牛吃草问题含例题答案讲解

1、小 学 数 学 牛 吃 草 问 题 知 识 点 总 结牛吃草问题：牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃 光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的 天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。小升初冲刺第2讲牛吃草问题基本公式:1)设定一头牛一天吃草量为“ 1”2)草的生长速度=（对应的牛头数X吃的较多天数一相应的牛头数X吃的较少天数）（吃的较多天数一吃的较少天数）3)原有草量=牛头数X吃的天数一草的生长速度X吃的天数;4)吃的天数=原有草

2、量宁（牛头数-草的生长速度）5）牛头数=原有草量宁吃的天数+草的生长速度。例1、牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供 15头牛吃10天。问：这片牧草可供25头牛吃多少天?解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的生长量：（200-150）-（ 20-10） =5份 10X 20=200份原草量+20天的生长量 原草量：200-20 X 5=100 或150-10 X 5=100份15X 10=150份原草量+10天的生长量 100-( 25-5) =5天自主训练 牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天

3、，如果要供18头牛吃，可吃几天?解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的生长量：（180-150）-（ 20-10） =3份 9X 20=180份原草量+20天的生长量 原草量：180-20 X 3=120份 或150-10 X 3=120份15X 10=150份原草量+10天的生长量 120-(18-3) =8天例2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 15 头牛吃 6 天。照此计算，可供多少头牛吃10 天？解：假设 1头牛 1天吃的草的数量是 1 份草每天的减少量：（100-90）-（ 6-5） =102

4、0X 5=100份原草量-5天的减少量原草量：100+5X 10=150 或 90+6X 10=15015X 6=90份原草量-6天的减少量(150-10 X 10)十 10=5 头由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均匀的速度减少，经测算，自主训练牧场上的草可供 30头牛吃 8天，可供 25头牛吃 9天，那么可供 21头牛吃几天？解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的减少量：（240-225）十（9-8 ） =1530X 8=240份原草量-8天的减少量 原草量：240+8X 15=360份或220+9X 15=36025X 9=225份原草量-9天的减少量 360 -( 21+15

5、) =10天例 3、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。 已知男孩分钟走 20级梯级，女孩每分钟走 1 5级梯级，结果男孩用了 5 分钟到达楼上，女孩用了 6 分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？男孩： 20X 5 =100(级)自动扶梯的级数-5分钟减少的级数女孩 ;15 X 6=90(级)自动扶梯的级数-6分钟减少的级数级）每分钟减少的级数=(20 X 5-15 X 6) - (6-5)=10(自动扶梯的级数=20 X 5+5X 10=150 （级）自主训练 两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走， 男孩每秒可走 3级阶梯，女孩每秒可走 2级阶梯，结果从扶梯的一端

6、到达另一端男孩走了 1 00秒，女孩走了 300秒。问该扶梯共有多少级？3X 100=300自动扶梯级数+100秒新增的级数 2X 300=600自动扶梯级数 +300秒新增的级数每秒新增的级数：(2X 300-3 X 100)-( 300-100) =1.5 (级) 自动扶梯级数 = 3X 100-100X 1.5=150(级)1. 有一片牧场，操每天都在匀速生长(每天的增长量相等)，如果放牧 24 头牛，则 6 天吃完草，如果放牧 21头牛，则 8 天吃完草，设每头牛每天的吃草量相等，问:要 使草永远吃不完，最多只能放牧几头牛？ 假设 1头 1 天吃 1个单位 24*6=144 21*8=

7、168 168-144=24 每天长的草可供 24/2=12 头牛吃 最多只能放 12 头牛2，有一片草地，草每天生长的速度相同。这片草地可供5 头牛吃 40天，或 6 供头牛吃 30天。如果 4 头牛吃了 30天后，又增加 2头牛一起吃， 这片草地还可以再吃几天？ 假设 1头 1 天吃 1个单位 5*40=200；6*30=180 200-180=20 每天长的草 :20/(40-30)=2 原有草: 200-2*40=120 4*30=120， 30*2=60 60/4=15 天110亿 或可供 90 亿人生活 210年，为了人类不断繁衍，那么地球最多可以养1 天吃 1 个单位90*210

