极限的求法与技巧

1、姓名：印溪极限的求法与技巧学号：B09060503函数极限的计算是数学分析的基础，那么如何根据表达式求出极限值呢?对于这一问题只能针对小同体型采取相应的求法。下面概括了常用的若干求极限的方法，更多方法，有赖于人们去总结和发现。1.运用极限的定义例:用极限定义证明lim x2 3x 21x 2x23x则当0由函数极限3x定义有：3x2.利用等价无穷小替换 常用的等价无穷小关系:0,sin x x,tanarcsinarctan1 x,n1 1x1 2x,ex1 x,(1 x)lOga(1 7,x,l n(1x)x,等价无穷小代换法都是同一极限过程中的无穷小量，且有:lim存在,则 lim 也存在

2、，且有lim = lim1 2 例:求极限lim cosxx2 sin x2 2 sin x2x2,1 COS x/ 2,2(X )2. 21 cosxlim n-X 0 X sin X(X2)222 2X X注:在利用等价无穷小做代换时，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，3.利用极限的四则运算法则若 lim f (X)A lim g(x)X X0BX Xo(I)lim f(x)g(x)limf(x)lim g(x)A BX XXX0X X0(II)lim f (X)g(x)lim f(x)lim g(x)

3、 ABXXoXx。XX0(III)若B工0则：极限的四则运算法则叙述如下:f(x)Alimx xolim更x x0 g(x)lim g(x)x 、x0(IV)lim cx xof(x)c lim f (x)x X0cA(c为常数)上述性质对于x,x,x时也同样成立总的说来,就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。例：求limx 22x 3x 52 2x 3x 5 23 2 54、利用两个重要的极限。sin X d(A)lim1X 0 x但我们经常使用的是它们的变形:(B)lim(1 丄)X e X x(x)(A')limsin(X)(x)1,(x)0)(x)e,(例

4、：求下列函数极限x 4(1)、lim a_-X 0 xcosaxln、cosbx解：(1)令ax也卫于是ln aln(1 u)又当x 0时，ulim 丄1u 01n(1 u)In alimu 0 ln(1 u)limu 0ln(1ln a , ln auf101lim ln(1(cosax1)x 0 ln1(cos bx1)lim ln(1(cosax1)x 0cosax 1ln1(cosbx1)cosbx 1cosbx1limx 0 cosax1.2 a sin x(2)、原式cosaxcosbx 1_2_2si n2 Xlim2x0 2sin2bx2limx,a 、2(2x)0 . 2 b

5、 sin x 2_b 2(2x)/b、2(r)(|x)22b22a5、利用无穷小量与无穷大量的关系。(I )若：lim f(X)limf(x)(II)若：lim f (x)0f(x)limf(x)例：求下列极限5) lim x x 5 lim 1x由 ixm(x1)解：由lim(xxlim0x x 5lim 丄=x 1 x 16.变量替换例求极限分析当时,分子、分母都趋于,不能直接应用法则，注意到,故可作变量替换.解原式=,引进新的变量，将原来的关于的极的极限转化为限.)(型,最高次幂在分母上）7.分段函数的极限例设讨论在点处的极限是否存在.分析所给函数是分段函数，是分段点，要知解因为是否存在

6、，必须从极限存在的充要条件入手不存在.所以注1因为从的左边趋于,则注2因为从的右边趋于,则8利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）若f（X）在xx0处连续，则（ii）若f （X）是复合函数，又f（u）在u a处连续，则limX Xolim f(X)X Xolim (X)X Xof(f(X0)（X）flim (X) f(a)X X0(2)limX 0 X例：求下列函数的极限X厂, e cosx 5(1)、lim2X 01 X2ln(1 X)解：由于x 0属于初等函数f(x)X厂e COSX 5 1r的定义域之内。x2 ln(1 x)200 P有:故由函数的连续性定义XUf(0)e CO

7、SX 5lim2x 01 X ln(1 X)(2卜由ln(1 x)ln(11X)；(11x)x故有:limI x)x|xm0In(1In(lim (1x 01X)')Ine9、洛必达法则(适用于未定式极限) 定理：若(i) lim f (X) 0,lim g(x)u0(X0)内可导，且g'(x)X X0X X0(ii) f与g在x0的某空心邻域f (x)(iiQliml A(A可为实数，也可为 或)， x x。g (x)lim 出 lim 3 AX x0 g(x) x x0 g (x)此定理是对 0型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。0注：运用洛必达法则求极限应注意

8、以下几点：1、2、3、要注意条件，也就是说，在没有化为0, 时不可求导。0应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即 停止使用洛必达法则，否则会引起错误。4、当lim丄型 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。 x a g (X)例：求下列函数的极限x lim x 0 ln(1(12x)%x2)lim呼X x(a 0,x0)解：令f(x)=ex (12x/,g(x)= I n(1x2)(1 Zx)%, g'(x)严1 X2f"(2) eX

9、 (12x)%g(x)阳由于 f(0) f'(0)0,g(0) g'(0)0但 f (0)2,g(0)2从而运用洛必达法则两次后得到limeX (12X)'X 0ln(1 xlim ln xx12limxln XaXlimxXaxex (12x) %2x2Xlimaax故此例属于0(a00ex (12x)2(1 X2) (1 X )型,0,x由洛必达法则有:0) 2 Sin XX1 sinx2 =2limX 02cosx注：此法采用洛必达法则配合使用两个重要极限法。解法二：1 cosx222si n202lim 22X 0X sinX =lXm0x2sinx22.X s

