北京市石景山区2019-2020学年第一学期期末高二数学试题及答案

1、石景山区20192020学年第一学期高二期末试卷学校姓名学号高二数学试卷第1页（共10页）本试卷共5页，满分为100分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第I卷（选择题共40分）、选择题：本大题共 10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.如果2, a,b,c,10成等差数列，那么2.3.4.5.A. 1若双曲线A.抛物线A.在数列命题B. 21的离心率是2 y的焦点坐标是C.C.D.D.1(0，2)an中,B.1,B.1 (0，2)an an 1C.(1,0)(n 1,2,3L ），那么C.D.

2、asD.(1,0)xR, eB.6.C.设椭圆R, ex < xD.R,exy21的两个焦点为F1，F2,且P点的坐标为则 IPF1I IPF2IA. 1C.D. 2V27.如图，以长方体 ABCD A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐q ,则“ q 0 ”是“对任意的正整数 n ,标轴，建立空间直角坐标系，若 Duuu的坐标为（4, 3, 2）,则Ci的坐标是A . (0,3,2)B. (0,4,2)C. (4,0,2)D. (2,3,4)8 .设an是首项为正数的等比数列，公比为a2n 1a2n0 ” 的A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要

3、条件D.既不充分也不必要条件 ，r ， ir一.ir r , 一 9 .设平面的法向重为n ,直线l的方向向重为 m ,那么 m,n 60 是 直线l与平面夹角为30 ”的A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10 .如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，当灯笼的底面半径为0.3米时，则图中直线A8B2与A2 A6所在异面直线所成角的余弦值为A TB VC害D T第I卷（非选择题共60分）二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 3分，共12分.r r11 .在空间直角坐标系中，已知

4、a （1,2,0）,b （1,0,2）,那么cos a,b12.已知数列an是各项均为正数的等比数列，且a2 1 , a3 a4 6 .设数列ann的前n项和为Sn,那么&S5 （填“>'"位"=）”，理由是13 .甲、乙两位同学分别做下面这道题目:在平面直角坐标系中，动点M到F(0, 2)的距离比M到x轴的距离大2,求M的轨迹.甲同学的解法是:解：设M的坐标是(x, y),则根据题意可知收(y 2)2 |y| 2,化简得 x2 4(| y | y).当y 。时，方程可变为x 0,这表示的是端点在原点、方向为y轴正方向的射线，且不包括原点.当y 0时，

5、方程可变为x2 8y,这表示以F(0, 2)为焦点，以直线 y 2为准线的抛物线.所以M的轨迹为端点在原点、方向为y轴正方向的射线，且不包括原点和以F(0, 2)为焦点，以直线 y 2为准线的抛物线.乙同学的解法是:解：因为动点 M到F(0, 2)的距离比m到x轴的距离大2 ,如图，过点M作x轴的垂线，垂足为 Mi .则 |MF | | MMi | 2.设直线MM i与直线y 2的交点为M 2.则 |MM 2 11MMi | 2.即动点M到直线y2的距离比M到x轴的距离大2 ,所以动点M到F (0, 2)的距离与M到直线y 2的距离相等. 所以动点M的轨迹是以F(0, 2)为焦点，以直线y 2

6、为准线的抛物线.甲、乙两位同学中解答错误的是 (填“甲”或者“乙”)，他的解答过程是从 处开始出错的(请在横线上填写 、或)14 .已知平面上的线段1及点P ,任取1上一点Q ,线段PQ长度的最小彳1称为点 P到线段1的距离，记作d(P,1).请你写出到两条线段11, 12距离相等的点的集合P|d(P, 11) d(P, I2),其中11 AB, 12 CD, A, B, C, D是下列两组点中的一组.对于下列两种情形，只需选做一种，满分分别是3分，5分. A(1,3), B(1,0), C( 1,3), D( 1,0). A(1,3), B(1,0), C( 1,3), D( 1, 2).你

7、选择第 种情形，到两条线段11 , 12距离相等的点的集合 .三、解答题：本大题共 6个小题，共48分.应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 .(本题满分8分)已知数列an是等差数列，满足 a11, 。 Q,数列bn an是公比为2等比a53数列，且b2 2a22.()求数列 an和 bn的通项公式；()求数列bn的前n项和Sn.16 .(本题满分8分)如图，在底面是正方形的四棱锥 P ABCD中,PA 平面ABCD , AP AB 2 ,高二数学试卷第3页(共10页)E,F,G 是 BC,PC,CD 的中点.()求证：BGCW面PAE ;()在线段BG上是否存在点 H ,使得FH 平面B

8、H若存在，求出BH的值；若不存在，说明理由BG17.(本题满分8分)已知椭圆C的焦点为Fi( J2,0)和F2(J2,0),长轴长为4,设直线y X 1交椭圆C于A , B两点.()求椭圆C的标准方程；()求弦AB的中点坐标及弦长.18 .(本题满分8分)如图，三棱柱 ABC ABCi中，AA AC 2, AB BC ,且AB BC ,O为AC中点,A1O 平面 ABC .()求二面角G AAi B的余弦值；()求直线ACi与平面AABB所成角的正弦值19 .(本题满分8分)22已知椭圆E： x- 冬1(a b 0), B1、B2分别是椭圆短轴的上下两个端点；F1是椭a b圆的左焦点，P是椭圆

