电磁感应中的动力学和能量问题(教师版)

1、专题电磁感应中的动力学和能量问题一、电磁感应中的动力学问题1. 电磁感应与动力学、运动学结合的动态分析，分析方法是：导体受力运动产生感应电动势7感应电流7通电导线受安培力7合外力变化7加速度 变化7速度变化7感应电动势变化7周而复始地循环，直至达到稳定状态.2. 分析动力学问题的步骤(1) 用电磁感应定律和楞次定律、右手定则确定感应电动势的大小和方向.(2) 应用闭合电路欧姆定律求出电路中感应电流的大小.(3) 分析研究导体受力情况，特别要注意安培力方向的确定.(4) 列出动力学方程或平衡方程求解.3. 两种状态处理(1) 导体处于平衡态一一静止或匀速直线运动状态.处理方法：根据平衡条件一一合

2、外力等于零，列式分析.(2) 导体处于非平衡态一一加速度不为零.处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析.二、电磁感应中的能量问题1. 电磁感应过程的实质是不同形式的能量转化的过程.电磁感应过程中产生的感应电 流在磁场中必定受到安培力作用，因此要维持感应电流存在，必须有“外力”克服安培力做功.此过程中，其他形式的能转化为电能，“外力”克服安培力做多少功，就有多少其他形式的能转化为电能；当感应电流通过用电器时，电能又转化为其他形式的能.可以简化为下列形式：I其他形式的能 女口：机械能 女培力做负功电能71其他形式的能女口：内能I同理，安培力做功的过程，是电能转化为其他形式的能的过

3、程，安培力做多少功就有多少电能转化为其他形式的能.2. 电能求解的思路主要有三种(1) 利用克服安培力做功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功；(2) 利用能量守恒求解：机械能的减少量等于产生的电能；(3) 利用电路特征求解：通过电路中所产生的电能来计算.例1如图所示，MN、PQ为足够长的平行金属导轨，间距L = 0.50 m,导轨平面与水平面且与导轨接 尸0.50,当金属棒滑行至cd处时，其速度大小 s= 2.0 m.已知 g= 10 m/s2, sin 37 = 0.60, cos 37间夹角0= 37°, N、Q间连接一个电阻 R= 5.0 Q,匀强磁场垂直于导轨平

4、面向上，磁感应强 度B= 1.0 T.将一根质量为 m= 0.050 kg的金属棒放在导轨的ab位置，金属棒及导轨的电阻不计.现由静止释放金属棒，金属棒沿导轨向下运动过程中始终与导轨垂直，触良好.已知金属棒与导轨间的动摩擦因数 开始保持不变，位置cd与ab之间的距离=0.80.求：Q(1) 金属棒沿导轨开始下滑时的加速度大小；(2) 金属棒到达cd处的速度大小；电阻R产生的热量.a,贝y金属棒由位置ab运动到cd的过程中，解析(1)设金属棒开始下滑时的加速度大小为mgsin 0卩 mgos 0= maa = 2.0 m/s2设金属棒到达cd位置时速度大小为 v、电流为I，金属棒受力平衡，有 m

5、gsin 0= BIL + BLvmgos 0 I = R 解得 v = 2.0 m/s(3) 设金属棒从ab运动到cd的过程中，电阻 R上产生的热量为 Q,由能量守恒，1有 mgssin 0= mv2 + i mgcos 0+ Q 解得 Q = 0.10 J突破训练1如图所示，相距为 L的两条足够长的平行金属导轨，与水平面的夹角为0,导轨上固定有质量为 m、电阻为R的两根相同的导体棒，导体棒MN上方轨道粗糙、下方轨道光滑，整个空间存在垂直于导轨平面的匀强磁场, 放后，观察到导体棒 MN下滑而EF保持静止, 擦力刚好达到最大静摩擦力，下列叙述正确的是,、+宀、,2mgRsin 0 MN的最大速

