正弦定理、余弦定理基础练习

1、1.在 ABC 中:(1)已知 A 45、正弦定理、余弦定理基础练习30、5J3，求 b；(2)已知 B 75、 2在 ABC中(角度精确到1(1) 已知 b 15、c= 7、B= 60(2) 已知 a 6、b = 7、A= 50 °，求 B .3在 ABC中(结果保留两个有效数字)(1)已知 a = 5、b = 7、C = 120°,求 c；45、O6，求 c.a):'，求 C ；(2)已知 b3j3、c= 7、A = 30°，求 a.(2)已知a3品、b4、c J79，求 C.根:据下列条件牛解三角形(角度精确到1 °,边长精确到)(1)A3

2、7,B60,a 5;(2)A40,B45,c 7 ；(3)B49,a5,b 3;(4)C =：20?,a = 5,c= 3;(5)a4,b7,C80 ;(6)a10,b 1；3,c 14 .51°):9，求 A；6选择题：(1) 在 ABC中，下面等式成立的是A. abcosC bccosAC. acosC ccosA4.在 ABC中(角度精确到(1)已知 a 6、b = 7、c).absinC bcsin A acosA bcosBA. 60°B.120 °C. 135D.150(3)在 ABC 中，b c1 , C 45,B= 300则(A. b 1, c42

3、B. b迈,c1丘C. b -,c 1D. b1 ,c2222(4)在 ABC 中 B45、c5血、b5，则a().A . 5 逅B.5漲C . 5D .10).7填空题:B.D.(2) 三角形三边之比为 3 : 5 : 7,则这个三角形的最大角是().(" ABC 中 AB 1、AC归2、面积S2（2）在 ABC中，若acosA bcosB，则 ABC的形状是在 ABC 中，si n2A si n Asi nB sin2 C si n2B，求角 c.综合练习1.设方程 x2sinA 2xsinBsine 0有重根，且 A、B、C % ABC的三内角，则 ABC的三边a、b、c的关系

4、是（).A. b= acB. a= bcC. c= abb2ac2 .在 ABC 中 C 90、A75 , CD AB，垂足为D,则CDCD的值等于（）AB3.C.等腰三角形的底角正弦和余弦的和为邑，则它的顶角是（2).30° 或 150° B. 150 或 75°C .30D . 154.在 ABC 中(si nA si nB si nc)23(sin 2 A2 2sin B sin C），则这个三角形是（）三角形.A .锐角5 .在 ABC 中 0A .锐角三角形C.钝角三角形B .钝角C .直角tan A tan B 1，则 ABC 是（）.B.直角三角形D

5、.无法确定其形状D .等边6.在 ABC 中,A B 是 cos2 A cos2 B 的()条件.A .充分非必要C.充要B.必要非充分D.既不充分也不必要c7.在锐角 ABC中，若C 2B，则上的范围为（b).C. (0, 2)D. (J2,2)已知A为三角形的一个内角，函数y （COSA）x2（4sin A）x 6，对于任意实数x都有y则（).cos AC.9.cos A 0已知锐角三角形的边长为D .2、3、X,121则Xcos A 1cos A 0的取值范围是（）.C. J13 x 5D. 1 x10.在 ABC中，若面积 S ABCa2 (b c)2，则 cos A 等于().C.工

6、13D .兰1711 .在 ABC 中 a 7、b12 .在 ABC 中，若 si nA13 .在 ABC 中，若 2cosB cosC14 . ABC的面积和外接圆半径都是10、cosBc 15，贝y tanA .cosC，则 tan B tan C1 cosA，则 ABC的形状是1，贝y si nA si nB sinC =15 .在 ABC 中，sinC sinA sinB，则 ABC 的形状是 .cosA cosB16 .如图5-8 , / A = 60°,/ A内的点C到角的两边的距离分别是 5和2,为.则AC的长图5-817.已知A为锐角三角形一个内角， 且lg（1 si

