(完整版)南昌大学2009-2010历年数学物理方法ABC三卷(附全部答案)

1、南昌大学20092010学年第二学期期末考试试卷试卷编号：6032 ( A港课程编号： Z5502B011课程名称:数学物理方法考试形式：闭卷适用班级：物理系08各专业 姓名:学号:班级:第37页共34页题号一一三四五六七八九十总分累分人 签名题分484012100得分专业:考试日期:考生注意事项：1、本试卷共 5页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。、填空题(每小题4分，共48分)1.设i为虚数单位，复数 1 2i /(2 i)ln(1 葭3)2.设i为虚数单位，且x和y为实数，复变函数f(z) x iy( 填“是”或

2、得分评阅人“不是”)可导的，理由是3.x2 y2是否有可能为某解析函数f(z)的实部？答:(填“有可能”或),理由是4.122010Kx 1)tan(sinx) (x3) dx5.根据柯西公式，积分|z 2008 |z 2009e dz3 z 2010个极点，为阶极点；在极点处的留数, 17 .当1 1z1 2,试以原点为中心将 不做级数展开为 1(0 t 1)8 . f(t) 1( 1 t 0)的傅里叶变换为 。0 (I t I 1)9 . 1 t2 tet的拉普拉斯变换为。10 .数学物理方程如果没给定解条件，一般会有 个解；数学物理方程定解问题的适定性是指解的 , , 。11 .一根两端

3、(左端为坐标原点而右端x l)固定的弦，用手在离弦左端长为1/6处把弦朝横向拨开距离h,然后放手任其振动。横向位移u(x,t)的初始条件为12 .偏微分方程Uxx 2Uxy 4Uyy 5u* 7Uy 3刈9 0的类型为( 备选答案：A.双曲型B.抛物型C.椭圆型D.混合型)；为了得到标准形，可以采用的自变量函数变换为 0二、求解题(每小题10分，共40分)得分评阅人说明：要求给出必要的文字说明和演算过程。1.用留数定理计算复积分 I 。dz|Z2|3Z(Z 2)( z 4)2.用留数定理计算实积分Icosx , 2 dx o9 x23 .可使用拉普拉斯变换或其它任何方法求解下列常微分方程初值问

4、题d5y 3dy 2y et,y(0)1, y(0) 2.dt dt已知拉普拉斯变换 Ltnest一吟7 , Ltn $。p sP其中可为任意和本征函数。4 .设X(x)满足方程X X 0和边界条件X(0) X( /2) 0, 实数，试根据 的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值三、数学物理定解问题(共12分)1.考查无限长弦定解问题：Utt 4Uxx cost (t 0),且初始条件为w,使得U It 0 sin x , Ut|t 0 0。先寻找泛定方程的一个特解v,再作变换u v w的泛定方程为齐次，然后利用达朗贝尔公式求解该问题。南昌大学20092010学年第二学期期末考试试卷试卷

5、编号：6032 ( B )卷课程编号：Z5502B011课程名称:数学物理方法考试形式:闭卷适用班级： 物理系08级 姓名： 学号： 班级： 学院：专业：考试日期：题号一一三四五六七八九十总分累分人 签名题分364024100得分考生注意事项：1、本试卷共7页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。-、 填空题(每小题3分，共36分)得分评阅人说明：两个空的小题，第一个空 2分，第二个空1分。1 .复数, ln( i) 。2 .若解析函数 f(z) u(x, y) iv(x,y)的实部 u(x, y) x2 y2 xy

6、,则虚部 v(x, y) 若u(x, y) x y ,则虚部为 。3 .已知，l为任一回路，n为任一整数，a不在l上，则(z)ndz o4 .在0 |z| 1的环域上，函数f(z) 1的洛朗级数展开为 z(z 1)O15 . xsinx (x -) dx 。6 .函数f(z) e1/z在z 0的奇点类型为，其留数为。7 .孤立奇点可分为三类，分别为08 .函数f (t) t (|t| 1)的傅里叶变换为。0 (|t| 1)9 . 1 tet的拉普拉斯变换为 o10 . 一根两端(左端为坐标原点而右端x l)固定的弦，用手在离弦左端长为2/3处把弦朝横向拨开距离h,然后放手任其振动。横向位移u(

