余角和补角11

1、教案余角和补角一、 学习目标：1 .认识一个角的余角和补角，理解互余、互补的概念，会求一个角的余角和补角;2 .掌握并运用余角和补角的性质；3 .能进行一些简单的有关角的推理. 二、知识回顾：1.计算：(1) 90 -29 3=(2) 180 -56 27=r2.如图 RtAABC,讨论/ 1与Z 2, /3与/4, / 2与/ 3的数量关系.三、知识梳理：1 .互为余角如果两个角白和等于 90° （直角），就说这两个角互为余角，简称互余，即其中一个角是另一个角的余角.如下图所示：几何语言表示为：如果/ 1 + 7 2=90° ,那么/ 1与/2互为余角.2 .互为补角如果

2、两个角白和等于 180° （平角），就说这两个角互为补角，简称互补，即其中一个角是另一个的补角.如下图几何语言表示为：如果/ 1 + 7 2=180° ,那么/ 1与/ 2互为补角.3 .余角的性质同角（或等角）的余角相等.4 .补角的性质同角（或等角）的补角相等.5 .同角的余角与补角的关系一个锐角的补角比这个角的余角大906 .方位角图i方位角是指方向线与正北或正南这两条基准线的夹角.如图1,射线OA与正北方向的夹角为 40° ,则OA的方位角是北偏东40° ; OB与正北方向的夹角为 65° ,则OB的方位角是北偏西 65° ;

3、同理，OC的方位角为南偏西 45°或说成 是西南方向，OD的方位角为南偏东 20° .四、典例探究1 .判断两个角互余或互补【例1】如图，A, O, E三点在同一条直线上，/1 = 72,且/ 1和/4互为余角.（1） / 2和/ 4互余吗？（2） / 3和/ 4有什么关系，为什么？1 .互为余角和互为补角是针对两个角而言的，必须成对出现2 .互余和互补是指两个角之间的数量关系，与他们的位置无关3 .锐角的补角是钝角，直角的补角是直角，钝角的补角是锐角4 .只有锐角才有余角.5 .同一个角的补角比余角大 90° .练1.如果/ 1与/ 2互补，/ 2与/ 3互余，

4、则/ 1与/ 3的关系是（）A / 1 = /3 B , Z 1=180° -Z 3 C . / 1=90° +/3 D ,以上都不对练2.如果/ a和/ 3互补，且/ a >/ 3 ,则下列表示/ 3的余角的式子中： 90° - Z 3 ；/ a - 90° ；180 °1一/ a；一（/ a -/ 3）.正确的是（）2A B . C . D .2.与余角、补角有关的计算题【例2】一个角的补角加上 10°后等于这个角的余角的3倍，求这个角.总结：1 . / a的余角表示为90° - / a , / a的补角表示为18

5、0° -Z a .注意正确区分余角和补角，不要弄反了2 .用方程的思想解这类题比较简便.练3.已知/ 3 =3/ a , Z 3的余角的3倍等于/ a的补角，求/ a , Z 3的度数.【例3】如图，已知。为AD上一点，/ AOCW/ AOBE补，OM ON分另为/ AOC / AOB的平分线，若/ MON=40 ,试求/ AOCW / AOB的度数.总结：1 .当已知条件中出现直角或平角时，要注意观察哪些角互为余角，哪些角互为补角，以利用互余或互补建立等量关 系.2 .当题中角之间的关系比较复杂时，学会设未知数，用方程的思想来解答练4.如图，已知/ AOMW/ MOBS为余角，且/

6、 BOC=30 , OM平分/ AOC ON平分/ BOC(1)求/ MON勺度数；(2)如果已知中/ AOB=80 ,其他条件不变，求/ MON勺度数；(3)如果已知中/ BOC=60 ,其他条件不变，求/ MON勺度数；(4)从(1)、(2)、(3)中你能看出有什么规律.3 .同(等)角的余角相等【例4】如图，/ A+/ B=90°，点D在线段AB上，点E在线段AC上，DF平分/ BDE DF与BC交于点F.(1)依题意补全图形；(2)若/ B+Z BDF=90 ,求证：/ A=Z EDF.证明：. / A+/B=90° , / B+Z BDF=90 (理由：)又. /

7、 BDF玄 EDF (理由： )/ A=Z EDFB总结：1 .同角或等角的余角相等，包含两方面内容：是同一个角的余角相等；是相等的角的余角相等.2 .利用余角的性质寻找相等的角或求角度时，首先要找出直角，在此基础上找出互余的角.注意观察同一个角是否有多个余角，从而利用“同(等)角的余角相等”来进一步推理练5 .如图，一副三角板的两个直角顶点重合在一起.(1)若/ EON=130 ,求/ MOF勺度数；(2)比较/ EOMW/FON的大小，并写出理由；(3)求/ EON+ MOF勺度数.练6.填空，完成下列说理过程.如图，BD平分/ ABC交AC于点D, / C=/ DEB=90 ,那么/ C

