圆周运动运动(shi)

1、第十一讲 圆周运动（教师版）上期答案：水。问：家有家规，国有国规，那动物园里有啥规？ 答案见下期-我是华丽的分割线-我是华丽的分割线- 匀速圆周运动1、定义：物体运动轨迹为圆称物体做圆周运动。2、分类：匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在任意相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。物体在大小恒定而方向总跟速度的方向垂直的外力作用下所做的曲线运动。注意：这里的合力可以是万有引力卫星的运动、库仑力电子绕核旋转、洛仑兹力带电粒子在匀强磁场中的偏转、弹力绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转、重力与弹力的合力锥摆、静摩擦力水平转盘上的物体等 变速圆周运动：如果物体受到约束，只能沿

2、圆形轨道运动，而速率不断变化如小球被绳或杆约束着在竖直平面内运动，是变速率圆周运动合力的方向并不总跟速度方向垂直3、描述匀速圆周运动的物理量（1）轨道半径（r）：对于一般曲线运动，可以理解为曲率半径。（2）线速度（v）：定义：质点沿圆周运动，质点通过的弧长S和所用时间t的比值，叫做匀速圆周运动的线速度。定义式：线速度是矢量：质点做匀速圆周运动某点线速度的方向就在圆周该点切线方向上，实际上，线速度是速度在曲线运动中的另一称谓，对于匀速圆周运动，线速度的大小等于平均速率。（3）角速度（，又称为圆频率）：定义：质点沿圆周运动，质点和圆心的连线转过的角度跟所用时间的比值叫做匀速圆周运动的角速度。大小：

3、 (是t时间内半径转过的圆心角)单位：弧度每秒（rad/s）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢（4）周期（T）：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。（5）频率（f，或转速n）：物体在单位时间内完成的圆周运动的次数。各物理量之间的关系：注意：计算时，均采用国际单位制，角度的单位采用弧度制。（6）圆周运动的向心加速度定义：做匀速圆周运动的物体所具有的指向圆心的加速度叫向心加速度。大小：（还有其它的表示形式，如：）方向：其方向时刻改变且时刻指向圆心。对于一般的非匀速圆周运动，公式仍然适用，为物体的加速度的法向加速度分量，r为曲率半径；物体的另一加速度分量为切向加速度，表征速度大小改变的快

4、慢（对匀速圆周运动而言，=0）（7）圆周运动的向心力匀速圆周运动的物体受到的合外力常常称为向心力，向心力的来源可以是任何性质的力，常见的提供向心力的典型力有万有引力、洛仑兹力等。对于一般的非匀速圆周运动，物体受到的合力的法向分力提供向心加速度（下式仍然适用），切向分力提供切向加速度。向心力的大小为：向心力的方向：时刻改变且时刻指向圆心。实际上，向心力公式是牛顿第二定律在匀速圆周运动中的具体表现形式。五、离心运动1、定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力情况下，就做远离圆心的运动，这种运动叫离心运动。2、本质：离心现象是物体惯性的表现。离心运动并非沿半径方向飞

5、出的运动，而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动。离心运动并不是受到什么离心力，根本就没有这个离心力。3、条件：当物体受到的合外力时，物体做匀速圆周运动；当物体受到的合外力时，物体做离心运动当物体受到的合外力时，物体做近心运动实际上，这正是力对物体运动状态改变的作用的体现，外力改变，物体的运动情况也必然改变以适应外力的改变。4两类典型的曲线运动的分析方法比较（1）对于平抛运动这类“匀变速曲线运动”，我们的分析方法一般是“在固定的坐标系内正交分解其位移和速度”，运动规律可表示为 ；（2）对于匀速圆周运动这类“变变速曲线运动”，我们的分析方法一般是“在运动的坐标系内正交分解其力和加速度”

