数列通项公式的几种求法

1、数列通项公式的几种求法数列通项公式直接表述了数列的本质，是给出数列的一种重要方法。数列通项公式具 备两大功能，第一，可以通过数列通项公式求出数列中任意一项；第二，可以通过数列通 项公式判断一个数是否为数列的项以及是第几项等问题；因此，求数列通项公式是高中数 学中最为常见的题型之一，它既考察等价转换与化归的数学思想，又能反映学生对数列的 理解深度，具有一定的技巧性，是衡量考生数学素质的要素之一，因而经常渗透在高考和 数学竞赛中。本文分别介绍几种常见的数列通项的求法，以期能给读者一些启示。、常规数列的通项例1 :求下列数列的通项公式42-141(1)(2)22 12丄1X22 _3，1 32 13

2、152151，2 X3107 ，n2 1解：(1) an=n评注：认真观察所给数据的结构特征,1763 X4，26，11 ，an =(1) n_n2+ 1n (n+1)( 3) an=2n + 1找出an与n的对应关系，正确写出对应的表达式。二、等差、等比数列的通项直接利用通项公式 an=a1+ ( n 1) d和an=a1qn 1写通项，但先要根据条件寻求首项、 公差和公比。三、摆动数列的通项 例2 :写出数列1, 1, 1, 1,的一个通项公式。解：an= ( 1) n 1 变式1 :求数列0, 2, 0, 2, 0, 2，的一个通项公式。分析与解答：若每一项均减去1,数列相应变为1, 1

3、, 1, 1，故数列的通项公式为 an=1+ ( 1) n变式2:求数列3, 0, 3, 0, 3,0，的一个通项公式。分析与解答：若每一项均乘以2 3，数列相应变为2, 0, 2, 0,3n-1故数列的通项公式为an=2 1+ ( 1) n 1 4, 0, 4, 0,4n 1 =1+3 1+ ( 1) n 1 2, 2, 2, 2,变式3:求数列5, 1, 5, 1, 5, 1，的一个通项公式。 分析与解答1 :若每一项均减去1，数列相应变为2故数列的通项公式为 an=1+2 X 3 1+ ( 1) 分析与解答2 :若每一项均减去 3,数列相应变为 故数列的通项公式为 an=3+2 ( 1)

4、 n1四、循环数列的通项例3 :写出数列0.1，0.01，0.001，0.0001,的一个通项公式。1解:变式1:解:an=莎求数列0.5, 0.05, 0.005,的一个通项公式。5an=莎求数列0.9, 0.99, 0.999,的一个通项公式。0.1, 0.01 , 0.001 , 0.0001,的每一项对应相变式2 :分析与解答：此数列每一项分别与数列丄而0.7777,的一个通项公式。加得到的项全部都是 1，于是an=1 一变式3:求数列解：an= 9例4 :写出数列解：an=l00.777,0.7, 0.77,1(1而1, 10, 100, 1000,的一个通项公式。n 1变式1 :求

5、数列9, 99, 999，的一个通项公式。 分析与解答：此数列每一项都加上变式2:解:评注:1 就得到数列 10, 100, 1000, 故 an=10n 1。 写出数列 4, 44, 444, 4444的一个通项公式。4an= 9(10n 1)平日教与学的过程中务必要对基本的数列通项公式进行过关，这就需要提高课堂教与学的效率，多加总结、反思，注意联想与对比分析， 怕复杂数列的通项公式了。做到触类旁通，也就无需再害五、通过等差、等比数列求和来求通项 例5:求下列数列的通项公式(1) 0.7, 0.77, 0.777,(3) 12, 1212 , 121212，解：(1) an= 0.737 =

6、7 X 0.13 1 =7 Xn个 7n 个 133, 333, 3333，1+2, 1+2+3，0.0A 1)nj个0(2) 3,(4) 1 ,(0.1+0.01+0.001+ - +(2)(4)1 _ _=7 X( 10 +102 +103 + +1 110 口 -( 10)n7 丄10n ) =7 X1=9 (1 10n )1 10=3 X 上型=3( 10n 1)1 103(an=33勺 3=3 X 111=3 X( 1+10+100+ -+10n)n个3n个1an=121gA412=12 X( 1+100+10000+ -+100n 1)n个12n (n+1)an=1+2+3+n=2

