正余弦定理专题(1)

1、解斜三角形(正余弦定理灵活应用)1. 正弦定理：-= b =-=2R.(关键点“比”)sin A sinB sin C利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题(1) 已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2) 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角2. 余弦定理：a2=b2+c2 2bccosA :b2=c2+a2在余弦定理中，令 C=90 °，这时cosC=0，所以,2 2 2 2 2,2,b c a “4 cabcosA=；cosB= ；2bc2ca利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1 )已知三边，求三个角；(2 )已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个

2、角.(从而进一步求出其他的边和角)2cacosB : c2=a2+b2.2 .2 cosc= _b_2abc2=a2+b2 2abcosC.c2可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来理解” 判断三角形的形状：1. 在 ABC 中，若 2cosBsinA=sinC,则 ABC 的形状一定是(A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形2. 下列条件中， ABC是锐角三角形的是()+cosA=15B. AB BC > 0+ta nB+ta nC> 0答案：CD.等边三角形=3，c=3 73，B=30 °答案：C22124解析：由 si

3、nA+cosA= 得 2sinAcosA= < 0,二 A 为钝角.525由 AB - BC > 0，得 BA - BC < 0，二 cos BA , BCv O. B 为钝角.由 tanA+tanB+tanC>0，得 tan (A+B) (1 tanAtanB) +tanC>0. / tanAtanBtanC>0, A、B、C 都为锐角 I b C ZB . c J3. c n p. 2 n由=，得 sinC=，- C=或.sin B sin C2333.在 ABC中，sinA=snC，判断这个三角形的形状.cosB cosCa2= ( b3+c3)解:

4、a=b_c，所以 b (a2 b2) +c (a2 c2) =bc (b+c).所以(b+c)22I22I 22cab a b c2ca2ab+ bc (b+c).所以 a2=b2 bc+c2+bc.所以 a2=b2+ c2.所以 ABC 是直角三角形.解斜三角形(求角度和长度)4.已知(a+b+c) ( b+c a) =3bc，则/ A=.b222解析：由已知得(b+c) 2 a2=3bc,. b2+c2 a2=bc. -一c一2bc丄."A= n.2答案：n35.在 ABC 中，“A > 30° ”是“ sinA > - ”的2B.必要而不充分条件A.充分而

5、不必要条件 件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条解析：在 ABC中，A> 300< sinA< 111sin A > - ; sin A> -30< A < 150A > 30° 答案：B6在 ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若三角形的面积S=> (a2+b2 c2),则/ C的度数4解析：由 S=1 (a2+b2 c2)得 labs in C=1 - 2abcosC. tan C=1. . C=上.答案：45°4244ABC的三个内角 A、B、C的对边分别是 a、b、c,如果a2=b ( b+c),

6、求证：A=2B.证明：用正弦定理，a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC,代入 a2=b ( b+c)中，得 sin2A=sinB (sinB+sinC)sin2A sin2B=sinBsinC1_cos2A 1_cos2B =sinBsin (A+B)2 2 sin ( A+B) sin (A B) =sinBsin (A+B), 因为A、B、C为三角形的三内角，所以即 A=2B.该题若用余弦定理如何解决 ？sin (A+B0.所以sin解：利用余弦定理，由 a2=b (b+c).A b2c2cosA=a2(b22 2 , 22a c b Xcos2B=2cos2B 1=2

7、 ()2ac2bc(b c)2c222b ( b 所以cosA=cos2B.因为A、B是 ABC的内角，所以 评述：高考题中，涉及到三角形的题目重点考查正弦、 是命题者的初衷.c) c2A=2B.余弦定理,的面积为1(cos2B cos2A) =sinBsin (A+B)2(A B) =si nB.所以只能有 A B=B,2c ) b (b c) c b 莎2bc1=c b2b考查的侧重点还在于三角转换.这8上ABC中，a、b、c分别为/ A、/ B、/ C的对边，如果 -，那么b等于()2a、b、c成等差数列，/ B=30 °, ABC5案：Bc¥-解析：2b=a+c.平

