概率论与数理统计公式整理

1、m!第1章随机事件及其概率pmn 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。(m n)!(1)排列组合公式cm(2)加法和乘法原理加法原理(两种方法均能完成此事)：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 由m+n种方法来完成。m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可(3) 些常见排列(4)随机试验和随机事件(5)基本事件、样本空间 和事件(6)事件的关系与运算乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事) 某件事由两个步骤来完成， 第一个步骤可由 由mx n种方法来完成。m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可重复排列和非重复排列(有序)顺序问题如果一个试验在相同条件下

2、可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不 能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。对立事件(至少有一个)在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质: 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 一个事件就是由 中的部分点(基本事件 们是 的子集。来表示。表示。)组成的集合。通常用大写字母A, B, C,表示事件，它为必然事件，？为不可能事件。不可能事件(?)的概率为零

3、，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件(Q)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。关系:如果事件A的组成部分也是事件 B的组成部分，(A发生必有事件 如果同时有 A B , B A，则称事件A与事件B等价，或称 A B中至少有一个发生的事件：A B,或者B发生)：A BA等于B： A=BA+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B,也可表示为 A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：AB或者AB AB=?则表示互斥。基本事件是互不相容的。A与B不可能同时发生，称事件 A与事件B互不相容或者-A称为事件A的逆事件，或称 A

4、的对立事件，运算：结合率：A(BC)=(AB)C A U (B U C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(AU C)n (B U C) (A U B) n C=(AC) U (BC)记为。它表示 A不发生的事件。互斥未必对立。德摩根率:A B A B，A B A Bm!从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。n!(m n)!设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件:1 ° 0 < P (A) < 1，2° P( Q ) =1(7)概率的公理化定义3°对于两两互不相容的事件，有常称为可列(完全)可加性。

5、则称P(A)为事件的概率。(8)古典概型1,2n12。P( 1)P( 2)P( n)-。n设任一事件，它是由1,2m组成的，则有P(A)=( 1)( 2)( m) = P( 1)P( 2)mA所包含的基本事件数n基本事件总数P( m)(9)几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 P(A) L(A)。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。P(A) L()同时样本空间中的每一个基本事件可以A(10)加法公式P (A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB) = 0 时，P(A+B)=P(A)+P(B

6、)(11)减法公式P( A-B)=P (A)-P(AB)当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A=Q 时，P( B )=1- P(B)(12)条件概率定义 设A B是两个事件，且P(A)>0，则称P(AB)为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为P(A)P(B/A) P(AB)。P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P( Q /B)=1P(B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式乘法公式：P (AB) P(A) P(B/A)更一般地，对事件 A， A，An,若P(A1AA-1)>0，则有o两个事件的独立性设事件、满足，则称事件、是

7、相互独立的。 若事件、相互独立，且，则有(14)独立性若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。 必然事件和不可能事件 ？与任何事件都相互独立。?与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C) ; P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P (ABC)=P (A) P(B) P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。(15)全概公式设事件满足1°两两互不相容， 2°，则有o设事件，及满足1 ° ,，两两互不相容，>0，1，2，2 °,贝U

8、P(B /A)P(Bi)P(A/Bi)i=1 2."(16)贝叶斯公式P(Bi / A)n, ' ' , J "P(Bj)P(A/Bj)j 1此公式即为贝叶斯公式。P(Bi)，(，)，通常叫先验概率。P(Bi / A)，(，)，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。(17)伯努利概型我们作了次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。用表示每次试验

9、发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率，(1)离散型随机变量的分布律第二章随机变量及其分布设离散型随机变量的可能取值为X(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=Xk)=P k，k=1,2,，则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：O显然分布律应满足下列条件：(1)，(2)。(2)连续型 随机变量的 分布密度设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有则称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。 密度函数具有下面4个性质：1° 。2° 。(3)离散与连续型随机变量的

10、关系P(X X) P(x X x dx) f(x)dx积分元f (x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。(4)分布函 数设X为随机变量，x是任意实数，则函数F(x) P(X x)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(a X b) F(b)F (a) 可以得到X落入区间(a,b的概率。分布函数F (x)表示随机变量落入区间(- S，x内的概率。分布函数具有如下性质：1°0 F(x) 1,2°F(x)是单调不减的函数,即 X1 X2 时，有 F(X1)F(X2)；3°F( ) lim F(x)xF()lim F

