随机过程答案

1、2012-2013 学年第一学期统计10 本随机过程期中考试一.填空题1设马氏链的一步转移概率矩阵P( pij ) ， n 步转移矩阵P( pij (n) ) ，二者之间的关系为P(n)Pn2. 状态 i 常返的充要条件为piin。n 03. 在马氏链Xn ,n 0 中，记pi j ( n)= P Xm j ,1 m n 1, X n j X 0 i ， n 1.pi j =pi j n , 若 pi j <1, 称状态 i 为。n 1二 . 判断题1.S是一个可数集，n : n0是取值于 S的一列随机变量，若n1,i 0 ,.i n 1S, 并且满足 P(n 1i n 1X nin ,

2、 X 0 i 0 ., X n 1i n 1 ) P n 1in 1i n 1n 1，则 n : n0 是一个马氏链。×2.任意状态都与它最终到达的状态是互通的，但不与它自己是互通的。×3.一维与二维简单随机游动时常返的，则三维或更高维的简单随机游动也是常返的。×4.若状态 i状态 j ，则 i 与 j具有相同的周期。5.一个有限马尔科夫链中不可能所有的状态都是暂态。三.简答题1什么是随机过程，随机序列答：设 T 为 0 ，+）或（ -，+），依赖于 t(tT) 的一族随机变量（或随机向量） t 通称为随机过程， t 称为时间。当 T 为整数集或正整数集时，则一般

3、称为随机序列。2 . 什么是时齐的独立增量过程答：称随机过程 t ：t0 为独立增量过程，如果对于n,0t0t1Ltn , 起始随机变量及其后的增量s ts 是相互独立的随机变量组；如果s ts 的分布不依赖于 s,则此独立增量过程又称为时齐的独立增量过程。000.50.510003. 由 4 个状态组成的马氏链的转移概率矩阵P10，确定哪些状态是暂000010态，哪些状态是常返态0.50.50000.50.50004. 考虑由状态 0,1,2,3,4组成的马尔科夫链， 而 P000.50.50，确定常返000.50.500.250.25000.5态11002211005. 设有四个状态I=

4、0，1，2，3 的马氏链，它的一步转移概率矩阵 P= 221111444400011) 对状态进行分类；2) 对状态空间 I 进行分解。解：1)p331,而 p30， p31， p32 均为零，所以状态 3 构成一个闭集， 它是吸收态，记 C1= 3 ；0， 1 两个状态互通，且它们不能到达其它状态，它们构成一个闭集，记C2 = 0，1 ，且它们都是正常返非周期状态；由于状态2 可达 C1， C 2 中的状态，而C1， C 2 中的状态不可能达到它，故状态2 为非常返态，记D= 2 。2 ）状态空间I 可分解为： E=DC1C23)四.计算题1. 说是有一位赌徒，他去赌博带有赌资100 元，而

5、对手有 200 元赌资，他们的规则是每次下注五元，每次赢五元或输五元的概率相等,P5 = P5 =1/2. 当赌徒破产或完胜时停止赌博。问：（ 1）该赌徒完胜和破产的概率分别是什么（ 2）赌博结束时，该赌徒平均能赢多少钱（ 3）这场赌博平均要用多长时间解：（1）由题可得， m=300.则完胜时 :Pm SmP100 S300 =m/M=100/300=1/3,破产时：Pm (Sm)P100 S01S30011/ 32 / 3(2):m SE100 S0* PmS0M * PmSMm 100 （元）2.设子代分布为二项分布B(2 ， 1/2).考察相应的分支过程n : n 0 及其灭绝时间，求灭

6、绝概率解：由子代分布为二项分布 B(2，1/2)，可得： Pk=Cnk pkqn k=P0=1/4， P1=1/2，P2=1/4.又知 f()=2i=1/4+1/2+1/42Pii 0解得： =13.设马尔科夫链的转移概率矩阵为:0.30.70P00.20.80.700.3(1). 求两步转移概率矩阵P(2)及当初始分布为PX0 11，P X02P X 030 时，经两步转移后处于状态2 的概率。（ 2）求马尔科夫链的平稳分布。：4. 设马尔科夫链的状态空间I=1,2,3,4,5，转移概率矩阵为：0.30.40.3000.60.4000P010000000.30.70000.10求状态的分类，

