安徽省芜湖一中2020届高三上学期8月开学数学试题及答案

1、2019-2020学年安徽省芜湖一中高三（上）开学数学试卷8月份）、选择题：本大题共12个小题，每小题 5分，共60分.设全集U 1,2,3, 4, 5,集合3,5,则 N I (Cu M )2.3.4.5.6.B. 1 , 5C. 3 , 5D. 4 , 5（5分）复数（5分）已知A. 1（5分）直线(3 i)(2 D的虚部是( 5B. 1an为等差数列，其前B.C. iD. i项和为Sn ,若a36, S3 12,则公差C. 2D. 3l1 : (3 a)xB.4y 5 3a 和直线 l2:2x (5 a)y8平行，则a （C. 7或 1D.1(5分)已知函数 f(x) sin( x )(

2、40）的最小正周期为,则该函数的图象(5分)已知点0）对称0）对称P在以F1, F2为焦点的椭圆tan PF1F211一，一 一-,则该椭圆的离心率为（2B.关于直线D.关于直线2 x F a一对称8一对称 4C.7. (5 分) 3,'且sinsin2y 1(auuir uuur0)上，若 PF1gPF20 ,则下面结论正确的是（0,B.C.22D.8.(5分)ABC的三个内角 A、B、C所对的边分别为 a , b , c , asin Asin B bcos2 A J2a ,A. 2/3B, 2j2C.隹9. （5分）已知向量uuu , uur ，一AB与AC的夹角为uuu且|AB

3、 | 2,uuiruuuuur uur| AC | 3 ,若 APAB AC ,uuu uur且AP BC ,则实数的值为（a.7B. 13C. 612D.710. （5分）在平面直角坐标系中,A( 4,0)、B(1,0)，点 P(a , b)(ab0)满足 | AP | 2| BP |,i 41 一则乡口的最小值为a2 b2B.C.D.11. (5 分)若 a bB.cabcbaC. a logb c blog aD.logc log b c12. （ 5分）已知函数f（x）11nx |,(0 x, e)，右a, b , c互不相等，且 f(a)2 Inx ,(x e)f (b)f （c）,

4、则a b c的取值范围为（）C. (2 e2 , 2 e2)1 2B. ( 2e , 2 e ) eD. (26 e2 , 1 2e)、填空题（每题5分，？茜分20分，将答案填在答题纸上）2x y, 0 i v 1 、，13. (5分)已知正数x、y满足 力 ，则z 4xq1)y的最小值为 x 3y 5- 0214. (5分)曲线y 10g2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于 .15. (5分)已知所有棱长都相等的三棱锥的各个顶点同在一个半径为73的球面上，则该三棱锥的表面积为.216. (5分)抛物线y 2x上有一动弦 AB,中点为M ,且弦AB的长为3,则点M的纵坐 标的

5、最小值为.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.)17. ( 10 分)已知 f (x) 4cosxgcos(x ) 我 1(x R) 6(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间(2)若关于x的方程f (x) k 0在区间,_上有解，求k的取值范围. 4 41 C18. (12分)已知数列4的前n项和& an (-)n 1 2(n为正整数).(I)令bn 2nan ,求证数列是等差数列，并求数列an的通项公式；n 1(D)令 Cn an, Tn G C2Cn ,求 Tn .19. (12分)如图，在Rt AOB中,nOAB ,斜边 AB 4 .

6、Rt AOC 可以通过 Rt AOB 6以直线AO为轴旋转得到，且二面角 B AO C是直二面角，动点 D在斜边AB上.(I )求证：平面 COD 平面 AOB ;(n)求CD与平面AOB所成角的正弦的最大值.20. ( 12分)为积极响应国家“阳光体育运动”的号召，某学校在了解到学生的实际运动情况后，发起以“走出教室，走到操场，走到阳光”为口号的课外活动倡议.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，从高一高二基础年级与高三三个年级学生中按照4:3:3的比例分层抽样，收集 300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)，得到如图所示的频率分布直方图.(已知高一年级共有1200名学生

7、)(1)据图估计该校学生每周平均体育运动时间，并估计高一年级每周平均体育运动时间不 足4小时的人数;(2)规定每周平均体育运动时间不少于6小时记为“优秀”，否则为“非优秀”，在样本数据中，有30位高三学生的每周平均体育运动时间不少于6小时，请完成下列2 2列联表,并判断是否有99%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否“优秀”与年级有关”.基础年级局二合计优秀非优秀合计300_2P(K - ko)0.100.050.0100.005ko2.7063.8416.6357.879n(ad bc)2附:(a b)(c d)(a c)(b d)K221.22(12分)已知椭圆C: x2 y2

