由一道数学竞赛题而引发的思考

1、由一道数学竞赛题而引发的思考安徽省宁国水泥厂 吴忠群原题：如图1所示，AOB是单位圆的四分之一，半圆O1的圆心在OA上且与弧AB内切于点A，半圆O2的圆心在OB上且与弧AB内切于点B，半圆O1和半圆O2相外切，设两半圆的半径之和为x，面积之和为y。1试建立以x为自变量的函数y的解析式；2求函数y的最小值。（2000年山西省太原市数学竞赛试题）解：1设两圆的半径分别为R、r，由题设可知x = R + r，而y =（R2 + r2）/2 （1） 在图1中，显然有（R + r）2 =（1R）2 +（1r）2x2 = 22x + R2 + r2，结合（1）得：y =（x2 + 2x 2）/22将y =

2、（x2 + 2x 2）/2变形为y =（x+1）2 3/2 （2）下面我们来探讨R + r（即x）的取值范围：（i）如图2所示，当R最大（即Rmax=0.5）时，r则最小，此时由勾股定理可得：（0.5 + r）2 =（10.5）2 +（1r）2r=1/3 ， 即rmin=1/3，那么这时所得x=0.5+1/3 =5/6而当r最大（即rmax=0.5）时，R则最小，Rmin=1/3，这和上面所得x的值是一样的，即此时x=5/6；（ii）R=r时，此时由勾股定理可得：（2R）2 =2（1R）2 R=那么这时所得x=2（）因为5/6大于0.83，而2（）小于0.829，所以5/6比2（）要大，于是，

3、我们初步判断当x=2（）时，函数y取得最小值，那么将x=2（）代入解析式（2）就可以得到函数y的最小值ymin=（）接下来，我们来证明x的最小值是2（）：我们已经知道x2 = 22x + R2 + r2，再结合r = x R 可得：R2xRxR+1=0，对于这个关于R的二次方程，显然有0，即x2 +4x40 （x+2）2 8 x（因为x为非负数），即x的最小值是2（）。当然，我们也可以运用比较法来迅速地判断出“x”：首先，我们把上面的“R2xRxR+1=0”变形为x=（R2 +1）/（R+1）（）而（R2 +1）/（R+1）（）=R2 2（）R+3/（R+1） =R2 2（）R+（）2/（R+

4、1） =R（）2/（R+1）我们也可以将上述变形作如下处理：（R2 +1）/（R+1）（）=（R2 +2R+12R+2）/（R+1） =（R+1）2 2（R+1）+2/（R+1） =（R+1） 2/（R+1）=R（）2/（R+1）考虑到（R+1）0可以知道：R（）2/（R+1）0，再结合（）可知x（）0，即xx解罢本题，不禁引发了我们的以下思考：第一， 如何仅运用直尺（无刻度）和圆规正确地作出图1？第二， 对于本题，函数y是否存在最大值？若存在，则如何求得该最大值？若不存在请说明理由。 针对第一问，笔者给出这样的作图方法：如图3所示，先以O为圆心作出四分之一单位圆OAB，在OB上取适当 因为由

5、（i）可知1/3r1/2的点O2，以O2为圆心画O2，过O2作OB的垂线交O2于点K，连结AK交O2于点M，则直线O2M与OA的交点就是O1的圆心O1，最后以O1为圆心、以A O1（或MO1）长为半径画半圆O1即可。简单说明：不难知道O2MK是以O2为顶点的等腰三角形，而O2MKO1MA，所以我们就知道O1MA是以O1为顶点的等腰三角形，那么所作出的图形是满足题意的。针对第二问，我们的回答是肯定的。其实，我们从上述解答2中已经知道x1=5/6及x2=2（）是R在两种特殊情况下所取得的x的值，并且又很容易判断出5/6大于2（），而当x=2（）时，函数y取得了最小值，那么我们有理由相信当x=5/6时，函数y取得最大值。简证如下：同样，我们把上面的“R2xRxR+1=0”变形为x=（R2 +1）/（R+1）（）因为由（i）可知1/3R1/2，所以有（2R1）（3R1）0 6R25R+10 6+6R2 55R0 6（R2 +1）5（R+1）0 （R2 +1）/（R+1）5/6，结合（）可得：x5/6，所以当x=5/6时，函数y取得最大值，于是将x=5/6代入解析式（2）就可以得到函数y的最大值ymax=13/72。另外，关于x5/6，我们仍然可以运用比较法来迅速地给出证明：因为（R2 +1）/（R+1）5/6 =（6R2 5 R +1）/6（R+1）=（2R