9、上异于点 B、B2的点，B1F1B2是边长为4的等边三角形.()写出椭圆的标准方程;()设点R满足：RB1 PB1, RB2 PB2 .求证：PB1B2与RB1B2的面积之比为定值.20.(本题满分8分)已知 an n , bn 2n 1,记 g maxb1 aIn,b2 a?" ,bn ann(n 1,2,3,)，其中maxx1，X2, ,Xs表示x，X2, , Xs这s个数中最大的数.(I )求 C1,C2,C3 的值；()证明cn是等差数列高二数学试卷第5页(共10页)16.(本题满分8分)石景山区2019-2020学年第一学期高二期末数学试卷答案及评分参考14 .，y轴;y轴

10、非负半轴，抛物线 y2 4x( 2(Jy 0),直线V x 1(x 1).三、解答题：本大题共 6个小题，共48分.15 .(本题满分8分)解：(I)因为数列an是等差数列，满足a11, a5 3,所以公差d a5a1 1.5 1所以数列an的通项公式为an n 2.2分因为 b2 2a2 2 , a2 0 ,所以b2 a22 ,又因为数列bn an是公比为2等比数列，所以bn an 2n1.4分所以bn 2n 1 n 2.5分(n) Sn b1b2 bn n 1(1 2 L 2 ) (1 2 L n) 2n2n 1 nn2n. 28分高二数学试卷第9页(共10页)解：(I)证明：因为四棱锥

11、P ABCD底面是正方形，且 PA 平面ABCD ,以点A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系.1分则 A(0,0,0), B(2,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0), D(0,2,0),因为E,F,G是BC,PC,CD的中点所以 E(2,1Q),F(1,1,1),G(1,2,0),所以 BG ( 1,2,0)，AP (0,0,2), AE (2,1,0),所以BG AP 0，且BG AE 0.3分所以 BG AP, BG AE,且 AE AP A.所以BG，平面PAE .4分(n)假设在线段 BG上存在点H ,使得FH 平面pae.设BH

12、 BG(01) ,5分则 FH FB BH AB AF BG (1,21, 1).因为FH 平面PAE, BG，平面PAE ,所以 FH GB ( 1) (12(21) 0 ( 1) 5 3 0.6 分3所以 一.7分BG 55 BH3 所以，在线段 BG上存在点H ,使得FH 平面PAE.其中 -.17.解:(本题满分8分)(I)因为椭圆 c的焦点为F1( J2,0)和F2(J2Q),长轴长为4,所以椭圆的焦点在 x轴上, 所以b 2.c .2, a 2.18.2所以椭圆c的标准方程上(n)设 A(x1, y1),2,x 由y2y2x 1,4Bdm), 4,得 3x22L 1.2AB线段的中

13、点为M (x°, y°),4x 20,0 ,所以Xi所以x0X24,XX2323, y° x0所以弦AB的中点坐标为|AB| .1 k2 ,(本题满分8分)23，1,32 1-,-)，3 3、2x1 x2)4x1x24.53解：(I)联结OB ,因为AB BC ,所以OBAC.又因为AO 平面abc ,所以以点O为坐标原点，OA,OB, OA所在直线分别为 空间直角坐标系.则 A(1,0,0),B(0,1,0),C( 1,0,0), A(0,0, .3),uLir- uur所以 AA ( 1,0, 3), AB ( 1,1,0).设平面AABB 的法向量为 n1

14、(x1.y1,z1),n1则_n1AAi 0, 一 即AB 0,xiy10,0,1,则 n1(J3,73,1).3分4分x,y,z轴建立如图所示1分易知平面AA1cle的法向量n2 (0,1,0),cos r,n2n1 n221| n1 | n217所以二面角Ci AA B的余弦值为217（n）设直线 AG与平面AABB所成角为UULUCC1uurAA1(1,0, 3),uuuuACiuuuACULUU_CC1 ( 3,0, 3)则sinur LULL-|Ln1 AUUu|三.|52|7所以直线AC与平面AABB所成角的正弦值为高二数学试卷第9页（共10页）19.（本题满分8分）解：（I）因为

15、 B1F1B2是边长为4的等边三角形,所以 b 2,c 2 .3.所以a 4.2所以，椭圆的标准方程为 16PB1的方程为y（n）设直线PBi, PB2的斜率分别为k,k',则直线由RB PBi ,直线RBi的方程为x k（y2)16kx 0,22kx 2代入1 ,得 4k2 1164因为P是椭圆上异于点Bi, B2的点，所以Xp16k4k2 1所以k' 7 JXp4k由RB2PB2 ,所以直线RB2的方程为y4kxk(y 2) 04kx,得 Xr F-4k 1所以修S rb1b2XpXr16k_4k2_14k4 k2 14.20.(本题满分8 分)解：(I)易知ai1 ,a22,a33 且61, d 3,b35所以ci bi ai 1 1 0,1分c2 maxn 2a1,b2 2a2 max1 2 1,3 2 21,2 分c3 max b1 3a1,b2 3a2,b3 3a3 max 1 3 1,3 3 2,5 3 32.3分(n)下面证明：对任意 n N*且n>2,都有 品 6 Q n .4分当k N*且20k&am