【数学】高考试题分类汇编：文科立体几何答案版

1、全国高考数学试题汇编文科立体几何（答案分析版）2015 安徽卷一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（D. 80（如图所示）,A. 48B. 32 + 8/17C. 48+8/17C【解析】由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱所以该直四棱柱的表面积为S=2X2X（2 + 4）X4 + 4X4 + 2X4+2X y + 16 X 4 = 48 + 8/l7.2015 北京卷某四棱锥的三视图如图 1 1所示，该四棱锥的表面积是 （）A. 32由题意可知，该四棱锥是一个底面边长为4,高为2的正四棱锥，所以其表面积为 4X4 + 4X； X 4 X2 ACD的中位线

2、, . EF = 2AC =25=啦.20i5 浙江卷若直线l不平行于平面 a,且l? a,则（）A. a内的所有直线与l异面B . a内不存在与l平行的直线C. a内存在唯一的直线与l平行D . a内的直线与l都相交B【解析】 在a内存在直线与l相交，所以A不正确；若a内存在直线与l平行，又l? a,则有l / a,与题设相矛盾，B正确，C不正确；在a内不过l与a交点的直线与l 异面，D不正确.2015 广东卷正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（）A. 20 B . 15 C. 12 D. 10D 【解析】 一个下底面5个

3、点，每个下底面的点对于5个上底面的点，满足条件的对角线有2条，所以共有5X2 = 10条.2015 四川卷l1, l2, l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A .l 1 l2 ,l2 l3?l1 / l3B .l 1 _L 12 ,l 2 / l3 ?l1 _L l3C.l1 / l2 /l3? l1 ,l2, l3 共面D .l 1 , l2,l3 共点？ D l2,l3 共面B【解析】 对于A ,直线l1与l3可能异面；对于 C ,直线l1、l2、l3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线而不共面；对于D ,直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面.所以选B.2015 湖北卷设

4、球的体积为 V1,它的内接正方体的体积为 V2,下列说法中最合适的是（）A. V1比V2大约多一半B. V1比V2大约多两倍半C. V1比V2大约多一倍D. V1比V2大约多一倍半4D【解析】 设球的半径为 R,则V1 = ：tR3.设正万体的边长为 a,则V2= a3.又因为2R3=J3a,所以 Vi =3 % -2a 3 =Tta3, 5 5= -2- % -1 a3 1.7 a3.2015 辽宁卷已知球的直径 SC=4, A、B是该球球面上的两点， AB =2, / ASC = / BSC = 45 ,则棱锥S ABC的体积为（CZ DC. D.C【解析】 如图16,由于SC是球的直径，

5、所以/ SAC = Z SBC = 90 ,又/ ASC=/ BSC = 45 ,所以 SAC、 BSC为等腰直角三角形， 取SC中点D ,连接AD、BD .1由此得 SCXAD, SCXBD ,即 SCL平面 ABD .所以 Vs-abc = Vs-abd + Vc-abd =-$ 3ABD , SC .由于在等腰直角三角形4 SAC中/ASC=45 , SC = 4,所以AD =2.同理BD = 2.又AB =2,所以 ABD为正三角形，所以 Vsabc= Saabd SC = X-X 22 sin60 X4 = 也,所以选 C.33 232015 课标全国卷已知两个圆锥有公共底面，且两圆

6、锥的顶点和底面的圆周都在同一3个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的16,则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 .12- 【解析】 如图，设球的半径为 R,圆锥底面半径为r,则球面面积为4 ttR ,圆锥底面 3面积为7,c 12 c3 3 c 1由题意 Tir2=- tR2,所以 r = *R,所以 OOi =，OA2-OiA2 = A /R2-4R2 =2R,所以 SOi=R+-R=3R,SiOi=R-R = -R,2222RS1O12 1所以 SO1 = 3R=3.22015 四川卷如图13,半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时, 球的表面积与该圆柱的侧

7、面积之差是 .图1 3大纲文数15.G832兀 【解析】 本题主要考查球的性质、球与圆柱的组合体、均值不等式的应用.如图1h o o4为轴截面，令圆柱的高为 h,底面半径为r,侧面积为S,球半径R=4,则-2+ r2 =R2,即 h = 2#2 r2.因为 S = 2 fh = 4 fR2-r2 = 4 疝二 R2 r2/ r2+R2-r2 22 haDx 上一LQ-x、,蛆 厂-0 4 N 2 2= 2 tR2,取等号时，内接圆枉底面半径为1-R,图为U2R,，S球S 圆柱=4 R2 2 R2 = 2 tR2= 32 兀.2015 全国卷已知正方体 ABCD AiBiCiDi中，E为CiDi