7、=12x !一=41 10033(102n -1)评注：关键是根据数据的变化规律搞清楚第n项的数据特点。六、用累加法求 an=an 1+f ( n)型通项例 6: (1)数列an满足 a1=1 且 an=an-1+3n- 2 (n>2),求 an。, 、 1(2)数列an满足 a1=1 且 an=anT+27 (n>2),求 an。an=an 1+3n 2 知 an an 1=3n 2, 记 f (n) =3n 2= a n一 an 1an=(an an 1) + (an1 an-2)+ (an 2 an 3) + ( a2 a1) +a1(n) + f (n 1) + f (n

8、2) + f (2) + a1(3n 2) +3 (n 1) 2+ 3 (n 2) 2+ + (3 x 2 2) +1 (n 1) + (n 2) + +2 2 (n 1) +1(n+2)( n 1)3n2 nx 2n+3=21 1 、 1an=anT+2n 知 an an1=2n ，记 f (n) =2 = an an 1an= (an一an 1) + ( an1 一 an 2) + (an 2一 an3) +( a2一 a1) +a1(n) + f (n 1) + f (n 2) + f (2) + a 1丄丄丄 11 丄2* +2*-1 +2*-2 + +22 +1=2 2n评注：当f

9、(n) =d ( d为常数)时，数列an就是等差数列，教材对等差数列通项公 式的推导其实就是用累加法求出来的。解：(1)由 则=f=3n+=3(2)由则=f七、用累积法求an= f (n) an i型通项例7: (1)已知数列an满足a1=1且an=2 (n-1)an 1 (nA2),求an1 1(2)数列an满足 =2 且 an=p an1 ,an 2( n 1)，记f (an解：(1)由条件(n)an an- 1 an=a n 1a n 22 (n 1)a2a 1(n 2)ai=f (n)f (n 1) f (n 2)(2) f (2) a1an(2) an=了二an 1a n2a22 (

10、n 3) n-21 1* a1 = _ n _n 12 22X 231? 2X12 一 122n 1-1=nn (n+ 1)J +2+ n =22an= f (n) an-1型数列是等比=q (q为常数)，则an为等比数列，数列的一种推广，教材中对等比数列通项公式地推导其实正是用累积法推导出来的。评注：如果f (n)八、用待定系数法求 an=Aan-1+ B型数列通项 例8:数列an满足a1=1且an+1 + 2an=1，求其通项公式。解：由已知，an + 1 + 2an=1，即卩 an= 2 a n 1 + 11令 an+ x= 2 (an1 + x),贝U an= 2 a n 1 3x，于

11、是一 3x=1，故 x= 33故 a n 31 2/. an r = T33评注：一般地,1 2是公比q为一2,首项为an-=-的等比数列33(2)，匕型当 AM 1 时令 an + x=A ( an 1+ x)有 an=A an 1 +( A 1) x，则有(A 1)Ba1RBBx=B 知 x=A1，从而 an+ AB、公比为A的等比数列，故an+ A=A (an1+BBAry ),于是数列a卄戸是首项为B(a1+A1 ) An 1，从而BBan= (a1+A1 ) An1 A1 ;特别地，当 A=0时an为等差数列；当 Am 0, B=0时，数列 a n为等比数列。an。推广：对于an=A

12、 an 1 + f (n) ( Am 0且AC R)型数列通项公式也可以用待定系数法求 通项公式。例9:数列an满足a1=1且an=2an-1 +亍(n2),求解：令 an+ x 3?=2 (an+ x 右)贝U an=2an1+ 2x丄5 丄 丄 -3n=3 x 3n-1=5x 3n 点)科-xII11而由已知 an=2an 1 + ;故 5x=1，则 x=t。故 an+z ；7= 2 (an1+755351 1 16a1 + 5 3=15的等比数列。1 1 1n+31 、(2n+3 R)1 1从而an+ 5莎是公比为q=2、首项为于是 an+ 5 器豊 a1，则 an=S a1 5 3n=

13、15 (23n评注：一般情况，对条件 an=Aa- 1+f (n)而言，可设 an+g (n) =Aan 1+g则有Ag (n 1) g (n) =f (n),从而只要求出函数 g (n)就可使数列 an+g ( n) 为等 比数列，再利用等比数列通项公式求出 an。值得注意的是an+g (n)与an1+g (n1)中的 对应关系。特别地，当 f (n) =B( B为常数)时，就是前面叙述的例这种做法能否进一步推广呢？对于 通项公式呢？我们姑且类比做点尝试：令 an+k (n) =f (n) an =f (n) an1+f (n) k (n 1) k (n),从而 f 上讲，通过这个等式 k