7、x,t)的初始条件为11 .数学物理方程定解问题的适定性是指解的,012 .判断下面的说法是否正确，正确的在题后的“()”中打，错误的打X(1)若函数f(z)在z点解析，则函数f (z)在z点可导。(2) Uxy 2yuUx 6xUy Uyy x3y2u是二阶线性齐次偏微分方程。(3)若函数f(z)在某区域上解析，则对该区域上的任一分段光滑曲线l ,都有。J(z)dz 0。(二、求解题(每小题10分，共40分)得分评阅人说明：要求给出必要的文字说明和演算过程。1.用留数定理计算复积分Izdz|z 2 | 2 ( z1)( z2)22.用留数定理计算实积分cos2x4 x2dx。3 .用拉普拉斯

8、变换求解dy dzdy z 1dtdty1dy t ,z(0) 2 z e dt clcl已知tnetn二T。p sp4 .试给出偏微分方程Uxx 8Uxy 7Uyy 6u* 9Uy 3u 1 0的特征方程，并判断其类型，然后求解特征方程，最后给出能使方程化为标准形的自变量变换（注意：不 必写出标准形）。三、偏微分方程求解题（共24分）得分评阅人1 .试写出达朗贝尔公式，并求解偏微分方程Utt Uxx 0 ,初始条件为u |t 00, ut|t 0 xsin x。（本小题 10 分）2 . (1)已知矩形区域0 x ,0 y上的拉普拉斯方程Uxx Uyy Q (0 X ,0 y )； U|x0

9、 QUlxQ分离变量u(x, y) X(x)Y(y),导出X (x)和Y(y)满足的方程，以及 X(x)的边界条件，由此得到X(x)的本征值问题并求解，然后利用所求得的本征值求解Y(y),最后证明u(x, y)(Aneny Bne ny )sin nx ,n 1其中An和Bn是只与n有关的待定系数。(9分)(2)利用(1)的结果求解泊松方程Uxx Uyy cosy (0 x ,0 y );U|x0 u|xcosy；u1yo1,u1y1 sinxcosc提示：寻找泛定方程的一个特解 v,使得经变换u v w后所得w的泛定方程和第 一组边值都是齐次的。(5分)（此页非草稿纸，请勿撕下！）南昌大学2

10、0092010学年第二学期期末考试试卷试卷编号：6032 ( C )卷课程编号：Z5502B011课程名称:数学物理方法考试形式:闭卷适用班级： 物理系08级 姓名： 学号： 班级： 学院：专业：考试日期：题号一一三四五六七八九十总分累分人 签名题分3070100得分考生注意事项：1、本试卷共5页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。二、解答题(本题满分30分)得分评阅人1.关于复变函数f(z) u(x,y) iv(x,y)(注意u(x, y)和v(x, y)分别是x与y的二元实函数，而i为虚数单位)，试解答：(18

11、分)(1)在点Z0可导的定义；(2)可导的必要充分条件；(3)在点Z0解析的定义；(4)在区域B上解析的定义；(5)在一点可导与解析的关系；(6)在区域上可导与解析的关系。2.已知 |ei1| 2,求（0）。（12 分）、计算题(本题满分70分)得分评阅人1 .用留数定理计算。1dz,其中C为以原点为圆心，半径为3的圆周z (z 1)( z 5i)C -,2 /z| 3。(20分)2 .已知y(t)和z(t)为t的函数，且t 0。若y(t)和z(t)满足dydtdz(t)dty(t)3y(t)z(t) 6e2tz(t) 6e2ty(0)z(0)试用拉普拉斯变换求解y(t)和z(t)。注意：tn

12、est J,estP sn!1t IT, 1 一,其中n为非负整数，s为任一常数。(15分)。(20分)3 .设X(x)满足方程X X 0和边界条件X(0) X(l) 0,其中 可为任意实数, 试根据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值zez展开为泰勒4 .已原点Zo 0为展开中心，在原点Z0 0的邻域上，将函数f(z) 级数。(15分)南昌大学20092010学年第二学期期末考试试卷参考答案与评分标准试卷编号：6032 ( A )卷课程编号： Z5502B011课程名称:数学物理方法考试形式：闭卷适用班级：物理系08各专业 姓名:学号:班级:题号一一三四五六七八九十总分累分人 签名题

13、分484012100得分专业:考试日期:考生注意事项：1、本试卷共 5页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。、填空题(每小题4分，共48分)1.设i为虚数单位，复数 12i/(2 i) (-4+3i)/5; ln(1 i 3)得分评阅人In 2 (2k-)i (k 0, 1, )。(2+2=4分)2 .设i为虚数单位，且x和y为实数，复变函数f (z) x iy 不是(填“是”或“不是“)可导的，理由是 不满足柯西-黎曼条件(2+2=4分)3 . x2 y2是否有可能为某解析函数f(z)的实部？答:能(填“有可能”或),

