_a (b + Ja2 -x2 ) dx = 2兀 fo (b2 +a2 x2 + 2bja2 x2 )dxaa 222Vxm =兀/(b-Va -x ) dx =2花 J。(b +a -x -2bva - x )dxa X 三 si nt匹Vx =Vx大一Vx/J、= 8叫 Ja2 -x2dx = 8；ia2bcos2tdt兀2 专21 "P=4兀a b f2(1 +cos2t )dt =4兀 a b |t + sin 2t =2兀 a bo 'NI 21【例5.7】 求由曲线8y= 12x- x3，y轴和曲线在它极大值点

14、x = 2处切线y = 2所围成的平面图形，绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积.y»解1、用y作自变量。Vy分布在区间0,2上。22厂2 2 12 3x28Vy".0x(y)dy =兀 Jox 8dx =-兀y*解2、用x作自变量。Vy分布在区间0,2上。282 12 -3x28Vy =2UXy(X)dx = 2 叫 X-dX 蔦兀5.1.2平行截面面积可计算的几何体的体积设几何体 0在x轴上的投影区间a,b。Vx,x + dx5a,b，用 垂直于x轴且过x点的平面截O所得截面Dx的面积A(x)可计算。则C在x,x+dx上分布的体积A = A(xO(dx)。所以b7q= L

15、 A(x)dx【例5.8】一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角a (如图5.7)，计算该平面截圆柱体所得立体的体积.解1、用x作自变量。V分布在区间-R,R上。VX引-R, R，用垂 直于x轴且过x点的平面截V所得截面的面积A( xjj 2R-txa，所以21 R 2231323V = ta na f (R-x )dx = R tan aR tana = R tana2 g丿33解2、用y作自变量。V分布在区间0, R上。Py0, R，用垂直 于y轴且过y点的平面截V所得截面的面积A(y) =2Jr2 y2ytanot，所以V = 2tan a ( Jr2 - y2 y )dy

16、 = tana Jr2 - y2dy212图 5.7b图 5.7a45.3平面曲线的弧长 531在直角坐标系中设曲线段的方程为y = f (x)(a <x <b)。弧长s分布在a,b上。 Vx,x +dx引a,b，由于弧长微分ds= J1 +(x)2dx，所以s在区间 x,x+dx上的分布 As= J1+ f'(x)2dx +C(dx)。因此S = J1 + f Yx)2 X【例5.9】求悬链线y =2从 X = 0 至U X = a ( a > 0 )那一段的弧长.X I_xe +eX_xf(x,f(xe布 在 0, a 上 。2e2x +宀2(ex+e)4,1 +

17、 f(X)2 二。所以a_ae -e-2X 丄 -XX-X,ae +ee -es =dx =02 25.3.2曲线用参数方程表示设曲线段的参数方程为J X ；匕兰t < P)。弧长s分布在lya(t)a,P 上。 Vt, +t壬dft , 由于弧长微分 ds = Jdx2 + dy2 = Jg)2 +屮'(tdt，所以 s在区间t,t +dt上的分布 也s = J申(t)2 +屮(t)2dt +弓(dt)。因此度.【例5.10】(0 #t 2p )(t)2 +屮(t)2dts =求摆线 X = a(t- si nt),y = a(1 - cost)的一拱的长0,2 叼cp(t=)

18、-a(t致 一 (y =。 a第1章集 合17所以2兀 2厂2兀 s = a L J(1-cost) +sin tdt =a 匚 J2 2costdt2兀 /l -cost2兀=2aJdt=2af sin'0 U 2'05.3.3曲线用极坐标方程表示Edt = -4acos丄2 22兀=8a0P= P(&)(a <0 < P) o)0(代tOp)s设曲线段的极坐标方程为| = P(日方程是q (y = P(日)sin 9/P ( 2 划 屮 #= 0)2 +0(因此)2S Jjp(0)2 + Pe)2d0a "心脏线r = a(1 + cosq)的

19、全长.p(所以【例5.11】则曲线的参数£= -c Pao© 2 + )0,2兀 上 。=2(+ fa2 ) 0 0 S P i0n2；!s = a L 7F2ostdt = 2a 匚2 兀(1 + cost V 22兀dt = 2a Jo cos2 dt 二 2a J。cos? dt - 2叫 cos? dt = 8a习题讲解P249 A 类2.求由下列各曲线所围成图形的面积:(1)x = acos3t,y = a sin 31解、22 兀3 2；!：+屮'(t)2dt =3aL |sintcost|dt =-aJ0 |sin2t|dt®(t) =aco

