含参不等式恒成立问题

1、不等式中恒成立问题的解法研究在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。恒成立问题的基本类型：类型1：设，（1）上恒成立；（2）上恒成立。类型2：设（1）当时，上恒成立，上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立类型3：。类型4： 恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。一、用一次函数的性质 对于一次函数有：例1：若不等式对满足的所有都成立，求x的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：，；令，则时，恒成立，所以只需即，所以x的范围是。

2、二、利用一元二次函数的判别式 对于一元二次函数有：（1）上恒成立；（2）上恒成立例2：若不等式的解集是R，求m的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；（2）时，只需，所以，。三、利用函数的最值（或值域）（1）对任意x都成立；（2）对任意x都成立。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例3：在ABC中，已知恒成立，求实数m的范围。解析：由，恒成立，即恒成立，例4：（1）求使不等式恒成立的实数a的范围。解析

3、：由于函，显然函数有最大值，。如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：（2）求使不等式恒成立的实数a的范围。解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得的最大值取不到，即a取也满足条件，所以。 所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。四：数形结合法 对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例5：已知，求实数a的取值范围。解析：由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由得到a分别

4、等于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想使函数在区间中恒成立，只须在区间对应的图象在在区间对应图象的上面即可。当才能保证，而才可以，所以。 由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。例6：若当P(m,n)为圆上任意一点时，不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、解析：由，可以看作是点P(m,n)在直线的右侧，而点P(m,n)在圆上，实质相当于是在直线的右侧并与它相离或相切。，故选D。 其实在习题中，我们也给出了一种解恒成立问题的方法，即求出不等式的解集后再进行处理。 以上介绍了常用的五种解决恒

5、成立问题。其实，对于恒成立问题，有时关键是能否看得出来题就是关于恒成立问题。下面，给出一些练习题，供同学们练习。练习题：1、对任意实数x，不等式恒成立的充要条件是_。2、设上有意义，求实数a的取值范围.。3、当恒成立，则实数a的范围是_。4、已知不等式： 对一切大于1的自然数n恒成立，求实数a的范围。含参不等式恒成立问题的求解策略“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解

6、题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有1）对恒成立; 2）对恒成立 例1已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。解：由题设可将问题转化为不等式对恒成立，即有解得。所以实数的取值范围为。若二次不等式中的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。例2设，当时，恒成立，求实数的取值范围。解：设，则当时，恒成立Oxyx-1当时，显然成立；当时，如图，恒成立的充要条件为：解得。综上可得实数的取值范围为。二、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种

7、处理方法，其一般类型有：1）恒成立2）恒成立例3已知，当时，恒成立，求实数的取值范围。解：设，则由题可知对任意恒成立令，得而即实数的取值范围为。例4函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。解：若对任意，恒成立，即对，恒成立，考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得而抛物线在的最小值得注：本题还可将变形为，讨论其单调性从而求出最小值。三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1）恒成立2）恒成立实际上，上题就可利用此法解决。略解：在时恒成立，只要在时恒成

8、立。而易求得二次函数在上的最大值为，所以。 例5已知函数时恒成立，求实数的取值范围。解： 将问题转化为对恒成立。令，则由可知在上为减函数，故即的取值范围为。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。四、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例6对任意，不等式恒成立，求的取值范围。分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。解：令，则原问题转化为恒成立（）。 当时，可得，不合题意。当时，应有解之得。故的取值范围为。注：一般地，一次函数在上恒有的充要条

9、件为。四、数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1）函数图象恒在函数图象上方；2）函数图象恒在函数图象下上方。x-2-4yO-4例7设 , ,若恒有成立,求实数的取值范围. 分析：在同一直角坐标系中作出及 的图象 如图所示，的图象是半圆 的图象是平行的直线系。要使恒成立，则圆心到直线的距离满足 解得（舍去)由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟

10、、体会和总结。含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。一、 分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若恒成立，只须求出，则；若恒成立，只须求出，则，转化为函数求最值。例1、已知函数，若对任意恒有，试确定的取值范围。解：根据题意得：在上恒成立，即：在上恒成立，设，则当时， 所以 在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若恒成立，只须求出，则，然后解不等式求出参数的取值

11、范围；若恒成立，只须求出，则，然后解不等式求出参数的取值范围，问题还是转化为函数求最值。例2、已知时，不等式恒成立，求的取值范围。解：令， 所以原不等式可化为：，要使上式在上恒成立，只须求出在上的最小值即可。 二、 分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。例3、若时，不等式恒成立，求的取值范围。解：设，则问题转化为当时，的最小值非负。（1） 当即：时， 又所以不存在；（2） 当即：时， 又 （3） 当 即：时， 又综上所得：三、 确定主元在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量看成是主元（未知数），而把另一个变量看成参数，在