7、 nA） m ,则 Ig COS A的值为18.在 ABC中,若 A 60 ,S ABC，则的值为sin A si nB sinC19.在 ABC面积.中,已知2sinBcosCsin A , A 120 ,a 1，求B和ABC的20.在 ABC中,已知(sin Asin Bsin C)(sin Asin Bsin C)3si n A si n B ,求角C.21 .在 ABC 中,之比.内角A最大,C最小，且A2C，c 2b，求此三角形三边22.已知三角形的三边长分别为x2 X 1、1、2x 1，求这个三角形中最大角的度数.1.拓展练习 三角形三边长是连续整数，最大角是最小角的3 B. Z4

8、 102.在ABC中，P表示半周长，C . 23R表示外接圆半径,2倍，则最小角的余弦等于（）.D.14下列各式中：sinA y b)(P c)bc c acosB bcosA一a-sin A+ A Btan2+ A Btan2bR sin B sinC正确的序号为（）.A .、B .、C .、D3.在 ABC 中，若a2b(bc)，则有（）.A. A BB. A2BC. A 3BD.4.在 ABC 中，+ A tanBab-，则此三角形为（2abA .等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形).ig忑,5.在 ABC 中，若 ig a ig c ig sin B.、B

9、2A且B为锐角，则 ABC的形状是6 .设A是 ABC中的最小角，且 cOSAa的取值范围是7 .如图5-9，在平面上有两定点AB ,动点M、N满足AM MN NB 1 .记 AMB和 MNB的面积分别为S、T,问在什么条件下，S2 T2取得最大值?图5-9&在 ABC 中，已知 C= 2B，求证：c2 b2 ab .图 5-109.圆 O的半径为 R其内接 ABC的三边 a、b、c所对的角分别为A、B、C,若2R(sin2A sin2 C) sin B( J2a b)，求 ABC 面积的最大值.10若ABC是半径为r的圆的弓形，弦AB长为J2r ,C为劣弧AB 上一点，CD AB5-

10、10).1. (1)b5762(2)c246.2. (1)C24 ,(2)B63 或 117 .3. (1)C10,(2)a3.6 .4. (1).A42 ,(2)C150.5. (1)C83 , b7.2,c8.2 ;于D，当C点在什么位置时 ACD的面积最大，并求此最大面积（如图 参考答案基础练习95 ,20 ,35 ,7.4,43 ,aCBAB4.5 , b 5.0;111 , c 10.9;125 °32 ,63 ,6. (1) B. Slabs in C 2,b 7.2 或 A 145 , B 15 , b B 68 ;C 74 .-bcsin A2-casinB ；22.

11、3;（2） B .三角形中大边对大角，由余弦定理,求出最长的边所对角的120 .c(3) A .由正弦定理，得一bsi nC sin Bsin45 罷,将 csin302b代入b c 421解得b、c的值;(4) C .由余弦定理，b2a2c22accosB，即 255010a，解关于a的方程 a2 10a 250，得 a7. (1)壬或匕，由面积公式:441-bcsin A，即2J3解得sinA -,从而求出A ；等腰三角形或直角三角形，由余弦定理得b22c2bc2 2.2a c b 击"；，整2ac理得(a2b2)(c2 a2 b2)0 ,b2a2 b2所以，a b或c2 a2b

12、2.& Z.由正弦定理:3asin Absin Bsi nC2R，可将已知的三个角的正弦关系转化为三边关系：aabb2，即b2ab ，再利用余弦定理：cosC2.22a b cab2ab2ab2n综合练习有重根，(2sinB)2 4sin A sinC 0 ,即sin2 Bsin A sin C .2由正弦定理，得b ac.2cd.C .设 AB = a，则 AC a cos75 ,1AB AC BC,得 CD2acos75sin75BC a sin75 .由面积关系式： a- sin15023.A 设等腰三角形顶角为、底角为,贝y sin cos两边平方，解得1 2sin cos为顶

13、角，6，即 sin 2430 或 150 .sinsin( n 2 )sin 21-.又24. D.由正弦定理得(a bc)23(a2b22c )，即 2ab 2ac 2bc2 22a 2b2 2 22c , (a b) (b c)2(c a) 0 . /tanC5. C. / A、B、c为三角形的内角，又0 ta nA ta nB tan A tan B1, -tan A 0, tanB 0,径).6.tan(n A B) tan(AC. cos2 A cos2 B 1A、B为三角形的内角，sin2 Asin2 B sin A由正弦定理,a 2Rsi nA ,bsin Ab Asin BB.

