2.2.3《向量数乘运算及其几何意义》导学案

1、223向量数乘运算及其几何意义导学案【学习目标】掌握实数与向量的积的定义，理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量的积的运算律，会利用2.实数与向量的积的运算律进行有关的计算;理解两个向量平行（或共线）的等价条件，能根据条件判断两个向量是否平行（或共线）通过探究，体会类比迁移的思想方法，通过实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.【重点难点】 重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的等价条件; 难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的等价条件.【知识回顾】1.2.3.4.平行向量是指什么？共线向量又是指什么？ _ 作出两个向量的和向

2、量的方法有 第一个方法的步骤是： 第二个方法的步骤是：作出两个向量的差向量的方法是uuu uuo UUlU三个向量AB , OA , OB有怎样的等式关系?;作两个向量的差向量的步骤是:.（向量的化简与分解）【新课导入】相同的几个数相加可以转化为数乘运算, 加是否也能转化为数乘运算呢？rr已知非零向量 a，如何作出向量 a +如当a R 时，a a a那么相等的几个向量相r ra + a 和(-a) + (- a) + (- a) ?类似实数的数乘运算，可将a+a + a简记为r r r;(-a)+ (- a)+ (- a)简记为它们的结果是一个什么样的量？数量还是向量?请同学们指出相加后，和

3、的长度与方向有什么变化?【学习过程】 1）定义一般地，我们规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，该向量的(1)方向与长度与、a有什么关系呢?（1）向量的长度:rl a|（2）向量的方向:思考:若b.（用a,b的模表示）向量的数乘运算的几何意义吗?向量与数量的关系常常在物理公式中体现.你能举出几个公式吗?练一练：（课本第90页练习的第2,3题）1.已知点C在线段AB上，且AC5UULT 则ACuuu AB ;uultBCCB2rr2将下列各小题中的b表示为实数与向量a的积：rr rrrrrra3e, b6e ；a8e,b14e ；r2 rr 1 rr3r r2ra-e

4、,b -e;ae, b-e3343运算律:2）uur AB ；初中学习了多项式的运算法则，你还记得吗?,为常数,x,y为未知量，且X, yR，则（X）)X(X y)类比多项式的运算律（交换律、结合律、分配律）得到以下向量数乘的运算律:rb为任意向量,入、卩为任意实数，则有:特别地,练一练:r(a)我们有（）a3.计算：（1） （- 3）? 4；r(2)(入+ jj)a =r r(3) Xa+ b)=r r；Xa- b)=r r r r rr r r r r r(2) 3(a+ b)- 2(a- b)- a ；( 3) (2a+ 3b- c)- (3a- 2b + c).总结提升1.此类运算类似

5、多项式的运算法则（合并同类项，系数相乘得系数等）2 .向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算，对于任意的向量r ra,b以及任意实数2恒有:ur r rm4.若a, b是已知向量，且ltmrnr2nr3bur r r r 一r，求m,n （用a, b表示）.6a3）共线定理:思考：弓I入向量数乘运算后,r r1 .若 b ar（a为非零向量,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗?R）,则向量a、b是否共线？2.若非零向量rra与向量b共线，是否存在R使得b a ?111r1 a 2b1a2b入,共线向量定理：向量b与非零向量a平行的等价条件是有且仅有一个实数，亠 e r r 使彳得b =

6、 Aa共线定理中能否将“非零向量a ”改为“向量a ”？为什么?uuuruuu想一想：如图：已知AD = 3AB ,uuur uuuDE = 3BC ,uuuruuu试判断AC与AE是否平行.变式1:如上图,uuur 已知 AD =uuu3AB ,uuurDEuuu3BC，试判断A,C,E三点的位置关系.变式2:如上图,uuur 已知 AD =uuu3AB ,uuu AE =uuur3AC，求证：BC/DE .【总结提升】向量共线定理的应用:1.证明向量共线;2 .证明：三点共线:uuuABuuuBCA, B,C三点共线;3 .证明两直线平行:uuurCDuuu uuuAB/CDuuuABAB

7、与CD不在同一直线上直线AB / /直线CD 这样几何问题向量化.【典例1】已知任意两个非零向量a、b,且OA ar uuub，OBr r uur a 2b , OCa 3b.你能判断A,B,C三点之间的位置关系吗？为什么？【典例2】在 ABC中，点D是线段BC上的一点,且BD2DC，请用向量uur uuiruuu"AB、AC表示向量AD .【小结回顾】1.实数与向量的积:2.3.实数与向量的积的运算律:共线向量定理：定理的应用证明：向量共线;证明两直线平行:证明：三点共线:uuur uuu uuiuCD AB/CDuuuABAB与CD不在同一直线上uuuABBC A, B,C三点共线;直线AB / /直线CD .【作业布置】 1相应课时的同步作业2拓展提升部分的思考【拓展提升】r ruuu1.设a、b是两个不共线向量，已知 AB =值.r r2a + mb ,uuu r rCB = a+ 3b，若A、B、C三点共线，求m的2在【典例2】中，观察所得出的结果，向量uuuuuiuuuu一点，且BDBC，则用向量 AB、关系？ ;反过来，若ADuuu uuurAB与AC的系数有何关系？若题中D为直线BC上的任意