20、s3t，屮(t) =as in31,® (t) =3a cos2 tsi nt,屮'(t) =3as in 2t cost ，护'(t)2 + 屮(t)2=9a2sin2tcos2t。A = f耳r=6asin 2tdt = -3a cos2t 辛=6a(注意到sin2t的周期性。)3.求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积:(1) r = 3cos q 与 r = 1+ cosq(2) r = 72 sin q 与 r2 = cos2qI P = 3cos 日-TT解、(1)先画草图(看黑板)。彳解得£=。根据对称:p=1 + cos 日3性，f 牛212

21、)A = 2 I 3 (1 +cos£ ) d8 + 后一 (3cos日)d日 C0 23 2丿兀 ，专 1 +cos29 c 严9r兀 兀 1=一 + f3d0 +2 f3cosd日 +兀 + kin 2甘 12 = +一'3'02044i 3 6 4兀 兀 r 3 r 5=一 +一 +寸3+_兀一寸3=兀3644(2)先画草图(看黑板)。! ：2二妊叮解得日鼻。根据对称性, IP2=cos2 日6=讥1 +cos28 +2COS日)d£ +爲 1 + cos2日 d£32+ 二 si n29；3 +2s in- + -n40349 .一一 SI

22、I4f 爭 121 2)A = 2F6-(72si nQ ) d0 + J務(Jcos2Q ) de J = 2si n20d9 r#1 +cos20 d日 +丄 bin 2日耳丄 +1 sin 2雋+ 時 cos28d&6211 .兀 sin -2232?1240211.求曲线rq =1自q =号至q= 4的一段弧长.43解、1曲线-e径兰日兰纟】。141 2 2 宀r ,p2 + p 021+924 0日4de =du153 vdt-dt4 tt2dt22vdv =2 ； v2 -152?v 21 十1dv= f53dv4 V2 -1V-1v + 1 丿dv+1ln12 25I3v

23、 +15r_4-1 n4+ln 9 = + In 3-1 n2 12 2' 12离散数学,xWidx610 .将曲线y = 绕X轴旋转得一旋转体，它在点x= 0与1+ x25.设f(x)= 6(1-|t|)dt (x? 1),试求曲线y = f(x)与Ox轴所围成图形的面积.解、当1 <x<0时,f(x) = (1 +t)dt = y tt2! =-x2 txt11 口 + 肠)口+3)1+731 口 + ) 口+ 巧)1 + /3=一+ + := + 匕E 222当X > 0时, fg-A+tMt +(1_t)dt Jt+t2 + 卜斗2、*2 所以11!x2+x+

24、 ,-1<x<022.121cX 一X + , X >0I 22解卜十2X >0014V30121 )1硕 f1A=JJ(x)dx+J0f(x)dxH?x+x+1Jdx+J。lx-?x兀11(x>0)之间的体积记作V(x)，问a等于何值时，能使1V (a) = 1 lim V (x) ?2 x? ?£d V(©)"J0：X(1+x2)2dx；-也dt = -22 0 f1+tf 21+t0(1+t)2兀f=-1-2第1章集 合-1巴=一，解得 a = 1 01+a2 丿 4V = P QX2dy = p Q x2d桫笃 X 妄 p2Q

25、X2?12- 3x2 dx =8HmV(©)=Hm -1"气f令V(a)即;M-(0,1】上分布的体积与1,邑)上分布的体积相等。)体体积.7题图19习题5-51.求由下列各曲线所围图形的面积:1(1) y= - ,y=x,x=2*(2) y = x2 , y = xxx2 + y2 = 8(两部分都要计算).,y = 2x3)y=*x2 与2. 求由下列各曲线所围成图形的面积：(1)x = acos3t,y = a sin 31(2)(3) r = 2a cosq, q= 0, q= P63. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积:r = 2a(2 + cosq) r

26、= 72 sin q 与 r2 = cos2 q*(1) r = 3cos q 与 r = 1+ cosq4求摆线； = ：的第一拱与x轴所围的面积.(a>0)5.由y = x3 , x = 2 ,y = 0所围成的图形，分别绕x轴和y轴旋转，计算所得两个旋转体的体积.*6 .计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立y7.立体的底是曲线y=x2, y= 8- x2所围的平面图形，垂直于x轴的离散数学平面与该立体的截面是以 AB(如图)为直径的半圆，求此立体的体积.&计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所 有截面都是等边三角形的立体体积.*9 .过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴平 面图形D ,求D的面积A ；求D绕直线x = e