8、=18900开门后每分钟来的游客是相同的，一个入口3，假设地球上新增长资源的增长速度是一定的，照此推算，地球上的资源可供 人生活 90 年， 活多少亿人？ 假设 1 亿人头 110*90=9900； 18900-9900=9000 9000/(210-90)=75 4，一游乐场在开门前有 100 人排队等候，处每分钟可以放入 10 名游客，如果开放2 个入口处 20 分钟就没人排队，现开放 4 个入口处，那么开门后多少分钟后没人排队？2*20*10=400400-100=300300/20=15100+15*4=160160/(4*10)=4 (1)因为草量 =原有草量 +新长出的草量，所以“

9、对应的牛头数X吃的较多天数”就代表了第一次情况下的总草量， 的较多天数时的总草量 =草地原有草量 +草的生长速度 * 较多天数时的时间。 同理“相应的牛头数X吃的较少天数”代表了第二次情况下的总草量，即为: 少天数时的总草量 =草地原有草量 +草的生长速度 *较少天数时的时间。而且草量是均匀增长的。即为：吃吃的较两个一做差，式子中的“原有草量”就被减掉了，等号的左边就是两次情况之下总草 量的差，右边等于草的生长速度 *两次情况下的时间差， 所以直接把时间差除到左边去， 就得到了草的生长速度了。（2）牛吃的草的总量包括两个方面，一是原来草地上的草，而是新增长出来的草。所 以“牛头数X吃的天数”表

10、示的就是牛一共吃了多少草，牛在这段时间把草吃干净了,所以牛一共吃了多少草就也表示草的总量。 当然草的总量减去新增长出来的草的数量， 就剩下原来草地上面草的数量了。设定一头牛一天吃草量为“1”草的生长速度=（对应的牛头数X吃的较多天数一相应的牛头数 X吃的较-（吃的较多天数一吃的较少天数）；原有草量=牛头数 X吃的天数-草的生长速度 X吃的天数；' 3）吃的天数=原有草量 -（牛头数-草的生长速度）；牛头数=原有草量 却吃的天数+草的生长速度。牛吃草问题概念及公式 牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是 17 世纪英国伟大的科学家牛顿 提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定

11、不变，不同头数的牛 吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由 于吃的天数不同， 草又是天天在生长的， 所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。 解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是：1）1）少天数）2）4） 这四个公式是解决消长问题的基础。 由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想 办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但 由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量， 才能够导出上面的四个基本公式。牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草， 又有每天新长出的草

12、。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以 吃多少天。解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量， 再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。这类问题的基本数量关系是：1. （牛的头数 泌草较多的天数-牛头数 沁草较少的天数）一（吃的较多的天数 吃的较少的天数 ）= 草地每天新长草的量。2. 牛的头数X吃草天数-每天新长量 沁草天数=草地原有的草。 解多块草地的方法多块草地的 “牛吃草 ”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这样可以 减少运算难度，但如果数据较大时，我们一般把面积统一为“ 1相”对简单些。“牛吃草 ”问题分析姚璐华图公务员考试研究中心

13、数量关系资料分析教研室研究员【华图名师姚璐例1】有一块牧场，可供 10 头牛吃 20 天， 15 头牛吃 10 天，则它可供 25 头牛吃多少天？A.3 B.4 C.5 D.6 【华图名师姚璐答案】 【华图名师姚璐解析】 可供 25 头牛吃 Y 天根据核心公式 代入 (200-150)/(20-10)=5 璐例 2 】有一块牧场，可供 少头牛吃 4 天？A.20 B.25 C.30 D.35 【华图名师姚璐答案】 C 【华图名师姚璐解析】设该牧场每天长草量恰可供 根据核心公式代入(20 X10-15 X 10)=5 10X20-5 X20=100 1004+5=30(头) 【华图名师姚璐例 3