6、，运动规律可表示为 题型解析类型题： 匀速圆周运动的基本解法练习 【例题】做匀速圆周运动的物体，下列物理量中不变的是（B、C）A速度B速率 C角速度 D加速度【例题】关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（ C）A匀速圆周运动是匀速运动B匀速圆周运动是匀变速曲线运动C物体做匀速圆周运动是变加速曲线运动D做匀速圆周运动的物体必处于平衡状态【例题】关于向心力的说法正确的是（B、C）A物体由于作圆周运动而产生一个向心力B向心力不改变做匀速圆周运动物体的速度大小C做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受合外力D做匀速圆周运动的物体的向心力是个恒力【例题】如图所示，暗室内，电风扇在频闪光源照射下运转，光源每秒

7、闪光30次。如图电扇叶片有3个，相互夹角120°。已知该电扇的转速不超过500 r/min.现在观察者感觉叶片有6个，则电风扇的转速是_ r/min。解析：300 因为电扇叶片有三个，相互夹角为120°，现在观察者感觉叶片有6个，说明在闪光时间里，电扇转过的角度为60°+n·120°，其中n为非负整数，由于光源每秒闪光30次，所以电扇每秒转过的角度为1800°+n·3600°，转速为（5+10n) r/s，但该电扇的转速不超过500 r/min，所以n=0，转速为5 r/s,即300 r/min。类型题： 皮带传动

8、和摩擦传动问题 凡是直接用皮带传动（包括链条传动、摩擦传动）的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点角速度相等（轴上的点除外）。【例题】如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。abcd分析与解：因va= vc，而vbvcvd =124，所以va vbvcvd =2124；ab=21，而b=c=d ，所以abcd =2111；再利用a=v，可得aaabacad=4124【例题】如图所示，压路机后轮半径是前轮半径的3倍，A、B分别为前轮和后轮边缘上的

9、一点，C为后轮上的一点，它离后轮轴心的距离是后轮半径的一半，则A、B、C三点的角速度之比为_，线速度之比为_，向心加速度之比为_解析：因B点和C点同是后轮上的点，故它们的角速度相等，而前、后轮在相同时间内在路上压过的距离相等，即前后轮边缘上两点线速度大小相等。答案：311、221、621【例题】如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0=1.0cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径R1=35cm，小齿轮的半径R2=4.0cm，大齿轮的半径R3=10.0cm。求大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比

10、。（假定摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动）大齿轮小齿轮车轮小发电机摩擦小轮链条解析：大小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间和皮带传动原理相同，两轮边缘各点的线速度大小相等，由v=2nr可知转速n和半径r成反比；小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速相同。由这三次传动可以找出大齿轮和摩擦小轮间的转速之比n1n2=2175可得n1n2=2175类型题： 水平面上圆周运动 【例题】如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是（ D ）A、物体所受弹力增大，摩擦力也增大了B、物体所受弹力增大，摩擦力减小了C、物体所受弹力和摩擦力都减小了D、物体所受

11、弹力增大，摩擦力不变【例题】如图为表演杂技“飞车走壁”的示意图.演员骑摩托车在一个圆桶形结构的内壁上飞驰,做匀速圆周运动.图中a、b两个虚线圆表示同一位演员骑同一辆摩托,在离地面不同高度处进行表演的运动轨迹.不考虑车轮受到的侧向摩擦,下列说法中正确的是（ B ）abA在a轨道上运动时角速度较大 B在a轨道上运动时线速度较大C在a轨道上运动时摩托车对侧壁的压力较大D在a轨道上运动时摩托车和运动员所受的向心力较大【例题】如图所示，在光滑的圆锥顶端，用长为L=2m的细绳悬一质量为m=1kg的小球，圆锥顶角为2=74°。求：（1）当小球=1rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的

12、拉力。（2）当小球以=5rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力。解析：答案：26N，50N 提示要先判断小球是否离开圆锥面。全解小球在圆锥面上运动时，受到重力G，细绳的拉力T和斜面的支持力N。将这些力分解在水平方向和竖直方向上。有： 设小球以角速度0转动时，小球刚好离开斜面时，此时，由N=0代入两式得：。当小球以=1rad/s 转动时，由小球在斜面上运动，由两式得：；当小球以=5rad/s 转动时，小球将离开斜面，此时受到拉力和重力，设细绳与竖直方向得夹角为，则，代入数据解得：T=50N【例题】长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动（这