8、1(a b 0)过点(1,-),离心率为-,左右焦点分别为F1 , a b22F2 ,过F1的直线交椭圆于 A , B两点.(1)求椭圆C的方程；(2)当 F2 AB的面积为 侬2时，求直线的方程.722.(12分)已知函数, lnx 2f(x)x(1)求函数f(x)在1 ,)上的值域;2019-2020学年安徽省芜湖一中高三(上)开学数学试卷(8月份)(2)若 x 1 ,) , lnx(lnx 4), 2ax 4恒成立，求实数a的取值范围.参考答案与试题解析、选择题：本大题共12个小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 .设全集U 1,2,3, 4

9、, 5,集合M 1,4 , N 1 , 3, 5,则 NI (Cu M )(【解答】解:3B. 1 , 5C. 3 , 5D. 4 ,5(Cu M)2 , 3, 5, N1, 3,(CuM)1 ， 3,52 , 3,5 3,2. ( 5分)复数(3 i)(2 i)的虚部是(5B.C. iD. i【解答】解：Q (3 i)(2 i)56 3i 2i5复数(3 i)(2的虚部是3. ( 5 分)已知4为等差数列，其前n项和为Sn ,若a36,S312,则公差d等于(5B.一3C. 2D. 3【解答】解:设等差数列1的首项为由 a3 6, S3 12,得:a12d 63ai 3d 12解得：a 2,

10、 d 2 .故选：c .4. ( 5 分)直线 li ：(3 a)x 4y5 3a和直线12 :2x (5 a)y 8平行，则a (A.7或 1B.7C. 7 或 1D.1【解答】解:Q直线L：（3 a）x 4y 5 3a和直线：2x （5 a）y 8平行,(3 a)(5 a) 2 4 0(3 a)(5 a) (3a 5) ( 8) 0解得a 7 .故选：B .5. (5 分)已知函数 f(x) sin( x -)(40）的最小正周期为,则该函数的图象（A .关于点（，0）对称C.关于点1,0）对称【解答】解：Q 0, TB.关于直线x 对称8D.关于直线x 对称42；f(x) sin(2x

11、), 4其对称中心为：(幺一，0) , k Z , 28其对称轴方程由 2x _ k 得:42kx 28当k 0时,就是它的一条对称轴, 86. (5 分)2 x 已知点P在以Fl, F2为焦点的椭圆FaLUir LULU0)上，若 PFigPF2 0,tan PF1F211一，一 一-,则该椭圆的离心率为2A.-3B.-2C.D-f【解答】解：由LULT ULUEIPF-gPF2 0,可知 PF1F2为直角三角形,1又 tan PF1F2 -,可得 |PFi | 2|PFz| , 242联乂 | PF1 | |PF2 | 2a ,解得：| PFJ 一 a , | PF2 | - a .332

12、22216 24 22 C5由 | PF1 | | PF21 4c ,得一a a 4c , BP .99a 937. （ 5分）若,且 sin sin 0 ,则下面结论正确的是（）22解：yB.0C.2D.xsin x是偶函数且在（0,）上递增,21，2sinsin 皆为非负数,Q sinsin0,sin sinI I I I,22故选：D .8.(5分)ABC的三个内角 A、B、C所对的边分别为a , b , c , asin Asin B bcos2 A J2a ,则2 () aA . 2点B, 2桓C.拒D. 33【解答】解： Q ABC 中，asin Asin B bcos2A J2a

13、 ,根据正弦定理，得 sin2 Asin B sin Bcos2 A 72sin A,可得 sinB(sin2A cos2 A)j2sinA,.2 .2 A 一Q sin A cos A 1 ,b sin B 2 sin A ,得 b 72a ,可得一 J2 . a故选：C .9.uuu uur（5分）已知向量 AB与AC的夹角为120uuuuuirj uuu，且 | AB | 2 , | AC | 3 ,若 APuuu UULTAB AC ,一 UUTUUU且AP BC ,则实数 的值为（）B. 13C. 6D.127【解答】解：Q APUUU UULTUUU UUUAB AC ,且 AP

14、BC ,uur uur uuu uuir uuir uuuAPgBc ( AB AC).AC AB)uuu uuiruuu uuir 9 uuur uuuABgAC |AB|2 | AC |2 ACgABuuu uuiruur uuir(1)g| AB |g AC |gDOS AB, ACuur 9uur 9| AB |2 |AC |2 0 .uuu , uuruuuuuuQ向量AB与AC的夹角为120，且| AB | 2, | AC | 3 ,2 3(1)gcos12049 0.解得:1210. (5 分)在平面直角坐标系中，A( 4,0)、B( 1,0),点 P(a, b)(ab 0)满足