14、】如果 22 头牛吃 33 公亩牧场的草， 17头牛吃 28 公亩牧场的草， 场的草，需要多少头牛？A.50 B.46 C.38 D.35 【华图名师姚璐答案】 【华图名师姚璐解析】 每公亩草场原有牧草量为24 天内吃尽 40 公亩牧场的草，需要 Z 头牛 根据核心公式：，代入，因此 ，选择 D【华图名师姚璐注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不 再是常量。下面我们来看一下上述 “牛吃草问题 ”解题方法，在真题中的应用。 【华图名师姚璐例4】有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，40 分钟能排完；如果用 4 台同样的抽水 问如果计划用 10 分钟将水排完， 需要多少台抽

15、水机？C设该牧场每天长草量恰可供X 头牛吃一天，这片草场10*20-5*20=100100/(25-5)=5( 天)10 头牛吃 20 天， 15 头牛吃 10 天，则它可供多X 头牛吃一天，54 天后可以吃尽，84 天可以吃尽，那么要在 24 天内吃尽 40 公亩牧D 设每公亩牧场每天新长出来的草可供 X 头牛吃 1 天，Y ，一段时间后，用 2 台抽水机排水，则用 机排水， 则用 16 分钟排完。 【广东 2006 上】A.5 台 B.6 台 C.7 台 【华图名师姚璐答案】D.8 台 B【华图名师姚璐解析】设每分钟流入的水量相当于 需 Y 台抽水机有恒等式：X 台抽水机的排水量，共解 ，

16、得 ，代入恒等式【华图名师姚璐例5】有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10 台抽水机需抽 8小时， 8台抽水机需抽 12 小时，如果用 6台抽水机，那 么需抽多少小时？【北京社招 2006 】A.16 B.20 C.24 D.28【华图名师姚璐答案】 CX 台抽水机的排水量，共【华图名师姚璐解析】设每分钟流入的水量相当于需 Y 小时有恒等式：解 ，得 ，代入恒等式【华图名师姚璐例6 】林子里有猴子喜欢吃的野果，23 只猴子可在 9 周内吃浙江 2007 】D.5 周C光，21 只猴子可在 12 周内吃光， 问如果有 33 只猴子一起吃， 则需要几周吃光？ (假定野果生长的速度不

17、变)A.2 周 B.3 周 C.4 周【华图名师姚璐答案】X 只猴子吃， 33 只猴子共【华图名师姚璐解析】设每天新生长的野果足够需 Y 周吃完有恒等式：解 ，得 ，代入恒等式【华图名师姚璐例7】物美超市的收银台平均每小时有60 名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付 80 名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设 一个收银台，付款开始 4 小时就没有顾客排队了，问如果当时开设两个收银台， 则付款开始几小时就没有顾客排队了【浙江 2006 】小时 D.0.8 小时A.2 小时 B.1.8 小时 C.1.6【华图名师姚璐答案】 DX 小时就无人排队了。【华图名师姚璐解析】设共需,并且排队的乘

18、客按一定速度增加,检查速度也一定 ,当车站放一个检票口 ,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放 2 个检票口时 ,只要 10 分钟就把所有乘客 OK 了 求增加人数的速度还有原来的人数 设一个检票口一分钟一个人1 个检票口 30 分钟 30 个人2 个检票口 10 分钟 20 个人(30-20)珂30-10)=0.5 个人 原有 1 X30-30 X0.5=15 人 或 2X10-10 X0.5=15 人例题：1 、旅客在车站候车室等车2、有三块草地，面积分别是5， 15， 24 亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供 10 头牛吃 30 天，第二块草地可供 28 头牛吃 45天，问 第三块地可供多少头牛吃 80 天？这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。把每头牛每天吃的草看作 1 份。因为第一块草地 5亩面积原有草量+ 5亩面积30天长的草=10X30 = 300份 所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300-5 = 60份因为第二块草地 15亩面积原有草量+ 15亩面积45天长的草=28X45 = 1260份所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260- 15 = 84份所以45 30 = 15天，每亩面积长