14、(n)可以确定出来， 请看下题：(n1),an=f (n)8型。an-1+g (n)型数列可否用待定系数法求a n 1+k ( n 1)，展开得到(n) k (n 1) k (n) = g ( n),理论 但实际操作上，k ( n)未必能轻易确定出来，数列an满足 a1=1 且 an=2nan宀二1!,在这种做法下得到2話(n 1) k (n)= 法轻易地求出k (n)来。求其通项公式。1n+7，显然，目前我们用高中数学知识还无九、通过S求an例 10：数列a n满足 an =5Sn 3，求 an。3 a1=5an 3, a1=：。由于4n-1 =5 S n-1 3an an-1 =5 ( S

15、n Sn-1 )1故an= 4 a n-1，则an是公比为q= 4、首项评注：递推关系中含有 S,通常是用Sn和an的关系an=S S1 (nA2)来求通项公式, 具体来说有两类：一是通过an=Sn Sn- 1将递推关系揭示的前 n项和与通项的关系转化为项解：令n=1，有则 a一得到1an =5S n 3 an an 1 =5a n3 31an的等比数列，贝y an于(一-)n-14 44与项的关系，再根据新的递推关系求出通项公式；二是通过an=S-Sn - 1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为前 n项和与前n1项和的关系，再根据新的递推关系求出 通项公式十、取倒数转化为等差数列例11

16、：已知数列an满足口2an土a1=1 且 an+1=a+2，求an+21 1=-+2an2 an1 1an+1” 丄2an亠解：由 an+1=an+2 有1所以，数列- 是首项为11n+1则an =1+ (n 1) 2 2-an。刚111即一一 =oan+1an 2,1=1、公差为d=1的等差数列a12从而an=nl1a1评注：注意观察和分析题目条件的结构特点，对所给的递推关系式进行变形，使与所 求数列相关的数列(本例中数列£)是等差或等比数列后，只需解方程就能求出通项公 式了。卜一、构造函数模型转化为等比数列例 12：已知数列an满足 a1=3 且 an+1= ( an 1) 2+

17、1，求 an。解：由条件 an+1= ( an 1) 2+1 得 an+1 1= (an 1) 2两边取对数有Ig(an+1 1)故数列 Ig (an 1) 所以， 贝U an 1 = 22是首项为Ig (an 1)=lg (an 1) 2) =2lg (an 1) 即lg (an+ =2Ig (an 1)Ig (a1 1) =Ig2、公比为2的等比数列 =Ig2 2n 1=Ig 22"丄r)n丄 即 an=22+1评注：通过构造对数函数达到降次的目的，使原来的递推关系转化为等比数列进行求。十二、数学归纳法4 例13：数列an满足a1=4且an=4 an1解：通过递推关系求出数列前几

18、项如下4232=4 =3=2+7a12412a5=4_ =三a452a1=4=2+ 14 5294=4 =- =2+7a3 24C2an=2+ n2 显然，当 n=1 时，a1=4=2+1猜想：通项公式为(nA 2),求 an。48a3=4 -=-a2324=2+-a6=4 75a5。下用归纳法给出证明，等式成立=2+1 电=2+2假设当n=k时，等式成立，即则当 n=k+1 时，ak+1=4-a2ak=2+k=42 =4 k+1 =2+2 k+1 =2+k+12+k2由归纳法原理知，对一切 n 2都有an=2+n。评注：先根据递推关系求出前几项，观察数据特点，猜想、归纳出通项公式，再用数 学

19、归纳法给出证明。十三、综合应用例14：已知各项为正的数列an满足ai=1且an2=an-12+2 (n>2),求an。 解：由 an2=an-i2+2 知 a； an-12=2则数列an2是公差为2、首项为a12=1的等差数列。故an2=1+2 (n 1) =2n 1即 an2n 1例 15：数列an满足 a1 =a2=5 且 an+1=an+6an-1 ( n2),求 an。解：设 an+1+ Aan= 1 (an+ Xan 1),贝U an+1= (1入)an+ 1 入& 1岸-A=1岸=34 =-2而 an+i=an+6an-1则J解得J 或J=6I几=2 1几=-3an+1+2an =3 an+2an-1则数列an+2an-1是公比为3、首项为a2+2a1=15的