14、理由是 它为调和函数 (2+2=4分)1 24 . 2010Kx 1)tan(sinx) (x 3) dxz 2009e5 .根据柯西公式，积分7c|z 2008 | 3 z 2010dz 2 i /e26 .函数f (z) 有1个极点，为 1阶极点；在极点处的留数为 z2 3z 4_-4_( 1+1+2=4 分)。 k.1k/1Z7 .当1 |z| 2,试以原点为中心将f做级数展开为(1)Gi胃力(2+2=4分)z“ 3Z 2ko Z 21(0 t 1)8 . f(t) 1( 1 t 0)的傅里叶变换为 2(1 cos )/( )00(|t| 1)9 . 1 t2 tet的拉普拉斯变换为 -

15、 -23 二(Rep 1)。(1+1+1+1=4 分)p p (p 1)10 .数学物理方程如果没给定解条件，一般会有无数 个解；数学物理方程定解问题的适定性是指解的存在 ,_唯一，_ H定_。(1+1+1+1=4分)11.一根两端(左端为坐标原点而右端x l)固定的弦，用手在离弦左端长为l/6处把弦朝横向拨开距离h,然后放手任其振动。横向位移u(x,t)的初始条件为u(x,0)6h 小 l、x(0 x)l66h(l x)(lx5l 6;ut(x,0) l)0o (3+1=4分)12.偏微分方程Uxx 2uxy 4Uyy 5ux 7Uy 3刈9 0的类型为 C ( 备选答案：A.双曲型B.抛物

16、型C.椭圆型D.混合型)；为了得到标准形，可以采用的自变量函数变换为x y, x ( 2+2=4分)二、求解题(每小题10分，共40分)得分评阅人说明：要求给出必要的文字说明和演算过程。1.用留数定理计算复积分 Iz；3；(7。Resf(4) lim 1 .(4分)由留数定理得lizm z(z 2) 24111，一I 2 i(Resf(0) Re sf (4)2 i( ) i.(4 分)82462.用留数定理计算实积分I“cosx八解：I 2 2dx（2 分）0 9 x（2分）,它的留数为cosx2 dx o9 x4(izeS(z) 2有两个单极点3i ,其中3i在上半平面ResS(3i) l

17、im (z 3i)S(z)lzmizez 3i三L （4分），由留数定理得 e36i9 zI 2 i Re sS（3i）y.（2 分）3e3.可使用拉普拉斯变换或其它任何方法求解下列常微分方程初值问题d2y dyt/ 3dt 2y e,y1y 2.已知拉普拉斯变换LtnestP7,中,齐解：设y的拉普拉斯变换为y ,则微分方程初值问题有拉普拉斯变换(p2y p 2) 3( py 1) 2y - ,(4 分)则有P 1一1p 5y2(p1)2(p2) (p1)( p2)1 12(p 1) (p 1)( p11(p 2) 32 ) (p 1)( p 2)11p 2)p 1（4分）反演之，得1542

18、(p 1)2 p 1 p 2.t t 2ty te 5e 4e(t 5)et 4e2t(2 分)4.设X（x）满足方程X X 0和边界条件X（0） X（ /2） 0,其中 可为任意实数，试根据 的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值和本征函数。解：（1）如果 0,则方程有通解X（x） C1exL C2e 一,结合边界条件只能有1当 Ci 0 时，I (n _)(n 0,1,2,)则2 2(2n 1)2 (n 0,1,2, ) ( 2 分)本征函数是X(x) C1 cos(2n 1)x (n 0,1,2, ) ( 2 分)三、数学物理定解问题(共12分)1 .考查无限长弦定解问题：t4Ux

19、x cost (t 0),且初始条件为u |t 0 sin x , ut|t 0 0o先寻找泛定方程的一个特解v,再作变换u v w,使 得w的泛定方程为齐次，然后利用达朗贝尔公式求解该问题。解：显然，v cost是泛定方程的一个特解(3分)。作变换u v w,得w的定解问题为:Wtt 4wxx0、(3分)w(x,0)1 sin x,wt(x,0)0根据达朗贝尔公式，有w(x,t)1 sin于是，1u(x,t)1 sin xcos 2t cost.(2 分)211 sin(x 2t) 1 sin(x 2t)(4 分) xcos 2t.南昌大学20092010学年第二学期期末考试试卷试卷编号：6