10、in lim 22x 0 X2 2 Sin X2 X2Xsin2 122丄2注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。2x sin2X2X解法三：1 cosx21 cosx22xsin x2lim lim 2lim入x 0 X sin X x 0 X X X 0 4x注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及洛必达法则 解法四：. 21 cosxlim 7x 0 x sin X. 21 cos x limx 02X. 2 sin x/ 2 2(X ). 2 Sin x注：此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。解法五:x2 2 吋 lim 22x 0 x2

11、(x2)1 4x24x22 x.22 si n 1 cosx 2lim 2 lim 岂x 0 x2 sin x2x 0 x2 sin x2注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。解法六: 令u x2(k 1)n 21 cosx lim 7X 0 x sin X1 cosu limu 0 usin usin ucosulimu 0 cosu cosu u sinulimu 0 sin u u cosu1注：此解法利用变量代换法配合使用洛必达法则。解法七：2 21 cosxsin xlim lim 22x 0 x sin X x 0 x cosx sin xlimx1tg注:此解法利

12、用了洛必达法则配合使用两个重要极限。利用函数极限的存在性定理(夹逼准则)10、定理:设在X0的某空心邻域内恒有g(x) < f(x)< h(x)且有:ximg(x)lim h(x) Ax xq则极限 limx xof (x) 存在，且有limx xf(x)nlimxx(a>1,n>0)a时,存在唯一的正整数k,使< x< k+1于是当n>0时有:aknxx anXXakn1k! 1 ak a22!时,kJimklim(k 1)nkaJim(k1)naknaklimknk alimXnX =0a11、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，

13、以及用定义求极限等情形)O定理：函数极限limX Xqf(x)存在且等于A的充分必要条件是左极限lim f(x)及右极限lim f (x)都X X0X Xq存在且都等于A。即有:lim f (X)X Xqlim f (x) = limf(X)=A例：设f(x) =X02e X,x解:limX 0lim f(X)X 0Vx,0求 lim f(X)及 lim f (x)X 0x 1,X 1f (x) lim (1X 0X Jx、2e x)lim (丘 1)1X 0由 lim f (x)X 0lim f (x)X 0叽 f(x)又 lim f (x)X 1limX Qxlim (TX1)0X 1li

14、m f(x) limX 1X 1f(x)不存在由 f(1 0) f (1 limX 112、约去零因式(此法适用于 xx0时，号型)32冶 + . X X 16x20例： 求 lim 2X 2X3 7x216x 12解:原式=|imX33X：10X(2：26X20)X 2X35x26x(2x210x12)2(X 2)(X2 5x 6)Iim (X 2)(X 3x 10)X 2(x2 5x6)2= lim(x 3X 10)X 2= lim(X 5)(X 2)X 2(X 2)(X 3)13、通分法（适用于型）九）原式=02(2 X)(2 X)(2 X)(2 X)02 (2X)(2X）14、利用泰勒

15、公式对于求某些不定式的极限来说,应用泰勒公式比使用洛必达法则更为方便，下列为常用的展开式:1、2 X2!n Xn!o(Xn)2、sin X3 X3!5 X5!1)n2n 11 X/ 2no(x ) (2n1)!3、COSX2 X2!4 X4!1)n2no(x2n1) (2n)!4、ln(1X）1)nX / n O(X )n5、(1 X)以2(1)( n 1)Xn O(xn)n!6、xx* 2o(xn)上述展开式中的符号o(xn)都有:limOX)0)x 0例:求xm0 解:利用泰勒公式,o(x)于是= xm04a 1Timx 01 2x2（丁）o（x）x-o(x)a12需 xJa o(x)1x

16、 o(x) ,2Ja limx 0(i) f(ii) f则在(a ,b)内至少存在一点，使得15、利用拉格朗日中值定理定理:若函数f满足如下条件:在闭区间上连续在（a ,b）内可导f(b) f(a)此式变形可为：f(b)f (a)f (a(b a)(01)sin x exe例：求 lim x 0 x sin Xesinx f (x) f (sin X)I(X sin X)f (sinX (x sin x) (01) 即e*in X f (sin X X sin X（Xsin X)(01)f （X） ex连续IX叫 f (sinx（Xsin X)f'(0)X从而有：limX 0sin X

17、 eX sin X16、求代数函数的极限方法（1）有理式的情况，即若：R(x)竺Q(x)a0Xmb0Xnm 1a1xb1xambn(a。0, bo0)(I)当 X时,lim叫xb0Xna1xm 1 b1xn 1ambna0b。0若Q（X0）0则 limP(x)P (X0)x 0Q(x)Q(X0)若Q（X0）0而 P(x0)0则 lim P(X)x 0Q(x)若Q（X0）0 , P(x。)0,则分别考虑若即:P(x)(xX0）sP（X）也为Q（X） 0的r重根，即:Q(x) (XX0）rQ1（x）可得结论如下：0时有:(II)当 XX0为P（X）0的 s重根，lim(X)X X0 Q(x)lim

18、 (X X0)srp(x)X X0 , s rP1(X0)Q1(X0),s r,s r例：求下列函数的极限Qi(X)lim (2x 3)20(3x 2)30x(2x 1)50 lim X43x 2x 1 x4 4x 3解：分子,分母的最高次方相同，故limx3)20(3x 2)3O=222(2x1)5033050(l)30P(x) x33x2,P(1)4Q(x) x4x3,Q(1)P(x),Q(x)必含有(x-i）之因子，即有1的重根故有:(x 1)2(x 2)lim x43x2lim (x21)22(x 2) lim2x 2x 1 x44x3x 1(x 1)2(x22x3) x 1x2 2x3（2）无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述 这里我主要举例说明有理化的方法求极限。lim n(1.33.5(2n 1)(2 n 1)分析：由于(2n 1)(2 n 1)肘 1 2n 1例：求 lim (JxxJx仮）解：lim (JxJx仮 r仮）.xJxxlim ixpQxJxlim Jx111111xPxJx11Vli