8、的中点，则异面直线 AE与 BC所成角的余弦值为 .2- 【解析】 取AiBi的中点F,连EF ,则EF / BC, / AEF是异面直线 AE与BC所成33_5的角，设正万体的棱长为 a,可得AE=2a, AF =/a,在 AEF中，运用余弦定理得 cos /AEF =2,即异面直线 AE与BC所成角的余弦值为 2.3320i5 安徽卷如图i4, ABEDFC 为多面体，平面 ABED与平面ACFD垂直，点 O在线段 AD 上，OA=i , OD=2, OAB , OAC , ODE , ODF 都是正三角形.(i)证明直线BC/EF;(2)求棱锥F-OBED的体积.图1 4【解答】(1)证

9、明：设G是线段DA与EB延长线的交点，由于 OAB与 ODE都是正三1角形，OA=1, OD=2,所以 OB 触2DE, OG=OD = 2.1同理，设G是线段DA与FC延长线的交点，有 OC触2DF, OG = OD = 2 ,又由于G和G都在线段 DA的延长线上，所以 G与G重合.在 GED和4GFD中，由OB统；DE和OC触；DF ,可知B和C分别是 GE和GF的中点.所以BC是4GEF的中位线，故 BC / EF.3(2)由 OB = 1 , OE = 2, / EOB = 60 ,知 Sa eob = ?而4OED是边长为2的正三角形，故 Saoed = 3.所以SOBED =S A

10、EOB + S AOED =过点F作FQXDG ,交DG于点Q,由平面ABED，平面ACFD知，FQ就是四棱锥F-OBED的高，且FQ=、/3,所以Vf-OBED = 3FQ S 四边形OBED =2015 北京卷图1 4如图14,在四面体 PABC中，PCXAB, PALBC,点D, E, F, G分别是棱 AP, AC,BC, PB的中点.(1)求证：DE /平面BCP;(2)求证：四边形 DEFG为矩形；是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.课标文数17.G4 2015 北京卷【解答】(1)证明：因为D, E分别为AP, AC的中点,图1 5所以 DE / PC

11、.又因为DE?平面BCP, PC?平面BCP ,所以DE /平面BCP.(2)因为D、E、F、G分别为AP、AC、BC、PB的中点，所以 DE / PC / FG ,DG / AB / EF ,所以四边形DEFG为平行四边形.又因为PCXAB,所以DE XDG ,所以平行四边形 DEFG为矩形.存在点Q满足条件，理由如下：连接DF , EG,设Q为EG的中点.1由(2)知，DFAEG = Q,且 QD = QE = QF = QG =2EG.分别取PC、AB的中点 M, N,连接 ME、EN、NG、MG、MN.与(2)同理，可证四边形 MENG为矩形，其对角线交点为 EG的中点Q,且 QM =

12、QN = EG.2所以Q为满足条件的点.2015 江苏卷如图1 2 ,在四B隹P ABCD中，平面PAD，平面ABCD , AB =AD ,Z BAD = 60 , E、F分别是AP、AD的中点.图1 2求证：（1）直线EF/平面PCD；（2）平面BEF，平面PAD .课标数学16.G4 , G52015 江苏卷本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系, 考查空间想象能力和推理论证能力.【解答】 证明：（1）在4PAD中，因为E, F分别为AP, AD的中点，所以 EF/PD.又因为EF?平面PCD , PD?平面PCD,图1 3所以直线EF /平面PCD .(2)连ZBD ,因为AB =

13、 AD, Z BAD = 60 ,所以 ABD为正三角形，因为 F是AD的 中点，所以BF AD.因为平面PAD，平面ABCD , BF?平面ABCD ,平面PAD n平面 ABCD = AD,所以BF，平面PAD.又因为BF?平面BEF ,所以平面 BEF，平面PAD.图1 #1 2015 课标全国卷如图18,四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，/DAB = 60 , AB =2AD , PD 上底面 ABCD .证明：PAXBD ;(2)设PD=AD = 1,求棱锥D-PBC的高.课标文数18.G5 , G11 2015 课标全国卷【解答】(1)证明：因为/ DAB =60 ,