12、有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。例4、若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围。解：设，对满足的，恒成立， 解得：四、 利用集合与集合间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：，则且，不等式的解即为实数的取值范围。例5、当时，恒成立，求实数的取值范围。解：（1） 当时，则问题转化为 （2） 当时，则问题转化为综上所得：或五、 数形结合数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关

13、于参数的不等式。例6、若不等式在内恒成立，求实数的取值范围。解：由题意知：在内恒成立，在同一坐标系内，分别作出函数和观察两函数图象，当时，若函数的图象显然在函数图象的下方，所以不成立；当时，由图可知，的图象必须过点或在这个点的上方，则， 综上得：上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题。含参数不等式恒成立问题的解题策略（专题探究）一、教学目标：理解含参不等式恒成立问题特征；能充分利用化归、数形结合、函数和分类讨论等数学思想解决含参不等式恒成立问题；培养学生分析解决综合问题的能力。二、教学方法：启发、探究三、教学过程：通过含

14、参数不等式恒成立问题的求解，通过变式、启发、引导学生探究解题策略，培养学生利用化归、数形结合、函数和分类讨论等数学思想进行解题的意识。例题1：已知不等式对恒成立，求实数的取值范围。变式：已知不等式对恒成立，求实数的取值范围。例题2：已知不等式对恒成立，求实数的取值范围。变式1：已知不等式对恒成立，求实数的取值范围。变式2：已知不等式对恒成立，求实数的取值范围。例题3：当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。练习1：已知函数在区间上为减函数，求实数的取值范围。练习2：对于满足的所有实数，求使不等式恒成立的的取值范围。思考：1、若不等式对满足的所有都成立，求实数的取值范围。2、设，若满足不等式的一切

15、实数，能使不等式恒成立，求正实数的取值范围。常见不等式恒成立问题的几种求解策略不等式恒成立问题是近几年高考以及各种考试中经常出现，它综合考查函数、方程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连，本文结合解题教学实践举例说明几种常见不等式恒成立问题的求解策略，以抛砖引玉。 1 变量转换策略例1 已知对于任意的a-1,1，函数f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0 恒成立，求x的取值范围.解析 本题按常规思路是分a=0时f(x)是一次函数，a0时是二次函数两种情况讨论，不容易求x的取值范围。因此，我们不能总是把x看成是变量，把a看成常参数，我们可以通过变量转

16、换，把a看成变量，x看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。令g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3在a-1,1时，g(a)>0恒成立，则，得.点评 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。2 零点分布策略例2 已知，若恒成立，求a的取值范围.解析 本题可以考虑f(x)的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即0或或，即a的取值范围为-7，2.点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图

17、象在x轴的上方或在x轴上就行了.3 函数最值策略 例3 已知，若恒成立，求a的取值范围. 解析 本题可以化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意.若恒成立或或，即a的取值范围为.点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用恒成立；恒成立.本题也可以用零点分布策略求解.4 变量分离策略 例4 已知函数，若在区间上，的图象位于函数f(x)的上方，求k的取值范围.解析 本题等价于一个不等式恒成立问题,即对于恒成立,式子中有两个变量,可以通过变量分离化归为求函数的最值问题. 对于恒成立对于恒成立,令,设,则,即x=1时, k的取值范围

18、是k>2.变式 若本题中将改为，其余条件不变，则也可以用变量分离法解.由题意得，对于恒成立对于恒成立,令,设,则，, k的取值范围是k>. 点评 本题通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，本题构造的函数求最值对学生来说有些难度，但通过换元后巧妙地转化为“对勾函数”，从而求得最值. 变式题中构造的函数通过换元后转化为“二次函数型”，从而求得最值.本题也可以用零点分布策略和函数最值策略求解.5 数形结合策略例5 设函数,若恒有成立,试求实数a的取值范围. 解析 由题意得,令,.可化为，它表示以(2,0)为圆心，2 为半径的上半圆；表示经过定点(-2,0)，以a为斜率的直线，要使恒成立，只需所表示的半圆在所表示的直线下方就可以了(如图所示)当直线与半圆相切时就有，即，由图可知，要使恒成立，实数a的取值范围是xyO点评 本题通过对已知不等式变形处理后，挖掘不等式两边式子的几何意义，通过构造函数，运用数形结合的思想来求参数的取值范围，不仅能使问题变得直观，同时也起到了化繁为简的效果.6 消元转化策略 例6 已知f(x)是定义在-1,1上的奇函数,且f(1)=1,若，若对于所有的