8、方得 a2+c2=4b2 2ac.又 ABC 的面积为-，且/ B=-0 °22 2 2 C b = 4b_12 2ac =22得 ac=6. a2+c2=4b2 12.由余弦定理，得 cosB= 11,故由 S4abc= acsinB= acsin-0°22b24/-=，解得b2=4+2 J-.又b为边 42长， b=1+.-19.已知锐角 ABC 中，sin (A+B) =一 , sin (A B)=一 .55(2)设AB=-，求AB边上的高.(1)求证：tanA=2ta nB;(1)证明：3sin (A+B) = - , sin51(AB)=-5sin AcosBsi

9、n AcosBcos As in B -5cosAsin B -5sin AcosBcos Asin B巫=2.tan B tan A=2ta nB.(2)解:上 < A+B<n,. Sin (A+B) =2 . tan ( A+B)=-254tan B即丑1 tan Atan B舍去).得 tanB= 2_23 22 J 6一.将 tanA=2tanB 代入上式整理得 2tan2B 4tanB- 1=0,解得 tanB=4 2/ tanA=2tanB=2+ 6 .（负值设AB边上的高为CD ,则AB=AD+DB=-CD+-CP =皂冬.由AB=3得CD=26，所以AB边上的高为

10、tan A tan B 2 V610.在 ABC中，a、b、c分别是/ A、/ B、/ C的对边长，已知be,求/ A的大小及 竺丄B的值.c剖析：因给出的是 a、b、c之间的等量关系，要求/ A,需找/ A与三边的关系，故可用余弦定理.由2 .b2=ac可变形为 =a，再用正弦定理可求b"snB的值.c解法一： a、a、b、c成等比数列，且 a2 c2=ac在 ABC中,在 ABC中,解法二：在cb、c 成等比数列， b2=ac.又 a2 c2=ac bc,. b2+c2 a2=bc.b2 c2由余弦定理得cosA=2bc£ =竺=丄，./ A=60 2bc 2由正弦定理

11、得 sinB= bsin A ,/ b2=ac, / A=60aABC中，由面积公式得 1 bcsinA=1acsinB. 2 2bsin B2b sin 60.V3=Sin60 =ac2T b2=ac，/ A=60°,. bcsinA=b2sinB. . bsin B =sinA=亟.c2评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理11.在 ABC 中，若/ C=60。，则一a- b c22丽疋 ab a ac b bc解析：=b c a c (b c)( a c)a c2.2.abac bccab ac bc(*)/ C=60 °

12、 ,. a2+ b2 c2=2abcosC=ab. . a2+ b2=ab+c2.代入（*）式得2.2.abacbc“宀=1.答案：1 ac bc cab取值范围题目12.在 ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.依次成等比数列,y= 1 sin 2B 的取值范 sin B cos B2 2.2 2 2缶刀.r. 2_ a c b a c解：-b2=ac,. cosB=2ac2ac1 sin2B (sin B cosB)2y=sin B cos B sin Bac 12(? + £ )c a=sin B+cosB=j2sin ( B+ 上)47n12cos B< si

13、n ( B+ n)w 1. 故 1 < yw “ .2413.已知 ABC中,(sin2A sin2C) = (a- b) sinB,外接圆半径为 丘.3(1)求/ C;(2)求 ABC面积的最大值.a2 c2b解：(1)由 2j2 (sin2A sin2C) = (a b) sinB 得 2 忑 (2 2 ) = (a b) 一 .4R24R22R_ 2 b22 1又 R=J2 , a2 c2=ab b2.; a2+b2 c2=ab. cosC= b =-.又/ 0 °< C < 180 2ab 2C=60(2)"纠b=2 屁nAsinB=2屁nAsin (120°- A) =2 屁nA (sin120 ° cosA - cos120sinA)/23J3=3sinAcosA+ *3 sin A=- sin2A 2sin2ACOS2A+逅=73 sin (2A 30°) + 鱼2 2 2当 2A=120。，即卩 A=6014.在锐角 ABC中，边长时，Smax=坐.2a=1, b=2，则边长c的取值范围是.2 2 2解析：若 c是最大边，则 cosC>0. ab >0,； c< J5 .又 c>b a