北师大版七年级下册数学培优压轴题教学文稿

1、北师大版七年级下册数学培优压轴题北师大版七年级下册数学培优压轴题一.解答题(共8小题)1 .已知四边形 ABCD 中，AB=BC, /ABC=120 , / MBN=60 , / MBN 绕 B点旋转，它的两边分别交 AD, DC (或它们的延长线)于E, F.当/MBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1),易证AE+CF=EF;当/MBN绕B点旋转到AEWCF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE, CF, EF又有怎样的数量 关系？请写出你的猜想，不需证明.图1图2图3 N2 . (1)如图，在四边形 ABCD中，AB=AD , / B=/D

2、=90° , E、F分别是边BC、CD上的点,且/EAF卷/BAD.求证：EF=BE+FD;(2)如图，在四边形 ABCD中，AB=AD , / B+/ D=180 , E、F分别是边BC、CD上的点，且/EAF=/BAD, (1)中的结论是否仍然成立？B £ C(3)如图，在四边形 ABCD中，AB=AD , / B+/ ADC=180 , E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且/ BAD , (1)中的结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.3 .如图1,将两个完全相同的三角形纸片 ABC和DEC重合放置，其中/C=90 , ZB

3、=Z E=30° .(1)操作发现如图2,固定AABC,使4DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填 空: 线段DE与AC的位置关系是;设4BDC的面积为Si, zAEC的面积为S2,则Si与S2的数量关系是.图1（2）猜想论证当4DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中Si与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了 4BDC和4AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.（3）拓展探究已知/ ABC=60，点D是角平分线上一点，BD=CD=4 , DE/ AB交BC于点E（如图4） .若在射线BA上存在点F,使Sadcf=Sabde , 请直接写出相应的BF

4、4 .如图1,已知线段AB的长为2a,点P是AB上的动点（P不与A, B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正4APC和正4PBD.（1）当4APC与4PBD的面积之和取最小值时，AP=;（直接写结果）（2）连接AD、BC,相交于点Q,设/AQC=,那么a的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由；（3）如图2,若点P固定，将4PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°）,此时a的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）5 .如图1, RtAABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且 AD=EC ,AM垂直BD,垂足为M, AM的延长线交BC于点

5、N,直线BD与直线NE相 交于点F.试判断4DEF的形状，并加以证明.说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程 中的某种思路写出来（要求至少写 3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之 后，可以从下列 、中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明.1、画出将ABAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形；2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC / KN ,如图2）.附加题：如图3,若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断 6 .如图，已知等边三角形 ABC中，点D, E, F分别为边AB, AC, BC的中点，M为直

6、线BC上一动点，4DMN为等边三角形(点M的位置改变时， DMN也随之整体移动).(1)如图1,当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；(2)如图2,当点M在BC上时，其它条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图 2证明；若不成立，请说明理由；(3)若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断(1)的结 论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证 明或说明理由.7.已知：等边三角形 ABC(1)如图1, P为等边4ABC外一点，且/BPC=120 .

7、试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想;PA+PD+PO(2)如图2, P为等边 ABC内一点，且/APD=120 .求证:BD.AA8.认真阅读材料，然后回答问题:我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：(a+b) 1=a+b, (a+b) 2=a2+2ab+b2, (a+b) 3= (a+b) 2 (a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3,下面我们依次对(a+b) n展开式的各项系数进一步研究发现，当 n取正整数时可以单独列成表中的形式:(a+b)l11(a+b>. 12 1申尔 13 3 1田卬 14 & 41田吐液1

8、5 10 10 5 1(a+b.1 6 6 20 15 61上面的多项式展开系数表称为杨辉三角形”；仔细观察杨辉三角形"，用你发 现的规律回答下列问题:(1)多项式(a+b) n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；(2)请你预测一下多项式(a+b) n展开式的各项系数之和.(3)结合上述材料，推断出多项式(a+b) n (n取正整数)的展开式的各项系数之和为S,(结果用含字母n的代数式表示)2018年05月08日wujun的初中数学组卷参考答案与试题解析.解答题（共8小题）1.已知四边形 ABCD 中，AB=BC, /ABC=120 , / MBN=60 , / MBN 绕

9、 B点旋转，它的两边分别交 AD, DC （或它们的延长线）于E, F.当/MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1）,易证AE+CF=EF;当/MBN绕B点旋转到AEWCF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE, CF, EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.【解答】 解：V ABXAD , BCXCD, AB=BC , AE=CF ,在4ABE和4CBF中,AB 二 EC ZA=ZC=O° ,AE=CF.ABEACBF (SAS); ./ABE=/CBF, BE=BF;Z ABC=120 , /MBN=60 , ./AB

10、E=/CBF=30 ,.ae=-Lbe, cf=1bf；22 /MBN=60 , BE=BF,.BEF为等边三角形；. AE+CFBE+BF=BE=EF; 22图2成立，图3不成立.证明图2.延长DC至点K,使CK=AE ,连接BK ,在4BAE和4BCK中，AB=CEZA=ZBCK=90"AE=CKBAEWA BCK, .BE=BK, /ABE=/KBC,/ FBE=60 , /ABC=120 , ./FBC+/ABE=60 , ./FBC+/KBC=60 ,丁. / KBF= / FBE=60 , ftAKBF ffiAEBF 中,IBK=BENkbf二 NebfSF=BF.KB