6、度为一磁感应强度为B.将两根导体棒同时释当MN下滑速度最大时，EF)A .导体棒B 导体棒C.导体棒D .导体棒B2L2ef与轨道之间的最大静摩擦力为MN受到的最大安培力为 mgsin 0m2g2Rsin20MN所受重力的最大功率为 m g0mgs in 0B2L2与轨道间的摩回路中的电流答案 AC解析 由题意可知，导体棒 MN切割磁感线，产生的感应电动势为Eb2| 2I = 2R, MN受到的安培力F = BIL = 一才，故MN沿斜面做加速度减小的加速运动，当MN受到的安培力大小等于其重力沿轨道方向的分力时，速度达到最大值，此后E= BLv,MN做匀速运 动.故导体棒 MN受到的最大安培力

7、为 mgsin 0,导体棒MN的最大速度为警殼 0，选项 A、C正确.由于当 MN下滑速度最大时，EF与轨道间的摩擦力刚好达到最大静摩擦力， 由力的平衡知识可知 EF与轨道之间的最大静摩擦力为2mgsin 0, B错误.由P= Gvsin 0可知导体棒MN所受重力的最大功率为 2m%R严0, D错误.B2L2例2如图所示，在倾角0= 37°勺光滑斜面上存在一垂直斜面向上的匀强磁场区域MNPQ ,磁感应强度B的大小为5 T，磁场宽度d= 0.55 m,有一边长L = 0.4 m、质量m1= 0.6 kg、 电阻R= 2 Q的正方形均匀导体线框abed通过一轻质细线跨过光滑的定滑轮与一质

8、量为m2=0.4 kg的物体相连，物体与水平面间的动摩擦因数尸0.4,将线框从图示位置由静止释放，物体到定滑轮的距离足够长.(取g = 10 m/s2, sin 37 = 0.6, cos 37 = 0.8)求：(1)线框abed还未进入磁场的运动过程中，细线中的拉力为多少？ 当ab边刚进入磁场时，线框恰好做匀速直线运动，求线框刚释放时 界的距离x多大？(3)在(2)问中的条件下，若 cd边恰离开磁场边界程中ab边产生的热量为多少？ab边距磁场MN边PQ时，速度大小为 2 m/s，求整个运动过m2沿水平面向左加速，属连审题指导1.线框abed未进入磁场时，线框沿斜面向下加速，接体问题.2. a

9、b边刚进入磁场时做匀速直线运动，可利用平衡条件求速度.3线框从开始运动到离开磁场的过程中，线框和物体组成的系统减少的机械能转化为线框 的焦耳热.解析 (1)m1、m2运动过程中，以整体法有m1gsin 0- m2g= (m1 + m2)aa= 2 m/s2以m2为研究对象有 Ft mg = m2a(或以m1为研究对象有 m1gsin 0- Ft = m1a)Ft = 2.4 N(2)线框进入磁场恰好做匀速直线运动，以整体法有B2L2v C，m1gsin 0- jimg r = 0 v = 1 m/sab到MN前线框做匀加速运动，有v2= 2axx= 0.25 m(3) 线框从开始运动到cd边恰

10、离开磁场边界 PQ时：1 1m1gsin 0(x+d+ L)- amg(x + d+ L) = 2(m1 + m2)v2 + Q 解得：Q= 0.4 J 所以 Qab=Q= 0.1突破训练2如图所示，平行金属导轨与水平面间的倾角为 的定值电阻相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面，磁感应强度为 体棒从ab位置获得平行于斜面、大小为v的初速度向上运动，最远到达的距离为S,导体棒的电阻也为 R,与导轨之间的动摩擦因数为卩则B2I2vA.上滑过程中导体棒受到的最大安培力为1B .上滑过程中电流做功发出的热量为2mv2 mgs(sin 0+ qos 0)1C.上滑过程中导体棒克服安培力做的功为2mv21D .