13、种运动通常称为圆锥摆运动），如图所示，当摆线L与竖直方向的夹角是时，求：LO（1）线的拉力F；（2）小球运动的线速度的大小；（3）小球运动的角速度及周期。解析：做匀速圆周运动的小球受力如图所示，小球受重力mg和绳子的拉力F。因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力指向圆心O，且是水平方向。由平行四边形法则得小球受到的合力大小为mgtan，线对小球的拉力大小为F=mg/cos由牛顿第二定律得mgtan=mv2/r 由几何关系得r=Lsin 所以，小球做匀速圆周运动线速度的大小为LOFmgF合rO1小球运动的角速度小球运动的周期 点评：在解决匀速圆周运动的过程中，弄清物体圆形轨道所在的

14、平面，明确圆心和半径是一个关键环节，同时不可忽视对解题结果进行动态分析，明确各变量之间的制约关系、变化趋势以及结果涉及物理量的决定因素。【例题】如图所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘盘面上，离轴心r=20cm处放置一小物块A，其质量为m2kg，A与盘面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的k倍（k0.5），试求mO当圆盘转动的角速度2rad/s时，物块与圆盘间的摩擦力大小多大？方向如何？欲使A与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度多大？（取g=10m/s2）解析：物体随圆盘一起绕轴线转动，需要向心力，而竖直方向物体受到的重力mg、支持力N不可能提供向心力，向心力只能来源于圆盘对物体的静

15、摩擦力根据牛顿第二定律可求出物体受到的静摩擦力的大小：f=F向=m2r=1.6N方向沿半径指向圆心 欲使物快与盘不发生相对滑动，做圆周运动的向心力不大于最大静摩擦力所以： 解得点评：物体仅在摩擦力作用下做圆周运动，如果是匀速圆周运动摩擦力完全提供向心力与速度垂直，指向圆心；若是加速转动，摩擦力不再指向圆心，摩擦力垂直速度的分力提供向心力，沿速度方向的分力使物体加速。如果做圆周运动的向心力大于最大静摩擦力时就会滑动，做离心运动。【例6】如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为

16、0.2m若A与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度的取值范围（取g=10m/s2）AO解析：要使B静止，A必须相对于转盘静止具有与转盘相同的角速度A需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O对于B，T=mg对于A，角速度取最大值时： 解得：rad/s 角速度取最小值时： 解得：rad/s所以 2.9 rad/s rad/s点评本题是连接体问题，求解时必须一个一个地研究，对每一个物体列方程，用两个物体物理量间的联系再列方程，联立方程求解【例题】如图所示，质

17、量为m=0.1kg的小球和A、B两根细绳相连，两绳固定在细杆的A、B两点，其中A绳长LA=2m，当两绳都拉直时，A、B两绳和细杆的夹角1=30°，2=45°，g=10m/s2求：AB300450C（1）当细杆转动的角速度在什么范围内，A、B两绳始终张紧？（2）当=3rad/s时，A、B两绳的拉力分别为多大？解析：（1）当B绳恰好拉直，但TB=0时，细杆的转动角速度为1，有： TAcos30°=mg解得：1=24rad/s当A绳恰好拉直，但TA=0时，细杆的转动角速度为2，有：解得：2=3.15（rad/s）要使两绳都拉紧2.4 rad/s3.15 rad/s（2）

18、当=3 rad/s时，两绳都紧 TA=0.27N， TB=1.09N点评分析两个极限（临界）状态来确定变化范围，是求解“范围”题目的基本思路和方法类型题： 竖直面上圆周运动 1、竖直平面内：（1）、如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：FG绳 FG临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即 （是小球通过最高点的最小速度，即临界速度）。能过最高点的条件：。 此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力不能过最高点的条件：（实际上小球还没有到最高点就已脱离了轨道）。（2）图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过