11、FAEBF,KF=EF,KC+CF=EF,即 AE+CF=EF.图3不成立，AE、 CF、 EF 的关系是 AE- CF=EF.2. ( 1)如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD , Z B= Z D=90° , BC、CD 上的点,且 Z EAF=-i-Z BAD .求证：EF=BE+FD;、F分别是边(2)如图，在四边形 ABCD中，AB=AD , Z B+Z D=180 , E、F分别是边BC、CD上的点，且/EAF卷/BAD, (1)中的结论是否仍然成立？(3)如图，在四边形 ABCD中，AB=AD , / B+/ ADC=180 , E、F分别是边BC、CD延长线上的点

12、，且/BAD ,(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.【解答】证明：(1)延长EB到G,使BG=DF,连接AG./ ABG= / ABC= / D=90 , AB=AD , .ABGAADF . .AG=AF, /1 = /2. / 1+/3=/2+/3=/ EAF=JBAD .2 ./GAE= /EAF.又AE=AE,.AEGAAEF.EG=EF.v EG=BE+BG.EF=BE+FD(2) (1)中的结论EF=BE+FD仍然成立.FD.(3)结论EF=BE+FD不成立，应当是 EF=BE -证明：在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG./

13、B+/ ADC=180 , /ADF+/ADC=180 , . B=/ADF.v AB=AD ,.ABGAADF .丁. / BAG= / DAF , AG=AF . ./ BAG+Z EAD=/DAF+/EAD= ZEAF=yZBAD . ./GAE=/EAF.v AE=AE , .AEGAAEF. EG=EF v EG=BE - BGEF=BE FD.3.如图1,将两个完全相同的三角形纸片 ABC和DEC重合放置，其中/C=90° , ZB=Z E=30° .(1)操作发现如图2,固定AABC,使4DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关

14、系是 DE / AC ;设4BDC的面积为Si, zAEC的面积为S2,则Si与S2的数量关系是图1(2)猜想论证当4DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中Si与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了 4BDC和4AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.(3)拓展探究已知/ ABC=60，点D是角平分线上一点，BD=CD=4 , DE/ AB交BC于点E（如图4）.若在射线BA上存在点F,使Sadcf二Sabde,请直接写出相应的BF【解答】解：(1)一口£(：绕点C旋转点D恰好落在AB边上,AC=CD ,/ BAC=90 - Z B=90° -

15、30 =60° ,.ACD是等边三角形，Z ACD=60 ,X v/CDE=ZBAC=60 ,Z ACD=ZCDE,DE/ AC;. / B=30 , ZC=90 ,.CD=AC，AB ,2，BD=AD=AC ,根据等边三角形的性质，4ACD的边AC、AD上的高相等,.BDC的面积和AAEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即 Sl=S2；故答案为：DE/AC; Si=S2；(2)如图，:DEC是由4ABC绕点C旋转得到， .BC=CE, AC=CD,/ACN+/ BCN=90 , /DCM+/ BCN=180 - 90 =90°, ./ACN=/DCM ,vftA

16、ACN ffiADCM 中，ZACN=ZDa/CMD=/N=90，AC=CE.ACNADCM (AAS),AN=DM ,.BDC的面积和AAEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即 Si=S2；(3)如图，过点D作DFi/BE,易求四边形BEDFi是菱形,所以BE=DFi,且BE、DFi上的高相等，止匕时 SaDCFi=SaBDE ;过点D作DF21BD, /ABC=60 , FiD / BE, ./F2FiD=/ABC=60 ,. BFi=DFi, ZFiBD=t-ZABC=30 , / F2DB=90 , ./FiDF2=/ABC=60 , .DF1F2是等边三角形，DFi=DF2

17、, .BD=CD, /ABC=60，点D是角平分线上一点， ./ DBC=/DCB=»60 =30。， ./CDFi=180°- /BCD=180 -30 =150°,/ CDF2=360o- 150 - 60 =150°,丁. / CDF1 = /CDF2, 在4CDF1 和 4CDF2 中,'DFi 二吗, ZCEFZCDFj, tCD=CL.CDF1ACDF2 (SAS),点F2也是所求的点， . / ABC=60，点D是角平分线上一点，DE / AB , . / DBC= / BDE= / ABD= X 60 =30°,2又.