11、上滑过程中导体棒损失的机械能为2mv2 mgssin 0答案 BD0导轨电阻不计，与阻值为RB.有一质量为m、长为I的导 a' b'位置，滑行( )B2|2vFm= Bll=飞丁, A选项错误.由能量守恒定 2R律可知：导体棒动能减少的数值应该等于导体棒重力势能的增加量以及克服安培力做功产生1的电热和克服摩擦阻力做功产生的内能，其公式表示为：mv2 = mgssin 0+卩mgsos 0+ Q电热,解析导体棒刚开始运动时所受安培力最大,1则有：Q电热=尹v2 (mgssin 0+卩mgsos 0，即为导体棒克服安培力做的功.导体棒损失的机械能即为克服安培力做功和克服摩擦阻力做功

12、的和,1W损失=-mv2 mgssin 0故 B、D 正确.例3如图所示，足够长的金属导轨 轨与定值电阻Ri和R2相连，且 场垂直导轨平面向上，有一质量为 它与导轨粗糙接触且始终接触良好.MN、PQ平行放置，间距为 L,与水平面成 0角，导R1= R2= R, R1支路串联开关 S,原来S闭合.匀强磁 m、有效电阻也为 R的导体棒ab与导轨垂直放置， 现将导体棒ab从静止释放，沿导轨下滑，当导体棒运动达到稳定状态时速率为v，此时整个电路消耗的电功率为重力功率的3.已知重力4加速度为g，导轨电阻不计,求:fitQ(1)匀强磁场的磁感应强度B的大小和达到稳定状态后导体棒 ab中的电流强度I; 如果

13、导体棒ab从静止释放沿导轨下滑 x距离后达到稳定状态，这一过程回路中产生 的电热是多少？(3)导体棒ab达到稳定状态后，断开开关S,从这时开始导体棒 ab下滑一段距离后， 通 过导体棒ab横截面的电荷量为q，求这段距离是多少？3解析(1)回路中的总电阻为：R总=|r当导体棒ab以速度v匀速下滑时棒中的感应电动势为：E= BLv此时棒中的感应电流为：1=旦此时回路的总电功率为: 此时重力的功率为：R总P电=I2R总P 重=mgvsin 03l, “Fp , 一 /mgvsin 0根据题给条件有：P电=4P重，解得：1= Y 2R3/mgRsin 014mgvs in 0B-2L V 2v(2)设

14、导体棒ab与导轨间的滑动摩擦力大小为Ff,根据能量守恒定律可知:1=Ffv解得：Ff = 4mgs in 0导体棒ab减少的重力势能等于增加的动能、回路中产生的焦耳热以及克服摩擦力做功1的和 mgsin 0x= mv2 + Q + Ff x31解得： Q = mgsin 0x gmv2(3)S断开后，回路中的总电阻为：R总=2R设这一过程经历的时间为At,这一过程回路中的平均感应电动势为T ,通过导体棒ab的平均感应电流为I，导体棒ab下滑的距离为S,则:E =空 BLsAtT EBLsI =At'R总'2RA得：q= I解得：A詈乜盘半巩固练习16)如图所示，足够长的平行金属

15、导轨倾斜放置, 其上端接一小灯泡，电阻为1At=驚2R1. (2013 安徽 电阻忽略不计， 接入电路的电阻为1 Q,两端与导轨接触良好， 着垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为 时间后，小灯泡稳定发光，此后导体棒 力加速度 g 取 10 m/s2, sin 37 = 0.6)A . 2.5 m/s 1 WC. 7.5 m/s 9 WMN37 °宽度为0.5 m ,Q 一导体棒MN垂直导轨放置，质量为0.2 kg , 与导轨间的动摩擦因数为0.5.在导轨间存在0.8 T.将导体棒MN由静止释放，运动一段的运动速度以及小灯泡消耗的电功率分别为(重( )B. 5 m/s 1 WD. 1

