一元二次方程章节重点知识点复习

1、、知识结构:元二次方程解与解法 根的判别 韦达定理针对练习:二、考点精析考点一、概念(1)定义:只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2,这样的整式方程就是一兀次方程。(2) 般表达式:2ax bx c 0(a0)难点：如何理解“未知数的最高次数是2” :该项系数不为“0”；未知数指数为“2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题:例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是(1212xax2bx变式：当时，关于x的方程kx22x2xx21x23是一元二次方程。例2、方程m 2 X向 3mx 10是关于x的一元二次方程，则 m的值为2 1、方程8x

2、 7的一次项系数是，常数项是 2、若方程m 2 x m0是关于x的一元一次方程,求m的值；写出关于x的一元一次方程。 3、若方程m 1 x2?x 1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是考点二、方程的解概念:使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值;典型例题:2 2例1、已知2y y 3的值为2,则4y2y1的值为例2、关于x的一元二次方程a 2 x240的一个根为0,则a的值为例3、已知关于x的一元二次方程 ax2bx0 a 0的系数满足a c b ,则此方程必有一根为2,另一根是x 113的解相同。1 1、已知方程x kx 10 0的一根是2，则k为 2、

3、已知关于x的方程x2 kx 20的一个解与方程x求k的值；方程的另一个解。 3、已知m是方程x2 x 1 0的一个根，则代数式 m2 4、已知a是x2 3x 1 0的根，则2a2 6a0的一个根为（ 5、方程abe D 6、若 2x5y0,则 4x?32y考点三、解法方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点：降次类型一、直接开方法:2x2m m0, x2 2对于 x a m， ax mbx n2等形式均适用直接开方法典型例题:例1、解方程：1 2x280;22 25 16x =0;3 1 x 290;2 2例 2、若 9 X 116 X 2，则X的值为针对练习:下列方程无解的是(A.

4、 X23 2x21 B. XC. 2x 3 1D.类型二、因式分解法Xx1Xx2XX1,或 XX2方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“方程形式：如axbx2c2X 2ax a典型例题:例 1、2x X 3的根为AX|Xi例2、若4x3 4x则4x+y的值为变式1:a2b22b20,则 a2b2变式2:若X例3、解方程:X2X 2j340例4、已知2x23xy 2y2针对练习: 1、下列说法中:方程X2 px2 q 0的二根为X1 , X2，则Xpx q (X Xi)(xX2)x2 6x 8(X 2)(x 4). a2 5ab6b2(a 2)(a 3) x2y2（Xy)(VX 7y

5、)(Jx Jy)方程（3x1)270可变形为(3x 1 J7)(3x例1、试用配方法说明x2 2x 3的值恒大于0。正确的有（J7为根的一元二次方程是（）A. x2 2x 60x2 2x 60C. y2 2y 601,且两根互为倒数: 3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为相反数: 4、若实数x、y满足x y 3 x yx+y的值为（A -1 或-2 B 、-1 或 2 C 、1或-22 15、方程：x 2的解是x类型三、配方法I ax2 bx c 0a 02b_2ab2 4ac4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数

6、式 的值或极值之类的问题。典型例题:例2、已知X、y为实数，求代数式x22y 2x 4y 7的最小值。已知X2y2 4x 6y 130,x、y为实数，求xy的值。分解因式:4x2 12x 3针对练习: 1、试用配方法说明10X2 7x 4的值恒小于0。 2、已知x2 丄x 1 4 0，则xx x 3、若 t 2J 3x2 12x 9，则 t的最大值为，最小值为类型四、公式法条件2a 0,且 b 4ac 0公式：I xb Jb2 4ac2a0,且 b24ac典型例题:例1、选择适当方法解下列方程: 31 x 26.x 68.x2 4x 1 3x2 4x1 3x1 x 1 2x 5类型五、“降次思

7、想”的应用典型例题:2例1、如果x x 1 0，那么代数式32X 2x 7的值。例2、已知a是一元二次方程X2 3x3-2_.” C “a 2a 5a 1 亦居10的一根，求2的值。a21考点四、根的判别式 b2 4ac根的判别式的作用:定根的个数;求待定系数的值;应用于其它。典型例题:例1、若关于x的方程2Jkx 10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是例2、关于x的方程1x22mx m 0有实数根，则m的取值范围是()A. mB.0 C. m 1 D.例3、已知关于x的方程k 2 x 2k 0ABC的周长。(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根;(2)若等腰 ABC的一边长为1,另两

8、边长恰好是方程的两个根,例4、已知二次三项式9x2 (m 6)x m 2是一个完全平方式，试求m的值.针对练习: 1、当 k时，关于x的二次三项式x2 kx 9是完全平方式。 2、当k取何值时，多项式3x2 4x 2k是一个完全平方式这个完全平方式是什么2m的值是 3、已知方程 mx mx 20有两个不相等的实数根，则0. 4、k为何值时，方程组 kX 2，y2 4x 2y 1(1)有两组相等的实数解，并求此解;(2)有两组不相等的实数解;(3)没有实数解.考点五、方程类问题中的“分类讨论” 典型例题:例1、关于X的方程 m 1 X2 2mx有两个实数根，则 m为 只有一个根，则例1、 不解方

9、程,判断关于 x的方程X22 Xk23根的情况。例3、如果关于X的方程X2 kx 20及方程X2X 2k0均有实数根，问这两方程是否有相同的根若有，请求出这相同的根及k的值;若没有，请说明理由。考点六、根与系数的关系前提：对于axbxc 0而言，当满足a 0、0时才能用韦达定理。主要内容:XiX2bc-,XiX2-aa应用：整体代入求值。典型例题:例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x2 8x 7 0的两根，则这个直角三角形的斜边是()A. j3D.J6例2、已知关于X的方程k2x2 2k 1 X 1 0有两个不相等的实数根 x1, x2，(1 )求k的取值范围;(2)是否存在实数k

10、，使方程的两实数根互为相反数若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。例4、已知是方程X2 X 10的两个根，那么 43针对练习:21、已知Xi,X2是方程x3x 90的两实数根，求Xi27x2 3x2 66 的值。考点七、应用解答题“碰面、握手”问题；“增长率”问题；“几何”问题;“最值”型问题;典型例题:1五羊足球队的庆祝晚宴,出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人3、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售,一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：(1)当销售价定为每千克 55元时，计算月销售量和月销售利润。(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达