14、7.2 cos丁 2 2cosBcosAcosA个内角，9. B.cos2 Bsi nC sin B由条件知sin2 Asin2Bsin Bsin Asin BtanA tanB1 sin2 B0 ,sin B2Rsin A2Rsin B .2cosB ,0 ,sin2 A2Rsin Bc为钝角.sin2 B(R为ABC外接圆半2B7t42cosB 吳.即27t(B C)7tcosA 0,16si n2A 24cosA0,cosA2(1 cos2 A)0,3cosA 0,2或 cosAcosA“ 1cosA 一 .又2“ 1cosA -.又2A为三角形的一cosA 1 .设三边2、第三边和余弦

15、定理，3、2x所对的三个角分别为A、B、c,根据三角形任意两边之和大于有:cosBx22cosC2,x2 320,2 2 x22 32 x2 c 0.2 2 3x 5,口 0,x5,xx2 13 0.J5, x J13.75x3 .10.由三角形面积公式:-bcsi nA .2a2(b c)2-bcsi nA. /2.222b c a弦定理，42bc4cosA.2 2b c2 a11-sin A. sin A4(1cos A) -2 .Sin A16(12bc41cos2 A1632 cosA 16cos2 A,即17 cos2 A32 cosA15cosA或 cosA1.A为三角形的内角，c

16、osA 1,cosA15由余2bc(110 .解得171711.1-sinA .2 c1 sin A).cos A)2 .b22 a迹.由余弦定理，cosA 心2 72232 10231525sin AJ(12I)(11)4625tansin Acos A2312 .sin A cosB cosC ,sin( BC) cosBcosC .sin B cosCcosBsinC cosB cosC .sinB cosC cosB sinC , 1 .cosB cosCtanB ta nC 1 .13.等腰三角形,2cosB cosC 1cos A2cosB cosC 1 cos n(B C).2c

17、osB cosC cos(BC) 1cosB cosC sinBsinC 1 ,即 cos(B C) 1 . B C 0,14. 1 .设 ABC外接圆半径为2R,则 R= 1 .由正弦定理sin A sinB sinCabc2R 2R 2R由面积公式设 ABC的面积为S,则S= 1.1 . a -casin B ,21S - absi n C2sin A sin B sin C2S 2S2Sbc ca8ab (abc)2abc8(abc)2abc 4 .abc 1sin A sin B sinC 8 215.直角三角形.由正弦定理、余弦定理,cosA cosBsin A sinBsi nC.

18、222b c a22.2a c b2bc2aca(b2c2a2) b(a2c2b2)2ab(a整理，得(a b)(a2 b2a>0 ,a2b2c20 .a2 b2.16. 2j13，由于 A、E、C、F四点共圆,ECF120，连结EF，在CEF中,由余弦定理：EF 252225 2 cos12039,EF739 .又由正弦定理可得AECF的外接圆直径ACEFSin 12017. km2n).Ig(1sin A)图答5-7m，g1 Sin An,两式相减,lg(1 si nA)(1sin A)2n . lg(1 sin A) mn，即lg cos2 A2lg cosA1lg cosA -(

19、m n).18. 393由三角形面积公式，bcsin A ,2sin 60c 4 .由余弦定理，a2b2c222bccosA 142 2 1213，a由正弦定理,asin Absin Bsin C713sin 602 J 39仝竺由等比定理可得:3a b csin Csin A sin B19. B30 ,S2.2a b2ab2J39ABC2 c 一 a,12a2b22sin B cosCc2 a2sin A ,由正弦定理、余弦定理,A 1202b B C 30 .由正弦定理,sin Asin Bb sin 120sin 30173.1 .1S ABCab sin C221 丄 si n301