16、5 m/s 9 W倾角为解析 导体棒MN匀速下滑时受力如图所示，由平衡条件可得F 安+mgos 37 = mgsin 37，所以 F 安=mg(sin 37 pcos 37 )°= 0.4 N , F安F 安=BIL 得 I =二；-=1 A,所以 E = I(R 灯+ Rmn)= 2 V,BL导体棒的运动速度v=手=5 m/s,小灯泡消耗的电功率为P灯=|2rBLW .正确选项为2.如图甲所示, =2 Q的电阻， 阻不计的金属杆B.电阻不计且间距L = 1 m的光滑平行金属导轨竖直放置，上端接一阻值R虚线00 '下方有垂直于导轨平面向里的匀强磁场，现将质量m= 0.1 kg

17、、电ab从00 '上方某处由静止释放，金属杆在下落的过程中与导轨保持良好接触且始终水平.已知杆ab进入磁场时的速度 V0= 1 m/s，下落0.3 m的过程中加速度a与下落距离h的关系图象如图乙所示，g取10 m/s2，贝U()ftA匀强磁场的磁感应强度为B 杆ab下落0.3 m时金属杆的速度为C.杆ab下落0.3 m的过程中R上产生的热量为D .杆ab下落0.3 m的过程中通过 R的电荷量为B2L2v0R解析 在杆ab刚进入磁场时，有1 m/s0.2 J0.25 Cmg = ma,由题图乙知，a的大小为10 m/s2,m y )BH10U-Ifl乙B2l2v /解得B = 2 T,

18、A错误.杆ab下落0.3 m时杆做匀速运动，则有-=mg，解得v'R=0.5 m/s，选项B错误在杆ab下落0.3 m的过程，根据能量守恒，R上产生的热量1 A B S为 Q = mgh mv' 2 = 0.287 5 J,选项 C错误.通过 R 的电荷量 q = ¥= B= 0.25 C.选2 R R项D正确.3. 在如图所示倾角为0的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小均为B的匀强磁场，区域I的磁场方向垂直斜面向上，区域n的磁场方向垂直斜面向下，磁场的宽度均为 L.一质量为m、电阻为R、边长为2的正方形导体线圈，在沿平行斜面向下的拉力用下由静止开始沿斜面下滑，当a

19、b边刚越过GH进入磁场I时，恰好做匀速直线运动，下列说法中正确的有（重力加速度为g）（）A 从线圈的ab边刚进入磁场I到线圈de边刚要离开磁场n的过程中，线圈ab边中产生的感应电流先沿bfa方向再沿a7b方向B 线圈进入磁场I过程和离开磁场n过程所受安培力方向都平行斜面向上C.线圈ab边刚进入磁场I时的速度大小为4R mgs in 0+ FB2L2D .线圈进入磁场I做匀速运动的过程中，拉力F所做的功等于线圈克服安培力所做的功答案 BC解析 由右手定则可知线圈的ab边刚进入磁场I和线圈的dc边刚要离开磁场n时，线圈ab边中的感应电流方向均为bf a,线圈经过JP时感应电流的方向为 af b,

20、A错误.由楞次定律可判断出感应电流所受磁场的安培力阻碍线圈的切割磁感线运动，B正确.线圈ab边刚进入磁场I时，受到的安培力F安=B|2=，由共点力的平衡知识可知F安=mgsin 0+ F，联立可得线圈ab边刚进入磁场I时的速度大小为4RmgSi：2 0+ F , C正确.线圈进入 磁场I做匀速运动的过程中，合外力做的功为0，即拉力F和重力沿斜面方向的分力所做的D错误.课后练习功等于线圈克服安培力所做的功，?题组1电磁感应中的动力学问题U形导线框abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面ab的一根导体杆，它可以在ab、cd上无摩擦地滑动.杆ef 一个向右的初速度，则（）bI K X1. 如图所示