20、032 ( B )卷课程编号：Z5502B011课程名称:数学物理方法考试形式:闭卷适用班级： 物理系08级 姓名： 学号： 班级： 学院：专业：考试日期：题号一一三四五六七八九十总分累分人 签名题分364024100得分考生注意事项：1、本试卷共7页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题(每小题3分，共36分)得分评阅人说明：两个空的小题，第一个空 2分，第二个空1分。2 .复数ei(4k 3) /4 , in( i) (4k 3) i/2(k 0, 1, 2,)。3 .若解 析函数f(z) u(x, y)

21、 iv(x,y)的实 部u(x, y) x2 y2 xy ,则虚 部 v(x, y)(x2 y2)/2 2xy c ,若 u(x, y) x y ,则实部为 x y c。4 .已知，l为任一回路，n为任一整数，a不在l上，则(z )ndz 2( n = -1日l句，含 或者0 (其它情况)。5 .在0 |z| 1的环域上，函数f(z) 5.xsinx (x -) dx 0。的洛朗级数展开为 .z(z 1)231/z 1 z z z。6 .函数f(z) e1/z在z 0的奇点类型为本性奇点，其留数为1。7 .孤立奇点可分为三类，分别为可去奇点、极点、本性奇点。8 .函数f (t) t (| t

22、| 1)的傅里叶变换为2( cos sin / )/()。 0 (Itl 1)9 . 1 te1的拉普拉斯变换为1/ p 1/( p 1)2 (Rep 0)。10 . 一根两端(左端为坐标原点而右端x l)固定的弦，用手在离弦左端长为2/3处把弦 朝横向拨开距离h,然后放手任其振动。横向位移u(x,t)的初始条件为3hx/2l(0 x 2l /3)ut 0, u。3h(l x)/l(2l /3 x l)11 .数学物理方程定解问题的适定性是指解的存在性，唯一性，稳定性。12 .判断下面的说法是否正确，正确的在题后的“()”中打，错误的打X。(1)若函数f(z)在z点解析，则函数 ”2)在2点可

23、导。(，)(2) uxy 2yuux 6xUy Uyy x3y2u是二阶线性齐次偏微分方程。(X)(3)若函数f(z)在某区域上解析，则对该区域上的任一分段光滑曲线l ,都有：f (z)dz 0。( x)二、求解题(每小题10分，共40分)得分评阅人说明：要求给出必要的文字说明和演算过程。1.用留数定理计算复积分Izdz|z 2 | 2 ( z1)( z_ 、 D 02)2解：回路内有一个二阶极点z 2和一个单极点z 1 (2分)其留数为Resf 1 和 Resf (2)1(6 分)I 2 i(Resf(2) 0 (2 分)。2.用留数定理计算实积分cos2x解：根据留数定理有：cos2x I

24、 2 dx0 4 x2i41 i2z2ez在上半平面所有奇点留数之和(2分)所以Resf (2i)(3分)四(z2i)4i2ze2 z(3分)4 e4i一 e-42(2分)3.用拉普拉斯变换求解dydtdydtdz dty(0)z(0)已知tnestn!tnn!n 1P解：对方程拉普拉斯变换得Py(P)pz(p)y(p)z(P)-P化简得解之得Py(P)z(P)y(p)py(p)y( p)z(P)-(3 分)Z(p)z(P)-(2 分)(P 1)21(P 1)22P 12P 1-(2 分)由拉普拉斯逆变换得-(3 分)y(t) tet 2et 1, z(t) tet 2et4.试给出偏微分方程

25、Uxx 8Uxy 7Uyy 6Ux 9Uy 3u 1 0的特征方程，并判断其类型，然后求解特征方程，最后给出能使方程化为标准形的自变量变换(注意：不必写出标准形)。(注意：不必写出标准形)。解：特征方程(电)2 8型 7 0 (2分)，判别式 42 1 (7) 9 0故方程为双曲型 dx dx(3分)。特征方程的解为y x c1, y 7x c2(c*Dc2为任意常数)(3分)。所以，可化为标准形的自变量函数变换为y x, y 7x.(2 分)三、偏微分方程求解题(共24分)1 .试写出达朗贝尔公式，并求解偏微分方程Utt Uxx 0 ,初始条件为u t 00, ut t 0 x sin x。