15、 | AP | 2| BP |,一 41 则-22的取小值为（）a bB. 3D.【解答】解： A( 4,0)、B( 1,0),点 P(a,b)且 ab 0;由 | AP | 2|BP |,得 7(a 4)2 b2 2优221) b ，化简得a2 b2 4,2 a414则/ / (/4b2aa； 1“丁炉4 4b2 a22 a2%2)当且仅当a2 2b2时取等号,工的最小值为-.b2411.(5 分)若 a b 1 , 0 c 1 ,则()c cB. ab baC. alogb c blog a cD. log a c 10gbe【解答】解：Q a b 1, 0 c 1 ,函数f(x) xc在

16、(0,)上为增函数，故ac bc ,故A错误；函数f (x) xc1在(0,)上为减函数，故ac 1 bc 1,故bac abc,即abc bac;故B错误；logcb 1oga cloga c 0 ,且 10gbe 0 , 1oga b 1 ,即 1 , IP loga c 10gbe .故 D 错庆；logca logb c0 loga c logb c, bloga c a log b c ,即 bloga c alogb c , IP a log b c blogac,故 C 正确；故选：C .11nx 1,(0 x, e)12. (5分)已知函数f(x) 11)，右a, b, c互不

17、相等，且f (a)f (b)2 lnx ,(x e)f (c),则a b c的取值范围为()212A.(1 e,1 ee)B.( 2e ,2 e )eC.(2由 e2 ,2 e2)D.(2<1 e2,- 2e)e【解答】解：函数f(x)11nx|,(0 x, e),若a, b, c互不相等，且f (a) f (b) f2 lnx,( x e)(c),如图，不妨 abc,由已知条件可知：0 a 1 b e c e2 ,Q lna lnb , ab 12Q lnb 2 1nc bc e ,中，（1 b叽(b) be2 1丁，(1 ,由（b0 ,故（1,e）为减区间,2eb c的取值范围是:,

18、 12(2e,2 e e故选:、填空题（每题 5分，？茜分20分，将答案填在答题纸上）13. （5分）已知正数2x y, 0 皿y满足x 3y 5-0'则Zv 1 、， 14 xg(1)y的最小值为16【解答】解：根据约束条件画出可行域Qz 4中化成Z 22xy直线z 2x y过点A（1,2）时，Z1最小值是 4 ,1z 2 2xy的最小值是24 ,161故答案为一.1614. (5 分)曲线y 10g 2 x在点（1,0）处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于12ln2【解答】解:Q y 10g 2 x,1 yxln2x 1时,曲线y 10g2X在点x 1处的切线方程为1r 一(x 1

19、),即 x yln2 1 0 . ln21,一，一最令y 0,可得三角形的面积等于111-gig-2 1n2 21n2一，1故答案为：2ln215. （ 5分）已知所有棱长都相等的三棱锥的各个顶点同在一个半径为酒的球面上，则该三棱锥的表面积为8 3【解答】解：设棱锥P ABC的棱长为a ,则底面 ABC外接圆的半径为三棱锥的高为PE2J 6a) va，3Q正三棱锥的4个顶点都在同一球面上，如图所示;OE a 73, 3（西 a 班）2 （且 a）2 （J3）2, 33a2 2岳 0 ,解得a 2/或a 0,三棱锥的棱长为a 2金，则该三棱锥的表面积为Se棱锥4S ABC 4故答案为：8 73.

20、16.（5分）抛物线y_ 22x上有一动弦 AB,中点为M ,且弦AB的长为3,则点M的纵坐标的最小值为_u-8【解答】解：设直线 AB的方程为y kx b,联立y kx b22，化为 2x kx b 0,y 2x由题意可得k2 8b 0 .k .X X2 X| X22Q|AB| 也 k2 f(x .)2 4为X2 3,1(22 1 k2AB中点M的纵坐标yMyi y222XiX22k 9-1- T282(1k )2k 1912 i_91 1182(1 k2) 8 16 8 万故答案为：H.8三、解答题(本大题共 6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17. ( 10分)已知