19、最高点的情况： GF临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度。图（a）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是：当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N=mg；当0<v<时，杆对小球有竖直向上的支持力，大小随速度的增大而减小；其取值范围是mg>N>0。当时，N=0；当v>时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大。图（b）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况是：当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即N=mg。当0<v<时，管的下侧内壁对小

20、球有竖直向上的支持力，大小随速度的增大而减小，其取值范围是mg>N>0。当v=时，N=0。当v>时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大。图(c)的球沿球面运动，轨道对小球只能支撑，而不能产生拉力。在最高点的v临界=。当v=时，小球将脱离轨道做平抛运动注意：如果小球带电，且空间存在电场或磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合力等于向心力，此时临界速度 。要具体问题具体分析，但分析方法是相同的【例题】一小球用轻绳悬挂于某固定点。现将轻绳水平拉直，然后由静止开始释放小球。考虑小球由静止开始运动到最低位置的过程（AC）（A）小球在水平

21、方向的速度逐渐增大（B）小球在竖直方向的速度逐渐增大（C）到达最低位置时小球线速度最大（D）到达最低位置时绳中的拉力等于小球的重力【例题】如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（AB）Aa处为拉力，b处为拉力Ba处为拉力，b处为推力Ca处为推力，b处为拉力Da处为推力，b处为推力【例题】如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg求A、

22、B两球落地点间的距离COBA解析：两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A、B两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差对A球：3mg+mg=m vA=对B球：mg0.75mg=m vB=sA=vAt=vA=4RsB=vBt=vB=R（2分）sAsB=3R点评竖直面内的非匀速圆周运动往往与其它知识点结合起来进行考查，本题是与平抛运动相结合，解这类题时一定要先分析出物体的运动模型，将它转化成若干个比较熟悉的问题，一个一个问题求解，从而使难题转化为基本题本题中还要注意竖直面内的非匀速圆周运动在最高点的两个模型：轻杆模型和轻绳模型，它们

23、的区别在于在最高点时提供的力有所不同，轻杆可提供拉力和支持力，而轻绳只能提供拉力；本题属于轻杆模型【例题】小球A用不可伸长的细绳悬于O点，在O点的正下方有一固定的钉子B，OB=d，初始时小球A与O同水平面无初速度释放，绳长为L，为使小球能绕B点做完整的圆周运动，如图所示。试求d的取值范围。DdLOmBCA解析：为使小球能绕B点做完整的圆周运动，则小球在D对绳的拉力F1应该大于或等于零，即有：根据机械能守恒定律可得由以上两式可求得：答案：【例题】如图所示，半径R=0.40m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相切于圆环的端点A。一质量m=0.10kg的小球，以初速度v0=7.0

24、m/s在水平地面上向左作加速度a=3.0m/s2的匀减速直线运动，运动4.0m后，冲上竖直半圆环，最后小球落在C点。求A、C间的距离（取重力加速度g=10m/s2）。ABCv0R【答案】1.2m【例题】如图所示，位于竖直平面上的1/4圆弧光滑轨道，半径为R，OB沿竖直方向，上端A距地面高度为H，质量为m的小球从A点由静止释放，最后落在水平地面上C点处，不计空气阻力，求：(1)小球运动到轨道上的B点时，对轨道的压力多大?(2)小球落地点C与B点水平距离s是多少?HAoRBCs解析：(1)小球由AB过程中，根据机械能守恒定律有： mgR 小球在B点时，根据向心力公式有； (2)小球由BC过程，水平

25、方向有：s=vB·t竖直方向有： 解得【例题】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）A球的质量为m1，B球的质量为m2它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是_BA解析：这是一道综合运用牛顿运动定律、圆周运动、机械能守恒定律的高考题A球通过圆管最低点时，圆管对球的压力竖直向上，所以球对圆管的压力竖直向下若要此时两球作用于圆管的合力为零，B球对圆管的压力一定是竖直向上的，