26、(本小题 10 分)解：若方程Utta2Uxx0的初始条件为u|t 0(x), ut |t 0(x),则其解为111 x atu(x,t) 一 (x at) 一 (x at) 一 ( )d ,此即达朗贝尔公式。(4分) 222a x at本题中，a 1 ,(x) 0,(x) xsin x,则u(x,t)121 x t2 xtcossin1 x tdd cos2 xt1 x tcos d2 x tx t cos x t2x t cos x t2sin x t 2sin x t 2(6分)2 . (1)已知矩形区域0 x ,0 y上的拉普拉斯方程uxx uyy 0,(0 x ,0 y );u|x0

27、 0,u|xQ分离变量u(x, y) X (x)Y(y),导出X (x)和Y(y)满足的方程，以及X (x)的边界条件,由此得到X(x)的本征值问题并求解，然后利用所求得的本征值求解Y(y),最后证明u(x, y)(AnenyBne ny)sin nx ,n 1其中An和Bn是只与n有关的待定系数(9分)(2)利用(1)的结果求解泊松方程Uxx Uyy cosy (0 X ,0 y );u|x0 u|x cosy； u|y01,u1y1 sinxcosc提示：寻找泛定方程的一个特解 V,使得经变换u v w后所得w的泛定方程和第一组边值都是齐次的。(5分)(1)证明：设有试探解uX(x)Y(y

28、) , (1分)代入泛定方程和齐次边界条件X X 0X(0) X()Y Y 0. (1 求解本征信问题，得本征值本征函数X (x) C sin nx再解Y的微分方程得Y(y) 所以，一般解为nyu(x, y) (Ane n 1(2)解：特解v0分）n2 （n1,2,3,）（n1,2,3,） （4 分）AenyBe ny （2 分）Bne ny） sin nx （1 分）cos y, （1分）变换u v w使w wyy 0(0 x ,0 y );w|x0 w|x Qw1y 0 0,w1ysinxcosc由(1)得满足w的齐次泛定方程和第一组齐次边值的解为（1分）w(AnenyBne ny) si

29、n nxn 1因为上述解还满足第二组边界条件，于是An Bn 0（1分）1（Ae Be ）sinnx -sin2xn1 2一 1即 A2B2-, AnBn0 (n 2).(1分)2(e e )最后，得解u(x, y) cosy(e2y e2y)sin2x.(1分)2(e e )南昌大学20092010学年第二学期期末考试试卷试卷编号：6032 ( C )卷课程编号：Z5502B011课程名称:数学物理方法考试形式:闭卷适用班级： 物理系08级 姓名： 学号： 班级： 学院：专业：考试日期：题号一一三四五六七八九十总分累分人 签名题分3070100得分考生注意事项：1、本试卷共5页，请查看试卷中

30、是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。三、 解答题(本题满分30分)得分评阅人1 .关于复变函数f(z) u(x,y) iv(x,y)(注意u(x, y)和v(x, y)分别是x与y的二元实 函数，而i为虚数单位),试解答：(18 分)(1)在点Z0可导的定义；(2)可导的必要充分条件；(3)在点Z0解析的定义；(4)在区域B上解析的定义；(5)在一点可导与解析的关系；(6)在区域上可导与解析的关系。解：(1)若极限lim工Z) f(Z0)存在且与z 0的方式无关，则称复变函数f(z) z 0z在点z0可导。(3分) 函数f(z)可

31、导的必要充分条件是4个偏导数、,一存在-(1分)，且连续 x y x y-（1分），并且满足柯西-黎曼条件：，-v,、_u.（1分）x y x y（3）若函数f（z）在点Zo及其邻域上处处可导，则称f（z）在点Zo解析。 （3分）（4）若函数f（z）在区域B上每一点都解析，则称f（z）是区域B上的解析函数。（3分）（5）在一点可导与解析的关系：函数在某点解析，则必在该点可导；反之，不一定正确亦即，函数在一点可导与解析不等价。（3分）（6）函数在区域上可导与解析等价。（3分）2.已知 |ei 1| 2,求（0）。（12 分）解：由|ei1| 2得| cos i sin 11 2即（2分）、.（1 cos ）2 sin22于是（2分）2 2 cos 2所以（2分）2 2cos 4即（2分）cos 1最后，由于根据题意，0,所以（2分）（2 分）、计算题(本题满分70分)得分评阅人1.用留数定理计算。二dz,其中C为以原点为圆心，半径为3的圆周Cz2(z 1)(z 5i)|z| 3。(20 分)解：积分 I 2 iResf(0) Resf (1)(3 分)Resf (0)d lim z z 0dz1z2(z 1)(z 5iJd 1m)dz(z 1)(z 5i)1 i_25 5(9分)Resf (1) lim (z 1)1 lim1 - 包 (5 分)z 1 z (z 1)(z