7、各常返闭集的平稳分布及各状态平均返回时间。解：（ 1）状态分类C1 =1,2,3； C2 =4,5（ 2）由常返闭集的定义可知，常返集有两个，下面分别求其平稳分布及各状态的平均返回时间。10.3 10.62A 对的常返闭集而言解方程组20.410.4230.3上述方程组的平稳分布为1,2,3747474各状态的平均返回时间为174174174t130, t235 ,t3912310.312B 对的常返闭集而言解方程组20.71121解上述方程组的平稳分布为110 ,271717各状态的平均返回时间为t1117, t2117107125.若 P01,P11,P21, 它

8、的灭绝概率为0, 且 P0' 1 ,P1'1 ,P2'1, 它的灭绝概率244442为 0'.求:(1) 0 的值；（ 2） 0' 的值；（ 3）假定它们的初始时由 n 个个体组成，分别求出两者的总体灭绝的概率。解：（ 1）由于31,所以0 =1；4（ 2）0' 满足'11'1'20 =440401 。解得这个二次方程的最小的正解是'0 =2（ 3）因为总体灭绝当且仅当初始代的每个成员的家庭都灭绝，要求的概率是n0 。则1nn=1，' n00=26小张的宾馆刚开张不久，入住的家庭数是均值为的随机变量，再假定

9、一个家庭在宾馆停留的天数是参数为P(0P1)的几何随机变量，（于是在前一个晚上留在宾馆的一个家庭，独立于已经在宾馆呆了多久，将在第二天以概率P 退房），再假定所有的家庭是彼此独立的，在这些条件下容易看出，如果以X n 记在第 n 天开始入住宾馆的家庭数，那么 X n ，n 0 是马尔科夫链。求：此马尔科夫链的转移概率。解：为了求 Pi, j ，我们假定在一天开始是宾馆中有i 个家庭，因为这 i 个家庭将以概率q=1-q再呆一天，由此推出这i 个家庭中再留一天的家庭数Ri 是二项（ i,q ）随机变量。所以，以 N 记这天新入住的家庭数，我们看到Pi, jP(RiNj )对于 Ri 取条件，并且

10、利用N 是均值为的泊松随机变量，我们得到iiq k pi kPi, jP( Ri N i | Rik )k0kiiqk pi kP( N j k | Rik )k 0kmin( i , j )iP(Njk )qk pikk0kmin( i , j )jkiqk pi kek)! kk0( j7. 设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。 又设今天下雨而明天也下雨的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为；规定有雨天气为状态 0，无雨天气为状态1。设0.7,0.4 ，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为P=p00p010.70.3p10p110.4，于是0

11、.60.610.39P(4)P(2) P(2)0.57490.4251P(2) PP=，四步转移概率矩阵为0.5668，从0.520.480.4332而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为P00(4)0.5749。8. 一质点在 1,2,3 三个点上作随机游动， 1 和 3 是两个反射壁，当质点处于 2 时，下一时刻处于 1,2,3 是等可能的。 写出一步转移概率矩阵， 判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。010111111333解：一步转移概率矩阵 P=， P(2)P2171,999333111010333由pij(2) >0知，此链有遍历性；设极限分布=1, 2,3，11211

12、35方程组312233512313150.50.40.19 设马尔科夫链的状态空间为I0,1,2 ,一步转移概率矩阵为P0.30.40.3 ，0.20.30.5求其相应的极限分布。解：设其极限分布W( w0 , w1 , w2 ), 由 W=WP得到方程组0.5w00.3w10.2w2w00.4w00.4w10.3w2w10.1w00.3w10.5w2w2w0w1w21w021239.解方程组得到：, w1, w262623110. 设马氏链的转移概率矩阵为P，求该马氏链的平稳分布及各状态的的平均返回时间P0.70.10.20.10.80.111. 设有时齐次的马氏链转移概率矩阵为10P ，讨论其马氏性， 并求其平稳分布。 P10解马氏链的状态空间为I=1,2，均为吸收态，状态空间可分解为两个闭集之和，I=1+2，故其是不可约的马氏链，10P=PPP=P(n),01所以状态1