11、(x) 1；x4°F(x 0) F(x)，即F(x)是右连续的;5 ° P(X x) F(x) F(x0)。对于离散型随机变量，F(x)Pk;Xk XX对于连续型随机变量， F(x)f (x)dx(5)八大分布0-1分布二项分布P(X=1)=p, P (X=0)=q在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为 P。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2, ,nP(X k) Pn (k)C k k n kCn P q其中 q 1p,0 p 1,k0,1,2, ,n，则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为 X - B(n, p)。当 n 1 时，P(X

12、 k)pkq1 k，k 0.1 ，这就是(0-1 )分布，所以(0-1 )分布是二项分布的特例。泊松分布超几何分布几何分布均匀分布指数分布设随机变量X的分布律为kP(X k)卫e0, k 0,1,2则称随机变量 X服从参数为的泊松分布，记为 X （）或者P（ ）o泊松分布为二项分布的极限分布（np =入，p（xk）于,：mx,n）随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为 H（n,N,M） ok 1P(X k) qjp ,k 1,2,3, ，其中 pA 0, q=1-p o随机变量X服从参数为P的几何分布，记为 G（p） o设随机变量的值只落在f (x) b0,则称随机变量在 分布函数为

13、a，b内，其密度函数在a，b上为常数1 ，即b a其他,a，b上服从均匀分布，记为XU（a，b） o1,当awX1VX2W b时，X落在区间（）X2X1P(x1 X x2)b a0,x<a w xw bx>b内的概率为其中，则称随机变量 X服从参数为的指数分布。 X的分布函数为记住积分公式:x<0xne xdx n!正态分布设随机变量的密度函数为f (X)厂其中、为常数，则称随机变量服从参数为、的正态分布或高斯( 具有如下性质：1°2°若,的图形是关于对称的；1当时，f( _为最大值;则的分布函数为参数、时的正态分布称为标准正态分布，记为，其密度函数记为,

14、X,分布函数为Xt2e 2 dt(x)逅是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。1(-X)= 1-(x)且(0)= 一。2如果 XN( ,2)，则-N(0,1)。P(Xi X X2)X2Xi(6)分位数下分位表：P(X)=Gauss)分布，记为。上分位表：P(X)=(7)函数分 布离散型已知X的分布列为X1,X2, Xn,P(X Xi) P1, P2, pn,Y g(X) 的分布列(y g(Xi )互不相等)如下:P(Y y)连续型g(X1), g(x2), g(Xn),P1,P2,pn，若有某些g(xi)相等，则应将对应的pi相加作为g(xi)的概率。先利用X的概率密度fO)写出Y的分

15、布函数FY(y) = P(g(X) <y)，再利用变上下限积分的求导公 式求出fY(y)。第三章二维随机变量及其分布(1)联合分布离散型机量。如果二维随机向量(X, Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y ),则称 为离散型随设 =(X, Y)的所有可能取值为(Xi,yj)(i,j1,2,)，且事件 =(Xi,yj)的概率为Pij,称P(X, Y) (Xi,yj) Pij(i,j 1,2,)连续型(2)Piji j1.维随机向量(X,Y)如果存在非负函数f(x,y)()，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D=(X,Y)|avxvb,cvyvd 有P(X, Y) Df

16、 (x, y)dxdy,D则称(1)为连续型随机向量；并称 f(x,y)为 =(X, Y)的分布密度或称为 X和Y的联合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面两个性质:f(x,y) > 0；(2)f (x, y)dxdy 1.(2)二维随机变量的本质(X x,Y y) (X X Y y)（3）联合分布函数设（X, Y）为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数F(x, y)Px x,Y y称为二维随机向量（X, Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件（2)|X(1) x,Y（ 2） y的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F（x,

17、y）具有以下的基本性质:(1)0 F(x, y) 1;(2) F( x,y )分别对x和y是非减的，即当 X2>X1 时，有 F (X2,y )> F(x 1,y);当 2屮时，有 F(x,y 2) > F(x,y 1);F (x,y )分别对x和y是右连续的，即(3)F(x,y) F(x 0,y),F(x, y) F(x, y 0);(4)F(F( ,y) F(x, )0,F()1.(5)对于x1 x2,y1y2,（4）离散型与连续型的 关系（5）边缘分布离散型X的边缘分布为Pi? P(XXi)Pij(i,j 1,2,)；jF(X2, y2)F(X2, yi) F(Xi,