8、D*/ EDB相等吗？请说明理由.解：因为/ 1 + Z CDB+ C=180° ,且/ C=90° ,所以/ 1 + /CDB=90 .因为/ 2+/EDB+/DEB=180 ,且/ DEB=90 ,所以/ 2+/EDB=90 .因为BD平分/ ABC根据,所以/ 1 = / 2.根据,所以/ CDB=EDB10【例5】如图，直线 AB与CD相交于点 O, OP是/ BOC勺平分线，OH AB,。吐CD(1)图中除直角外，请写出一对相等的角：(2)如果/ AOD=40 ,那么根据 ,可彳导/ BOC=度.1因为OP是/ BOC勺平分线，所以/ COP=-/=.2/ POF

9、的度数为E总结：1 .同角或等角的补角相等，包含两方面内容：是同一个角的补角相等；是相等的角的补角相等.注意观察同一个角是否有2 .利用补角的性质寻找相等的角或求角度时，首先要找出平角，在此基础上找出互补的角多个补角，从而利用“同(等)角的补角相等”来进一步推理；3 .互余与互补的角的性质是说明两角相等的重要方法练7.如图，直线 AB与CD相交于点 O,。aAB, OF! CD(1)图中/ AOF的余角是 (把符合条件的角都填出来).(2)图中除直角相等外，还有相等的角，请写出三对：;.(3)如果/ AOD=140 .那么根据 ,可得/ BOC=度.，1 ,如果/ EOF= 一/ AOD ,求

10、/ EOF的度数.56.方位角B在南偏东60方【例6】如图，一艘客轮沿东北方向OC亍驶，在海上 。处发现灯塔A在北偏西30°方向上，灯塔向上.（1）在图中画出射线 OA OB OC（2）求/ AOCW / BOC勺度数，你发现了什么？1 .方位角是以观测者的位置为中心，将正南或正北的方向线与目标方向线所成的小于90。的角2 .方位角的特征：（1）顶点在中心点；（2） 一边是南北线（起始线），另一边是方向线.西南、西北方向3 .方位角通常表达为北（南）偏东（西）XX度 .当方位角在45。方向上时，常说成东南、东北、4 .方位角在航行、测绘等工作中经常用到.练8如图，OA的方向是北偏东1

11、5° , OB的方向是西偏北50度.（1）若/ AOCW AOB则OC勺方向是 ;（2） OD是OB的反向延长线，OD的方向是 ;（3） / BOM看彳是OB绕点。逆时针方向至 OD作/ BOD勺平分线OE OE的方向是（4）在（1）、（ 2）、（3）的条件下，/ COE=五、课后小测一、选择题1 .如果a与3互为余角，则（）A. ”+31君0°B. a 3=180° C. a 3=90° D. a + 3 =90 °2 .若/ a 匕 3 =90,° / 3+/ 丫 =9Q° 则/ a与/ 丫的关系是（）A .互余 B .

12、互补 C .相等 D . / a =90 ° 4 丫3 .如图所示，已知/ AOC= Z BOC=90° , / BOE= / COD ,则图中互为余角的角共有（）CA. 2对 B. 3对C. 4对 D. 5对4 .如图，OA是北偏东300方向的一条射线，若射线 OB与射线OA垂直，则OB的方位角是()南A.北偏西30° B.北偏西60° C.东偏北30° D,东偏北60°二、填空题5 .如图，C岛在A岛的北偏东60°方向，C岛在B岛的北偏西50°方向，从C岛看A、B两岛的视角/ ACB是度.北北小A二、解答题6

13、.如图，回答下列问题：(1)写出/ ALG的余角，并说明理由;(2)写出/ ALG的补角，并说明理由.7 .如图，将一副三角板的两个直角顶点O重合在一起，摆放成如图 1、图2所示的形状.(1)如图1,若/ BOC=60 ,求/ AOD的度数；(2)如图2,若/ BOC=70 ,求/ AOD的度数；(3)猜想/ AOD和/ BOC的关系.8 .如图，点 O是直线 AB上的一点，OC平分/ AOB ,在直线 AB另一端以。为顶点作/ DOE=90° .(1)若/ AOE=48 ,求/ BOD 的度数；(2)写出图中与/ AOE互余的角；(3) / AOE与/ COD有什么数量关系？请写出你的结论并说明理由.9.看图填空：解：/ AOB=90 , / COD=90 （已知）即/ AOD+ / BOD=90 , / AOD+ / AOC=90.Z AOC= / （）Q/