18、BD=4,BEX4+cos30=2 + =, 223bF1=-, BF2=BF1+F1F2=j+* = "上,3333故BF的长为竽或等.D4.如图1,已知线段AB的长为2a,点P是AB上的动点（P不与A, B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正4APC和正4PBD.（1）当4APC与4PBD的面积之和取最小值时，AP= a ;（直接写结果）（2）连接AD、BC,相交于点Q,设/AQC=,那么a的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由;（3）如图2,若点P固定，将4PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于【解答】解：（1）设AP的长是x,贝U BP=2a x,SaAP

19、C+SaPBD;4x汨 xi (2a-x)容 (2a x) 2222噜x2飞ax+国,当x=一b2a=a时APC与4PBD的面积之和取最小值,故答案为：a；(2) a的大小不会随点P的移动而变化，理由：: APC是等边三角形， .PA=PC, /APC=60 ,.BDP是等边三角形， . PB=PD, /BPD=60 , ./APC=/ BPD, ./APD=/CPB,.APDACPB, ./ PAD=/PCB, . /QAP+/ QAC+/ACP=120 , ./QCP+/QAC + /ACP=120 , ./AQC=180 - 120 =60°(3)此时a的大小不会发生改变，始终

20、等于 60°. 理由： APC是等边三角形， .PA=PC, /APC=60 ,.BDP是等边三角形， . PB=PD, /BPD=60 , ./APC=/ BPD, ./APD=/CPB,.APDACPB, ./ PAD=/PCB, . /QAP+/ QAC+/ACP=120 , ./QCP+/QAC + /ACP=120 , ./AQC=180 120 =60°.5.如图1, RtAABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且 AD=EC ,AM垂直BD,垂足为M, AM的延长线交BC于点N,直线BD与直线NE相 交于点F.试判断DEF的形状，并加以证明.说明：（

21、1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程 中的某种思路写出来（要求至少写 3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之 后，可以从下列 、中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明.1、画出将ABAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形；2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC / KN ,如图2）.附加题：如图3,若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断 DEF的形状，并说明理由.图1图2邺期【解答】解：4DEF是等腰三角形证明：如图，过点C作CP，AC,交AN延长线于点Pv RtAABC 中 AB=AC ./BAC=90 ,

22、 /ACB=45 ./PCN=/ACB, /BAD=/ACP. AM ±BD/ ABD+Z BAM= / BAM +/ CAP=90/ ABD= / CAP.BADAACP .AD=CP, /ADB=/PvAD=CECE=CP.CN=CN.CPNACEN.P=/ CEN ./ CEN=/ADB ./ FDE=Z FED .DEF是等腰三角形.附加题：4DEF为等腰三角形证明：过点C作CPLAC,交AM的延长线于点Pv RtAABC 中 AB=AC ./BAC=90 , /ACB=45 ./ PCN=/ACB=/ECN. AM ±BD/ ABD+Z BAM= / BAM +/

23、 CAP=90/ ABD= / CAP.BADAACP .AD=CP, /D=/P.AD=EC, CE=CP又.CN=CN.CPNACEN./ P=/ E. D=/E.DEF为等腰三角形.6.如图，已知等边三角形 ABC中，点D, E, F分别为边AB, AC, BC的中点，M为直线BC上一动点，4DMN为等边三角形(点M的位置改变时， DMN也随之整体移动).(1)如图1,当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；(2)如图2,当点M在BC上时，其它条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利

24、用图 2证明；若不成立，请说明理由；(3)若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证 明或说明理由.【解答】解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF）,点F在直线NE上,（2）成立.连接DF, NF,证明4DBM和4DFN全等（AAS）,.ABC是等边三角形，AB=AC=BC .又;D, E, F是三边的中点,EF=DF=BF. . /BDM+/MDF=60 , ZFDN+Z MDF=60 , ./ BDM=/FDN,rZBDit=Z7DK在ADBM 和4DFN 中， /ABH=/DFN,dmrn.D

25、BMADFN, .BM=FN, /DFN=/FDB=60 ,NF/ BD,. E, F分别为边AC , BC的中点， EFMAABC的中位线，EF/ BD, . F在直线NE上,v BF=EF, .MF=EN.(3)如图，MF与EN相等的结论仍然成立(或 MF=NE成立)连接DF、DE, 由（2）知 DE=DF, /NDE=/FDM, DN=DM ,DE=DFADNEffiADMF 中， /NDE=/FDJIDM=DM.DNEADMF ,MF=NE.7.已知：等边三角形 ABC(1)如图1, P为等边ABC外一点，且/BPC=120 .试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想;

26、(2)如图 2, P 为等边 ABC 内一点，且 /APD=120 .求证：PA+PD+PC>BD.【解答】猜想：AP=BP+PC,(1)证明：延长BP至E,使PE=PC,连接CE,/ BPC=120 ,丁. / CPE=60 ,又 PE=PC, .CPE为等边三角形， . CP=PE=CE, / PCE=60 , .ABC为等边三角形， .AC=BC, /BCA=60 , ./ACB=/PCE,丁. / ACB+Z BCP=ZPCE+Z BCP,即：/ACP=/BCE, .ACPABCE (SAS), . AP=BE,v BE=BP+PE, . AP=BP+PC.(2)证明：在AD外侧作等边AAB' D,则点P在三角形ADB外，连接PB', B'C,Z APD=120 .由（1）得 PB' =APPD,在APB' C中，有 PB+POCB, . PA+PD+POCB ,.AB' D、4ABC是等边三角形，AC=AB , AB' =AD,/BAC=/DAB =60°,丁. / BAC+Z CAD= / DAB +/ CAD ,即：/ BAD= / CAB ,. .AB'-AADB ,