18、y2) F(xi, yj 0.P(X x, Y y) P(x X x dx, y Y y dy) f(x, y)dxdyY的边缘分布为连续型P?jP(Yyj)Pij(i, j 1,2,)。iX的边缘分布密度为fx(X)f (x, y)dy；Y的边缘分布密度为fY(y)f (x, y)dx.（6）条件分布离散型在已知X=x的条件下，Y取值的条件分布为P(YIV pij Yj |X Xi)Pi?在已知Y=y的条件下，X取值的条件分布为P(X连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为f(x|y)f(x,y)fY(y)在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为f(y|x)f(x,y)fx(X)(7)

19、独立性一般型离散型F(X,Y)=F x(x)F Y(y)Pij Pi? p?j有零不独立连续型f(x,y)=f x(x)f Y(y)直接判断，充要条件： 可分离变量 正概率密度区间为矩形二维正态分布f(x,y)212122(1 2)e2 (x 1)(y2)随机变量的函(9)二维正态分布设随机向量(X,若X1,X2,XnXm+1,Xn相互独立，h,g为连续函数，则: h ( X1 , X2,Xm)和 g ( Xm+1,Xn)相互独立。特例：若X与Y独立，则：h (X)和g (Y)独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。Y)的分布密度函数为f(x, y)其中0,12(1 2) =e2

20、记为(X, Y)N (1， 2,2 (x 1)(y2)0,1| 1是5个参数，则称(X,Y)服从二维正态分布,2,).由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布,即X N (1,12),YN( 2,2).但是若XN (12),Y N(22,2 ) , (X, 丫)未必是二维正态分布。(10)函数分布Z=X+Y根据定义计算：FZ(Z) P(Z z)P(Xz)对于连续型，fZ(Z)= f(x,zx)dx两个独立的正态分布的和仍为正态分布(n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。Ci i , iCi2i2iZ=max,min(X1,X2,Xn)2分布设n个随机变量

21、X1,X2, ,Xn相互独立,且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和Xi2的分布密度为0,f (u )0,0.我们称随机变量W服从自由度为n的2分布，记为2(n),其中_nx?01e Xdx.所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量分布中的一个重要参数。若X1, X2 Xn相互独立，其分布函数分别为Fx, (x), Fx2 (x) Fxn (x),则Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函数为:Fmax(X)Fxi(X)?Fx2(X)FX)Fmin(X)11Fxi(X)?1Fx2(X)1Fxn(X)2分布满足可加性：设2(ni),2(n1 n2nQ.t分布F分布设X, Y是两

22、个相互独立的随机变量，且可以证明函数的概率密度为我们称随机变量t1 (n) t(1)f(t)Tn2N(0,1), 丫(n),VvTnt2).T服从自由度为n的t分布，记为Tt(n)。(n)22设X (n 1), Y (n2)，且X与Y独立，可以证明n1n2X m的概率密度函数为Y /n2f(y)n2y20,y我们称随机变量F1 (n1F服从第一个自由度为ni，第二个自由度为n2m n2,y 0n2的F分布，记为Ff(n i, n 2).小2)F (n2, nJ离散型连续型期望设X是离散型随机变量，其分布律为p( X设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，期望就是平均值Xk)=Pk，k=1,

23、2,n，E(X)xf (x)dxnE(X)XkPkk 1(要求绝对收敛)(要求绝对收敛)函数的期望Y=g(X)Y=g(X)nE(Y)g(Xk)Pkk 1E(Y)g(x)f (x)dx第四章 随机变量的数字特征维机量数特方差D(X)=EX-E(X) 2标准差(X) JD(X),切比雪夫不等式D(X)2Xk E(X) Pkk 对于正整数k,称随机变量X的k次幂的数学期望 为X的k阶原点矩，记为Vk,即V k=E(Xk)=Xikpi, k=1,2,i 对于正整数k,称随机变量 X与E (X)差的k次幂的数学期望为 X的k阶中心矩，记为k，即k E(X E(X)k(XiE(X)k Pi，k=1,2,i

24、D(X)x E(X)2 f (x)dx对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期 望为X的k阶原点矩，记为vk,即V k=E(Xk)=k=1,2,对于正整数k,次幂的数学期望为xk f(x)dx,称随机变量X与E (X)差的kX的k阶中心矩，记为k，即k E(X E(X )kk(x E(X) f(x)dx,k=1,2.设随机变量X具有数学期望E ( X)=卩，方差D ( X) =a 2,则对于任意正数£，有下列切比雪夫不等式P( X切比雪夫不等式给出了在未知 X的分布的情况下，对概率P(|X(2)(1)E(C)=C期望(2)E(CX)=CE(X)的性n质(3)E(X+Y)=E(X)+