21、，在一匀强磁场中有一 垂直，R为一定值电阻，ef为垂直于ef及线框中导线的电阻都可不计开始时，给A . ef将减速向右运动，但不是匀减速B . ef将匀减速向右运动，最后停止C. ef将匀速向右运动D . ef将做往返运动答案 ABlv b2|2v解析 杆ef向右运动，所受安培力F = BII = BIBJ = ，方向向左，故杆ef做减速运动; R Rv减小，F减小，杆做加速度逐渐减小的减速运动，A正确.2. 一个刚性矩形铜制线圈从高处自由下落，进入一水平的匀强磁场区域，然后穿出磁场区域 继续下落，如图所示，则（）则离开磁场过程也是匀速运动 则离开磁场过程也是加速运动 则离开磁场过程也是减速运

22、动 则离开磁场过程是加速运动A .若线圈进入磁场过程是匀速运动， B .若线圈进入磁场过程是加速运动， C.若线圈进入磁场过程是减速运动，D .若线圈进入磁场过程是减速运动， 答案 C解析 从线框全部进入磁场至线框开始离开磁场，线框做加速度为g的匀加速运动，可知线圈离开磁场过程中受的安培力大于进入磁场时受的安培力，故只有C项正确.3在伦敦奥运会上，100 m赛跑跑道两侧设有跟踪仪，其原理如图甲所示，水平面上两根 足够长的金属导轨平行固定放置，间距为L = 0.5 m，一端通过导线与阻值为R= 0.5 Q的电阻连接.导轨上放一质量为m= 0.5 kg的金属杆，金属杆与导轨的电阻忽略不计.匀强磁场

23、当改变拉力的大小时，v和F的关系如图)Ji甲/12K4n2 4 6 K 10 12 /7N 乙方向竖直向下.用与导轨平行的拉力 F作用在金属杆上，使杆运动. 相对应的速度v也会变化，从而使跟踪仪始终与运动员保持一致已知 乙.(取重力加速度 g = 10 m/s2)则(A错；图线在横轴的截距是 金属杆将要运动，此时阻力一一最大静摩擦力等于该拉力，也等于运动BLvB2L2vC对；由F BIL 3 mg= 0及I = 可得：F 卩mg= 0,从题图 RRF、v数据代入上式即可求得 B = 1 T, = 0.4，所以选项B、D对.e,斜面上放置一矩形导体线框abcd, ab边的边长为11, bc相连，

24、重物质量为 M.斜面上ef线(ef平行底边)的右方有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应 强度为B,如果线框从静止开始运动，进入磁场的最初一段时间是做匀速运动的，且线框的 ab边始终平行于底边，则下列说法正确的是()A .线框进入磁场前运动的加速度为Mg mgsi n eB .线框进入磁场时匀速运动的速度为mMg mgsin e RBliB2I2C.线框做匀速运动的总时间为Mg mgRsin eD .该匀速运动过程产生的焦耳热为(Mg mgsin駅2答案 D解析 由牛顿第二定律，Mg mgsin e= (M + m)a，解得线框进入磁场前运动的加速度为Mg -mgsin e, A 错误.由平衡条件，

25、 Mg mgsin e F 安=0, F 安=BII1, I = £, E= Blw，联 M + mRA .金属杆受到的拉力与速度成正比B .该磁场的磁感应强度为1 TC.图线在横轴的截距表示金属杆与导轨间的阻力大小D 导轨与金属杆之间的动摩擦因数尸0.4答案 BCD解析 由题图乙可知拉力与速度是一次函数，但不成正比，故 速度为零时的拉力， 时的滑动摩擦力，乙上分别读出两组4. 如图所示，光滑斜面的倾角为边的边长为12,线框的质量为 m,电阻为R,线框通过绝缘细线绕过光滑的定滑轮与一重物立解得线框进入磁场时匀速运动的速度为v =Mg - mgsin eR, B错误.线框做匀速运动的B