26、所以圆管对B球的压力一定是竖直向下的由机械能守恒定律，B球通过圆管最高点时的速度v满足方程根据牛顿运动定律对于A球，对于B球，又 N1=N2解得 【例题】如图所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L，圆形轨道半径为R，（R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2R）。已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脱轨。试问：列车在水平轨道上应具有多大初速度V0，才能使列车通过圆形轨道？V0R解析：列车开上圆轨道时速度开始减慢，当整个圆轨道上都挤满了一节节车厢时，列车速度达到最小值V，此最小速度一直保持到最后一节车厢进入圆轨道，然后列车开始加速。由于轨道光滑，列车机械

27、能守恒，设单位长列车的质量为，则有：要使列车能通过圆形轨道，则必有V>0，解得【例题】如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度）。求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围。hR解析：2.5Rh5R类型题： 圆周运动中的多解问题 由于圆周运动的周期性，往往会导致一个问题的多解【例题】如图所示，某圆筒绕中心轴线沿顺时针方向做匀速圆周运动，筒壁上有两个位于同一圆平面内的小孔A

28、、B，A、B与轴的垂直连线之间的夹角为，一质点（质量不计）在某时刻沿A孔所在直径方向匀速射入圆筒，恰从B孔穿出，若质点匀速运动的速度为v，圆筒半径为R则，圆筒转动的角速度为_。解析：由于圆周运动的周期性，圆筒转过的角度可能为（n，2，3，）。答案：（n，2，3，）【例题】如图为测定子弹速度的装置，两个薄圆盘分别装在一个迅速转动的轴上，两盘平行若圆盘以转速3600rmin旋转，子弹以垂直圆盘方向射来，先打穿第一个圆盘，再打穿第二个圆盘，测得两盘相距1m，两盘上被子弹穿过的半径夹角15°，则子弹的速度的大小为_。【答案】【例题】如图所示，半径为R的圆板做匀速运动，当半径OB转到某一方向时

29、，在圆板中心正上方h处以平行于OB方向水平抛出一球，小球抛出时的速度及圆盘转动的角速度为多少时，小球与圆盘只碰撞一次，且落点为B。hvOB解析：设小球落到圆盘上B点的时间为t，则，。圆盘转动时间也为t，所以，。由上述三式即可求解。答案：【例题】如图所示，小物体A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起作匀速圆周运动，则A的受力情况是（B）A重力、支持力B重力、支持力和指向圆心的摩擦力C重力、向心力D重力、支持力、向心力、摩擦力【例题】如图甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1 、r2 、 r3 ，若甲轮的角速度为1 ，则丙轮的角速度为（ A ） r1 r2 r3A、 B、 C

30、、 D、【例题】如图所示，水平转台上放有质量均为m的两小物块A、B，A离转轴距离为L，A、B间用长为L的细线相连，开始时A、B与轴心在同一直线上，线被拉直，A、B与水平转台间最大静摩擦力均为重力的倍，当转台的角速度达到多大时线上出现张力？当转台的角速度达到多大时A物块开始滑动？ABO解析： = = 【例题】游乐场的过山车的运动过程可以抽象为图所示模型。弧形轨道下端与圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端A点静止滑下，进入圆轨道后沿圆轨道运动，最后离开。试分析A点离地面的高度h至少要多大，小球才可以顺利通过圆轨道最高点（已知圆轨道的半径为R，不考虑摩擦等阻力）。解析：由机械能守恒定律得；mghmg2R 在圆轨道最高处：mgmvv0hR 【例题】（重庆市直属重点中学第2次联考）如图所示，质量为m的小球由光滑斜轨道自由下滑后，接着又在一个与斜轨道相连的竖直的光华圆环内侧运动，阻力不计，求小球至少应从多高的地方滑下，才能达到圆环顶端而不离开圆环小球到达圆环底端时，作用于环底的压力解析：小