“三线合一”证题

1、等腰三角形巧用“三线合一”证题“三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。本文结合实例说明其应用，供参考。一.直接应用“三线合一”例1.已知，如图1,AD是 ABC的角平分线，DE、DF分另是 ABD和 ACD的高。 求证：AD垂直平分EF分析：从本题的条件和图形特征看，欲证 AD垂直平分EF,因为有 12,所以只要证 AEF为等腰三角形即可证明： DE AB, DF AC12, AD ADRt AED Rt AFDAE AF又 12AD垂直平分EF例2.如图2, ABC中，AB = AC, AD为BC边上的高，AD的中点为 M , CM的延长线交AB于点K

2、,求证：AB3AKAB AC, AD BCAK KE EB AB A 90 , AB AC ,考虑作BD DC, BE EK3AK先连线，再用“三线合一”D是BC的中点，P为BC上任分析DE AB AC AD BCAM MD , AK KE例3.如图3,在ABC中,一点，作PE AB, PF AC,垂足分别为 E、F求证：(1) DE=DF; (2) DE DFDAEF图3BCP分析：（1）欲证二线段相等， 容易想到利用全等三角形。 观察DE为 BDE或 PDE 的一边，DF为 DFP或 DFC的边，但它们都没有全等的可能。由于 D为等腰直角三角 形的底边 BC上的中点，于是我们想到连结AD

3、一试，这时容易发现 AED CFD或BDF ADF问题得证。（2）欲证DE DF ,只要证 ADE ADF 90 ,即可但由（1）已证出 ADE CDF又 ADF CDF 90 ,故问题解决证明：连结AD。 D是BC的中点BAC 90 , AB AC1 AD BD BC2DA 平分 BAC, AD BC 1 DAB DAC - BAC 45 2B 45AB AC, PF AC, PE AB四边形PEAF是矩形PE FABPE 45 BBE PE AF又 AB AC, E CF又 EAD FCD 45 , AD DCAED CFDDE DF(2)AED CFDADE CDF又 ADF CDF 9

4、0ADF ADE 90即 DE DF三.先构造等腰三角形，再用“三线合一”例4.如图4,已知四边形 ABCD中， ACB ADB 90 , M、N分别为AB、CD 的中点，求证：MN CD分析：由于MN与CD同在 MCD中，又N为CD的中点，于是就想到证MCD为等腰三角形，由于MD、MC为Rt ADB、 Rt ACB斜边AB上的中线，因此 1MD MC -AB ,所以，问题容易解决。 2证明：连结DM、CMACB ADB 90 , M是AB的中点 -1DM CM - AB 2CMD是等腰三角形又 N是CD的中点， MN CDBECBAM图 1EF/MN, EF/BC ABC例5.如图5, AB

5、C中，BC、CF分别平分 ABC 和 ACB, AE BE 于 E, AF CF 于 F,求证：BMA CAN AMNABC AE BE12 AE BEAB AC BD ADBAC 2 DBC ABC DBCBAC 12 4 BACAB AC12 AE BC 2 C 90 BD ADDBC C 90DBCBAC 2 DBCABC CE CD DMBE BM EMBDEDMBE DB DE BM EM ABC ABCCE CDE CDEACB EACB 60 ABC DBC 30CDE E 1 ACB 30DBC E 30 DB DEFAE DAE CAD 60DM BE BM3030 ACEM

6、 AD BCDE AD BCCAD 30CAD 30FAE DAE CAD 60 30腰上的高与底边所夹的角是，则 与30 DAE AC DE等腰三角形顶角为 的关系式为 =。图1AB MB AE EM AF FN EF AMN分析：如图1,AB=AC , BDAC于D,作底边 BC上的高AE, E为垂足，则可知/EAC= / EAB1212,又 / EAC 90° ZC, Z90°/C , 所以例2.已知:如图2, ABC 中，AB=AC , CEXAE 于 E, CE1 _BC , E 在 ABC 外, 2求证：/ ACE= / Bo分析：欲证/ ACE= ZB, 即做

7、底边BC上的高即可。证明：作AD XBC于D, AB=AC ,RtAACE全等的三角形,BD又. CE1 C BC21-BC ,2BD=CE。在 RtAABD 和 RtAACE中,AB = AC , BD=CE ,RtA ABD RtAACE ( HL )。/ ACE= / B例3.已知：如图3,等边三角形 ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线一点，CE=CD , DM LBC于M ,求证：M是BE的中点。分析：欲证M是BE的中点，已知 根据等边4 ABC , BD是中线，可知/证明：联结BD,.ABC是等边三角形，DM XBC ,因此只需证 DB=DE ,即证/ DBE= ZE,DBC=30,因此只需证/ E=30° 。ABC= /ACB=60 ° CD=CE , ./ CDE= / E=30°BD是AC边上中线，BD 平分/ ABC ,即/ DBC=30 ° ./ DBE= / E。DB=DE又 ; DM ± BE ,DM 是BE边上的中线，即 M是BE的中点。练习11 .如图4,墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个如图所示的测平仪，在这个测平仪中，AB=AC , BC边的中点D处有一个重锤，小明将 BC边与木条重合，观察此重锤是否通过 A点，如通过A点，则