26、2l2l2Iob Ill 2总时间为t=-=3,C错误.由能量守恒定律，该匀速运动过程产生的焦耳热v Mg mgsin e R等于系统重力势能的减小，为 (Mg mgsin e)", D正确.?题组2 电磁感应中的能量问题5.一质量为m、电阻为r的金属杆ab,以初速度vo从一对光滑的平行金属导轨底 端向上滑行，导轨平面与水平面成 30°角，两导轨上端用一电阻 R相连，如图所示， 磁场垂直斜面向上， 导轨的电阻不计， 金属杆向上滑行到某一高度之后又返回到底端时的速度大小为 V,则A .向上滑行的时间小于向下滑行的时间R上产生的热量R的电荷量相等1 2 2 2m(V0 V )D

27、 .金属杆从开始上滑至返回出发点的过程中，电阻答案 ABC解析金属杆沿斜面向上运动时安培力沿斜面向下，所以上滑过程的加速度大于下滑过程的加速度，因此向上滑行的时间小于向下滑行的时间，R上产生的热量为沿斜面向下运动时安培力沿斜面向上,B .向上滑行的过程中电阻 R上产生的热量大于向下滑行的过程中电阻 C.向上滑行的过程中与向下滑行的过程中通过电阻B的匀强磁场，区L，一 ab边JP 与 MNMN 与 JP 安培力对()A .在下滑过程中，由于重力做正功，所以有B .从ab边越过C.从ab边越过能D .从ab边越过GH到到达GH到到达V2>V1MN与JP的中间位置的过程中，线框的机械能守恒MN

28、与JP的中间位置的过程中， 有W1 AEk的机械能转化为电GH到到达=W1 W2答案 CD解析 ab边越过JP后回路感应电动势增大，感应电流增大，因此所受安培力增大，安培力 阻碍线框下滑，因此 ab边越过JP后开始做减速运动，使感应电动势和感应电流均减小， 安培力减小，当安培力减小到与重力沿斜面向下的分力mgsin 0相等时，以速度V2做匀速运动，因此V2<v1，A错；由于有安培力做功，线框机械能不守恒，B错；线框克服安培力做功，将机械能转化为电能，克服安培力做了多少功，就有多少机械能转化为电能，由动能定理得 W1 W2= AEk，W2= W1 AEk，故 c、D 正确.7如图所示，足够

29、长的粗糙绝缘斜面与水平面成0= 37°角，在斜面上虚线 aa'和bb与斜面底边平行，在 aa、b b围成的区域有垂直斜面向上的有界匀强磁场，磁感应强度为B= 1 T;现有一质量为 m= 10 g、总电阻为R= 1 Q、边长为d= 0.1 m的正方形金属线圈 MNPQ， 让PQ边与斜面底边平行，从斜面上端静止释放，线圈刚好匀速穿过磁场已知线圈与斜面 间的动摩擦因数为 尸0.5，(取g= 10 m/s2，MN与JP的中间位置的过程中，线框动能的变化量大小sin 37 = 0.6, cos 37 = 0.8)求:AEkA对；向上滑行过程的平均速度大，感应电流大，安培力做的功多，R上

30、产生的热量多，B对；由q = 尹知C对；由能量守恒定律知回路中产生的总热量为1m(v0 V2)，D错.R+ r26.在如图所示的倾角为 0的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小为域I的磁场方向垂直斜面向上，区域n的磁场方向垂直斜面向下，磁场的宽度均为个质量为m、电阻为R、边长也为L的正方形导线框，由静止开始沿斜面下滑，当 刚越过GH进入磁场I区时，恰好以速度 V1做匀速直线运动；当 ab边下滑到 的中间位置时，线框又恰好以速度 V2做匀速直线运动，从ab边越过GH到到达 的中间位置的过程中，线框的动能变化量为AEk，重力对线框做功大小为 W1，线框做功大小为 W2,下列说法中正确的有线圈进入磁场区域时，受到的安培力大小;(2)线圈释放时，PQ边到bb的距离；mgos = mgsin 0代入数据得：F 安=2 X 102 nB2d2v解得：F安=代入数据得：v = 2 m/sa= gsin 0- i gos 0= 2 m/s22(3)整个线圈穿过磁