20、220. 60 .设R ABC外接圆半径，由正弦定理:c ) 3ab 2R 2Ra b(2R 2R2R化简得：(ab c)(ac)3ab,(a b)2 c23ab ,a2b2c2 ab .再由余弦定理,得：cosCa2 b2 c2 ab2ab2ab6021. a ： b：c6：5：4 .A 2C，由正弦定理:si nCsin Asin2Cc 2b,2 sin C cosCa c.由余弦定理:2cosC2ccosC2 .2a b2ab2(C2a(a c)5a 3c4a5a 3c2c4a.4a2210ac 6c(2 a 3c)(ac)3 -c.25 -c.4a： b：c22. 120 .x2,X1

21、,2x1为三角形的三边,3-c： 一 c： c242x2x解得，(x22xx 1是最大的边长.cos1) (x21)(2x1) x2 0,1) xx x(x1)0,令其所对的角为，由余弦定理:6：5：4.0, 0 .0,2 2 2 2 2(X 1)(2x 1)' (X x 1)2(x2 1)(2x 1)/s322x X2(2x3 x2 2x 1)2x120，即这个三角形中最大角的度数为拓展练习120 .1. A .设三角形三边为n 1(n N)，它们所对的角分别为C、B、AcosA.由C 2A .则正弦定理，丄丄sin A sin Cn 1sin 2An 12sin A cos A余弦

22、定理，cos A(n 1)2 n2 (n2n(n 1)1)24n2n(n 1)n 12(n1)去分母得:n3 2n2 nn3 4n22n 4nn2 5n , cos A52 4 52 5 (5 1)（法二）如图，ABC中，Cn 1（n N）.在AB上取一点2n(n 1)nN，二 n 5.即最小角的余弦值为专2A,设 AD，使 ACDCAB s DCB .设 CD 为 x，则 DA 为 X, (n 1)2 n2 nn 1 (n 1)ABC,A、B、C三内角所对的三边分别为BCDCDBn 1 XTn(n 1)n 162cosA 5：2 5 64225366016P(a2J(abc)(abc)4bc

23、3n2n 1. 边长为弦定理，最小角的余弦值为图答5-8c），由半角公式、余弦定理:卩2P 2c)(2P 2b)j(P c)(P b)4bcbc正确.Atan由积化和差公式、正弦定理:B2A Btan2.A B A BSincos2 2A Bcos2si31(sinA sinB)2(sinA SinB)正确.如图：作AB边上的高CD ,则ADbcosA, BD acosB .c bcosA acosB .或 A、B中有一为钝角，同理可证得.（法二）由余弦定理,bcosA acosB = bb22 2c a2bc2 2 , 2a c ba 2acb22 2 2 c a a2 .2 - 2c b

24、2cc.2c2c错误由正弦定理：sin A2R R.sin B sinC3. B.由正弦定理，得:sin2QA sin B sin B sinC(sin A sin B)(sinsin B) sin BsinC .2sinMcosd2 22cosLBsinAB sinB sinC .2sin(A B)si n(A B)sin BinC .sin(A B)sin B .即 sin (A B) sin B 0 . /c A . A 2B c 2cossin0 .2A ccos 02A 2B .A 2B Sin4. D.由正弦定理,sin A sin Blg-ctan 2.A BSin2.A B Sina b.A Bsin2A B cos2 .A B sin2A0或sinsin A sin Bsin A sin Bsin A sin Bo A2 cos2 AB2sinB . A B sin2_A B cos2cos 口 si上2当.A B2A BtanB2 2 A Bcos.20时,A= B;7t7tlg sin B lg正弦定理，有sin Asin C7tIg aIgcIg sin Bsin B，又B为锐角，2B 45 .(2 sin C180 B 135 ,2sin(135C).sinC V2(s in 135 cosCcos 135