公式法凑角法换元法

1、公式法-凑角法-换元法5凑角虽巧,换元更妙湖北省郧县第一中学(442500 )郑传根在三角公式的应用中，有一类题型是给值求值，这是三角中的一个重点题型，其形式多样，变化多端.学生在解这类题时常常因为找不到恰当的方法而致错，也因此而烦恼.本文旨在通过例题说明给值求值问题的不同解法，感受凑角法之巧，体会换元法之妙！供同学们学习或教师教学参考.一.公式法利用已知条件、和差公式及同角三角函数的基本关系式，列方程组求出待求的三角 函数值，是一种基础而常规的方法.53cosA = 一 , sinB = ，贝U cosC 的值为13516 十 56-65cos(A + B)3而 si nB = 显然 si

2、nA > sinB5 c 4 cosB =512cos(A + B) = sinAsinB cosAcosB =13例1在 ABC1665解： C =A*又 A (0, A > B cosC =中，已知5665(A + B)/ sinA =即B必为锐角例2已知D*65 cosC =16651213§ 4 1613 565(0'2),COs4 ZB .-得 sin5 5根据两角和的余弦公式与完全平方公式得(0, -),cos4 cos52cos3 .一 Sin5.2Sin5 '解得sin1.1.(0,-), sin2二.凑角法当所给角与待求值的角都较复杂时，

3、公式法要么很繁，要么无法解答,这时用凑角法显得巧而有效.25例3已知，的3，sin(5求 sin( +4).,),(3(占.cos()-,cos(57)sin(7)sinsin()cos(-)cos(4=3,5、41233()51351365134,会有不甚其繁的感觉)sin(4)显然,此例如果再用常规的方法 用凑角法.,因而不再使用常规法，而直接采1例4 已知 cos( )= 29)的值.(亍).si n(2)=3, %).求 cos( +(2,）,（0,2）得且 cos()2-.si n(37)2 2伍/、75,cosU )923cos2cos(?) (?)cos(-)cos(-)sin(

4、cos(2)2 cos)s in( 2 2239729.7527三.换元法当待求角与已知角的关系较隐蔽时 简化.,你又会有凑角不便之感.这时不妨用换元的方法来例5已知0< <3 ,cos(-44)13求 sin().解：设一-43 . cos -,sin5=，由条件知sin134-,cos51213sin( )sin(44)cos(coscossin sin )56显然，换元之后，凑角中的逆思考变成了顺思考和推理，降65低了难度.例6 设sin2 =a,cos2 =b,0< <,给出 tan( +)值的44四个答案：(1)兀;(2)汁;1+ab.其中正确的序号是解:令2

5、 =,贝U =2.sina,cosb.tan() tan(427)tansinL1 cos(i)或tan(-) tan(-tanF1 cos(sin( I)所以答案为(1)( 4).公式法-凑角法-换元法2例7已知tan 2tan6.(1求 证:5cos(2) 7cos0；(2)若 tan=2,求cos().7解证：(1令 26,即 sinsin6cos cos0.5cos(3)7cos5cos()7cos(12coscos2si n(2)Q tanc2,tantan tan2)sin2, tan0.3.cos()cos21 tan21 tan21 ( 3)21 ( 3)2由此可见，虽然凑角可以很巧地解决求值问题，但换元更有化繁为简、化逆为顺的作用.在实际解题时采用那种方法要因人而宜、因题而宜.同时有两点要注意：(1)我们在体会使用凑角法、换元法的同时，也不要忘记常规方法.如例4