21、 f(X)4cosXgcos(X ) V3 1(x R)6(1)求f(X)的最小正周期和单调递增区间(2)若关于x的方程f (x) k 0在区间_,_上有解，求k的取值范围 4 43f (x) 4cos x(cosx【解答】解：(1)由题意可知:1sin x) 33 1 sin2x V3cos2x 1 2sin(2 x ) 1 , 235 一f (x)的取小正周期为 ，由一2k秀12x 2k 得k蒯x k k Z 23 21212单调增区间为5- k ， k , k Z ； 12125 Q x , ,2x ,4 43661sin(2x -)的取值范围是-,1,f(x) 2sin(2 x -)1

22、 的取值范围是0, 3, 318. (12 分)已知数列 an的前n项和SnanW）n 12（n为正整数）.(I )令 bn2nan ,求证数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式;【解答】解:当n2时,anSn2ananQ bnn 1an nSn 1Sn111 (2)TnC1C2Sn1 n 1 an ( )2可得a1 1 2(1分)anan1(2)an 11 n 1(2)(2分)n1,即 2nan 2n1an1bn bn 11 ,即当 n2时，bnbn 112a1 1 ,数列bn是首项和公差均为1的等差数列(4分)于是bn1 (n 1)dnn 2 an,ann2n(6分)(n)(I )得

23、Cnn 1an n(n(7分)Tn2 3 (2)24(2)32Tn修2 3 (1)(n 1)做“1由得 A 1 g)2 (2)3/ 1、n1、n 1(-) (n 1)仁)22(9分)11 n 141（2） -2 （n 11 -2Tn 3 n-n3（12 分）AOB219. （12分）如图，在 Rt AOB中， OAB -,斜边AB 4 . Rt AOC可以通过Rt 6以直线AO为轴旋转得到，且二面角 B AO C是直二面角，动点 D在斜边AB上（I ）求证：平面 COD 平面AOB ；（n）求CD与平面AOB所成角的正弦的最大值.【解答】解：（I）证明：由题意，CO AO, BO AO,BOC

24、是二面角B AO C的平面角；又Q二面角B AO C是直二面角，CO BO ,又Q AOI BO O , CO 平面 AOB ,又CO 平面COD , 平面COD 平面AOB ;（II）由（I）知,CO 平面 AOB ,CDO是CD与平面AOB所成的角;2,在 Rt CDO 中，CO BO AB sin _ 46CO sin CDO 2CD，当CD最小日sinCDO最大,CD此时OD AB ,垂足为D ,由三角形的面积相等，得1 _1 _-CDgAB -BC2 BC 2AB (-2-)，解得 CD 2 442( 2)27,CD与平面AOB所成角的正弦的最大值为22.77720. （ 12分）为

25、积极响应国家“阳光体育运动”的号召，某学校在了解到学生的实际运动情况后，发起以“走出教室，走到操场，走到阳光”为口号的课外活动倡议.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，从高一高二基础年级与高三三个年级学生中按照4:3:3的比例分层抽样，收集 300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图.（已知高一年级共有1200名学生）（1）据图估计该校学生每周平均体育运动时间，并估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数；（2）规定每周平均体育运动时间不少于6小时记为“优秀”，否则为“非优秀”，在样本数据中，有30位高三学生的每周平均体育运动时间不少于6

26、小时，请完成下列2 2列联表，并判断是否有99%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否“优秀”与年级有关”.基础年级局二合计优秀非优秀合计300_2P(K 7。)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879附：K2 n(ad bc)2(a b)(c d)(a c)(b d)【解答】解：（1）该校学生每周平均体育运动时间为X 1 0.05 3 0.2 5 0.3 7 0.25 9 0.15 11 0.05 5.8;（3 分）样本中高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数为：4一.y 300 一（0.025 2 0.100 2） 30 （人）； 10

27、又样本中高一的人数有120人，所以高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数为11200 300 （人）；（6 分）4（2）由题意填写列联表如下：基础年级局二合计优秀10530135非优秀10560165合计21090300(8分)假设该校学生的每周平均体育运动时间是否优秀与年级无关，2ntt 2 300 (105 30 105 60)2700则 K2 (7.071 6.635,210 90 135 165992又 P(K 6.635) 0.01 , 所以有99%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否“优秀”与年级有关”.(12分)2 x21. (12分)已知椭圆C: -2 a2y2 1(a b 0)过点(1,-),离心率为-,左右焦点分别为F1,b22F2,过F1的直线交椭圆于 A, B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)当 F2 AB的面积为它时,7求直线的方程.1)2 y b* 2工 a可得ca2 a94 b212 b2解得2 c2 a b24所以4(2)斜率不存在时x1, |AB| 3,Sv