泰勒公式及其妙用

1、泰勒公式及其妙丿学号:姓名班级:1公式形式泰勒公式可以用（无限或者有限）若干项连加式来表示一个函数，这些相加的项由 函数在某一点（或者加上在临近的一个点的 n+1次导数）的导数求得对于正整数n， 若函数/W在闭区间町上tt阶连续可导，且在 他切上斤+L阶可导。任取一x=a,b是一定点，则对任意 E训成立下式：er普+讐弓诃+恥）其中尸司k）表示f to的n阶导数，多项式称为函数f（X在a处的泰勒展开式,剩余的R©是泰勒公式的余项，是 &一理的高阶无穷小。2公式的余项R和W可以写成以下几种不同的形式:1、佩亚诺（Peano）余项：Rn（JC）= D（X-Cn这里n阶导数存在2、

2、施勒米尔希-罗什（Schlomilch-Roche ）余项:nipRg二严+W + 0（X -码卩严Z尹1其中 0（ 0,1 ）。3、拉格朗日（Lagrange）余项：JU刈="W （" 9 a - 朗:二:其中 0（ 0,1 ）。4、柯西（Cauchy）余项：fl!RjM=f 时口 依+0（X-外卩A 旷'其中 0（ 0,1 ）。5、积分余项：（-ir ""恥）二陀-（Tf叫M以上诸多余项事实上很多是等价的。3公式推广1麦克劳林展开3!函数的麦克劳林展开指上面泰勒公式中 a取0的情况，即是泰勒公式的特 殊形式，若/W在 x=0处n阶连续可导，则

3、下式成立：其中尸叫©表示fk的n阶导数。2泰勒中值定理若f何在包含刊的某开区间（a, b）内具有直到n+1阶的导数，则当x（a，b）时，有：f （刘=f （切+斗許仗-丸+f ；严）（上-址）2+ +，H严 （上-扯"+出（灯其中儿I 是n阶泰勒公式的拉格朗日余项:恥=严3）（"®严(»+!(xo,x)4公式应用实际应用中，泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级 数叫做泰勒展开式。泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。 泰勒展开式 的重要性体现在以下三个方面：1幕级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。2 个

4、解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并 使得复分析这种手法可行。3泰勒级数可以用来近似计算函数的值。在这里着重介绍泰勒公式在求极限中的应用，以下为常用函数的泰勒展开式。兀兀"C< = I 4- A- + 一 + + + 0(兀")2!川v'“/&-!Sin JC = A- 一 1-亠 + ( I )*'b £?(広工斗3!5!(2>t l>r了 4袖COSX = 1+ ( I )k1- >( "2*)2!4!<2A)!1 +.V】一文+掘立+(-lyii|1(十 _V ) =

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