25、E(Y)， E(Ci Xi )i 1(4)E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立；的一种估计，它在理论上有重要意义。充要条件：X和Y不相关。nCiE(Xi)i 1(3)(1)方差(2)的性(3)质(4)(5)D(C)=O; E(C)=CD(aX)=a2D(X); E(aX)=aE(X)D(aX+b)= a 2D(X) ； E(aX+b)=aE(X)+bD(X)=E(X2)-E 2(X)D(X± Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和丫独立；充要条件：X和丫不相关。D(X ± Y)=D(X)+D(Y) ± 2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立

26、。 而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。(4)见布期和期望方差常分的望0-1 分布 B(1, p)二项分布B(n, p)npp(1 P)np(1 P)方差泊松分布P()几何分布G(p)超几何分布H (n, M, N)均匀分布U(a,b)指数分布e()正态分布N (,2)2分布nMnM , M N n1 N N N 1(b a)2122nt分布廿2)(5)维机量数特期望随 变 的 字 征nE(X)Xi Pi?i 1nE(Y) yj P?jj 1函数的期望EG(X, Y)=E(X)xfX (x)dxE(Y)yfY(y)dyEG(X, Y)=G(Xj, yj Piji jG(x, y)f

27、(x, y)dxdy方差D(X) x E(X)2 Pi?iD(X) x E(X)2fX (x)dxD(Y) Xj E(Y)2 p?jjD(Y) y E(Y)2fY(y)dy协方差对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩11为X与Y的协方差或相关矩，记为XY或 cov(X ,Y)，即XY 11 E(X E(X)( Y E(Y )YY。与记号 XY相对应，X与Y的方差D( X)与 D( Y)也可分别记为 XX与相关系数协方差矩阵混合矩(6)性质(i)(ii)(iii)(iv)对于随机变量X与Y,为X与Y的相关系数,而当如果记作D( X)XY1=1时，称>0, D(Y)>0，则称XY(

28、有时可简记为X与Y完全相关：P(X完全相关正相;当0时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的: XY 0 ； cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y).XXXYYXYYaY b) 11 时(a 0),1 时(a 0),k l对于随机变量X与Y,如果有E(X Y )存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为kl ； k+l阶混合中心矩记为:Ukl E(XE(X)k(Y E(Y )l.cov (X, Y)=cov (Y, X); cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);cov(X1+X2, Y)=cov(

29、X 1,Y)+cov(X 2,Y); cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).(7)独立相关(i )(ii )(1)大数定律若随机变量X与Y相互独立,若(X, Y)N (则X与Y相互独立的充要条件是切比雪 夫大数 定律XY 0 ；反之不真。X和Y不相关。第五章大数定律和中心极限定理设随机变量X1, X2,相互独立, 对于任意的正数£，有均具有有限方差，且被同一常数C所界：D (X) vc(i=1,2,),则特殊情形:lim PnlnXi 丄n i 1 nnE(Xii 1X1, X2,具有相同的数学期望E (Xi)=卩，则上式成为lim PnXi1.X1.伯努利 大数定 律辛钦

30、大数定律(2)中心极限定理_ 2X N(,)n列维一林德伯格定理棣莫弗-拉普拉斯定(3)二项定理设卩是n次独立试验中事件 A发生的次数，P是事件A在每次试验中发生的概率， 则对于任意的 正数£,有limn1.伯努利大数定律说明，当试验次数 小，即limn这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。设Xi,limn很大时,事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很0.X2,，X,是相互独立同分布的随机变量序列，且E (X)=卩，则对于任意的正数£有nXii 11.设随机变量X , X2,相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：E(Xk),D(Xk)20(k 1,2,)

31、，则随机变量的分布函数Fn(X)对任意的实数X,有YnnXk nk 1JnXklim Fn(x) lim P k 1 厂nnJn此定理也称为独立同分布的中心极限定理。t2 和t.设随机变量Xn为具有参数n, P(0vp<1)的二项分布，则对于任意实数X,有Xn nplim P JnVn p(1p)若当N时,一p(n,k不变)，则NQ k Q n k CM CN McN超几何分布的极限分布为二项分布。t2X 一e 2 dt.k k /.、n kCnP (1 P)(N).（4）泊松定理若当n时，np0,则C；k “ n kP (1P)e k!(n).其中k=0, 1, 2,，n,。二项分布的

32、极限分布为泊松分布。第六章样本及抽样分布总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个: 体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总O个体总体中的每一个单元称为样品（或个体）。样本我们把从总体中抽取的部分样品x1 , x2 , ,Xn称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，x1 , X2 , , Xn表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，Xi , X2 , , Xn表示n个具体的数值（样本值）。我们

33、称之为样本的两重性。样本函数和统计量设X1, X2 , Xn为总体的一个样本，称(Xi , X2 , Xn )为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数，则称（X1 , X2 , Xn ）为一个统计量。（1）数理统 计的基本概 念常见统计量及其性质样本均值样本方差样本标准差样本k阶原点矩n_(Xi x)2.i 11 n _ 乙 1(xi x)2.Mk ni样本k阶中心矩MkE(X)E(S2)其中S*2kXi,k(XiD(X)1,2,X)k,k2,3,2，E(S*2)ln(Xi X)2n i 1，为二阶中心矩。(2)正态总 体下的四大 分布正态分布设x1, x2, ,xn为来自正态

34、总体 N( , 2)的一个样本，则样本函数22def xt分布u*NW,2设x1, x2, xn为来自正态总体 N(,)的一个样本，则样本函数def xLt( n 1), s/P n其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。2分布2设x1, x2, ,xn为来自正态总体 N(,)的一个样本，则样本函数w=2氏2(n 1),F分布2设X1, X2, Xn为来自正态总体 N( , 1 )的一个样本，而2N (,2 )的一个样本，则样本函数defF lHF(n1其中Si21n1厂以X)2S；F (n-i 1,门2 1)表示第一自由度为nj1，第二自由度为yi, y2,1, n2,yn为来自正态总体

35、1),n2(Viy)2;i 1n 21的F分布。(3)正态总 体下分布的 性质 2X与S独立。1第七章参数估计(1)点估计矩估计设总体X的分布中包含有未知数1, 2, m，则其分布函数可以表成 F(x;1,2, m).它的k阶原k1,2, m，即 Vk Vk(点矩Vk E(X )(k 1,2, ,m)中也包含了未知参数又设X1, X2 , Xn为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为1 nI k Xi (k 1,2,m).II i 1这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有V1( 1 ,m)Xi,V2(m)2Xi ,Vm(m)由上面的m个方程中，解出

36、的 m个未知参数1,2, m)即为参数(1 , 2, m)的矩估计量。若 为 的矩估计，g(X)为连续函数，则g( ?)为g()的矩估计。极大似然估计当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为数。又设X1 , X2 , xn为总体的一个样本，称L(为样本的似然函数，简记为 Ln.当总体X为离型随机变量时，设其分布律为L(X1,X2 , , Xn； 1, 2,为样本的似然函数。f (x； 1,2,nf (Xi；i 1PXm)若似然函数 L(X1,X2 , Xn; 1,2 , m)在 1,分别为1,2,m)，其中m)P(X； 1 ,2 ,P( Xi；1,2,m处取到最大值,m的最大似然估计值，相应

37、的统计量称为最大似然估计量。In Lnm为未知参m)，则称m)0,i1,2, ,m若 为 的极大似然估计，g(x)为单调函数，则g ( ?)为g()的极大似然估计。(2)估计量的无偏性(x1,x2, Xn)为未知参数 的估计量。若E ()=，则称 为 的无偏估计量。评选标 准E( X)=E( X)，E( S2)=D( X)有效性设 11(x1 , x,2 ,xn)和 22(X1, X,2,xn)是未知参数 的两个无偏估计量。若一致性D ( 1 ) D ( 2)，则称1比2有效。设n是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有limnP(l n | ) 0,则称 n为的一致估计量(或相合估计量)若为的无偏估计，且D( ?)0(n),则为的一致估计。只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。(3)区间估计置信区间 和置信度设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本X1 ,x,2 ,Xn出发，找出两个统计量1 1 (x1 , x, 2 ,Xn)与 22(X1,X,2 ,Xn)(12)，使得区间【1,2以1 (01)的概率包含这个待估参数，即P 12 1那么称区间【1,2】为 的置信区间，1 为该区间的置信度(或置信水平)区间估计单正态总体的期望和方差的2 2设X1,X,2, ,Xn为总体X N(,)的一个样本，在置信度为