14、 AB= 2AD,由余弦定理得 BD=、/3AD,从而 BD2 + AD2= AB2,故 BD AD.又PD，底面 ABCD ,可得BD PD,所以BD，平面PAD ,故PAXBD .(2)如图，作 DEXPB,垂足为E.已知PD,底面 ABCD ,贝U PD BC.由知 BD AD ,又 BC / AD ,所以 BC BD.故 BC，平面 PBD , BC DE.则DE，平面PBC .由题设知 PD = 1,贝U BD = J3, PB = 2.根据 DE - PB=PD - BD 得 DE即棱锥D PBC的高为坐2015 陕西卷如图 1 8 ,在 ABC 中，/ ABC = 45 , /

15、BAC = 90 , AD 是 BC上的高，沿 AD把4ABD折起，使/ BDC = 90 (1)证明：平面 ADB，平面BDC ;(2)若BD = 1 ,求三棱锥 D ABC的表面积.图1 8课标文数16.G5 2015 陕西卷【解答】(1)二,折起前AD是BC边上的高,. 当 4ABD 折起后，AD DC , AD DB .又 DB ADC = D.AD，平面 BDC .AD 平面ABD ,，平面ABD，平面BDC .(2)由(1)知，DAXDB , DB DC , DC DA ,DB = DA = DC = 1. AB = BC = CA = D从而 Sa dab = Sa dbc =

16、Sa dca = _X 1 X 1 =.22SAABC = 2xSx 啦x sin60 =23.1，表面积S = 2X3 +2015 江苏卷如图1 2,在四棱锥 PABCD中，平面PAD，平面 ABCD , AB=AD,Z BAD = 60 , E、F分别是AP、AD的中点.求证：（1）直线EF/平面PCD;（2）平面BEF，平面PAD .课标数学16.G4 , G52015 江苏卷本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系, 考查空间想象能力和推理论证能力.【解答】 证明：（1）在4PAD中，因为E, F分别为AP, AD的中点，所以 EF/PD.又因为EF?平面PCD , PD?平面PC

17、D,图1 3所以直线EF /平面PCD .F是AD的(2)连ZBD ,因为AB = AD, / BAD = 60 ,所以 ABD为正三角形，因为 中点，所以BF XAD.因为平面PAD，平面ABCD , BF?平面ABCD ,平面PAD n平面 ABCD = AD,所以BF，平面PAD.又因为BF?平面BEF ,所以平面 BEF，平面PAD.2015 辽宁卷如图18,四边形 ABCD为正方形，QA，平面 ABCD , PD/QA, QA = AB = 1PD.2证明：PQ，平面 DCQ;(2)求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥 P-DCQ的体积的比值.课标文数18.G7 2015 辽宁卷【解答】(

18、1)由条件知PDAQ为直角梯形.因为QA，平面ABCD ,所以平面 PDAQ，平面ABCD ,交线为 AD .又四边形 ABCD为正方形,DC AD ,所以DC，平面PDAQ ,可得PQ DC.2在直角梯形 PDAQ中可得DQ=PQ=j-PD,则PQXQD.所以PQL平面DCQ .(2)设 AB = a.1 3由题设知AQ为棱锥Q-ABCD的高，所以棱锥 Q-ABCD的体积Vi=a3.3由(1)知PQ为棱锥P-DCQ的高，而PQ =、/2a, DCQ的面积为乎a2,1 。所以棱锥P-DCQ的体积V2 = 1a3.3故棱锥Q-ABCD的体积与棱锥 P-DCQ的体积的比值为1.1 2015 湖南卷

19、如图15,在圆锥 PO中，已知PO=2, OO的直径AB = 2,点C 在AB上，且/ CAB = 30 , D为AC的中点.(1)证明：AC，平面POD;(2)求直线OC和平面PAC所成角的正弦值.图1 5课标文数19.G5 , G11 2015 湖南卷【解答】(1)因为OA = OC , D是AC的中点，所以 ACXOD.又PO,底面。O, AC?底面。O,所以ACXPO.而OD , PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC，平面POD.(2)由(1)知，AC，平面POD,又AC?平面PAC,所以平面POD，平面PAC.在平面POD中，过O作OHLPD于H,则OH，平面PAC.图1 6连

20、结CH ,则CH是OC在平面PAC上的射影, 所以/ OCH是直线OC和平面PAC所成的角.在 RtAODA中，OD = OA sin30在 RtAPOD中,OH =在 RtAOHC 中，sin Z OCH =OHOC 3故直线OC和平面PAC所成角的正弦值为图1 72015 浙江卷如图17,在三棱锥 PABC中，AB=AC, D为BC的中点，POX平面ABC ,垂足O落在线段AD上.(1)证明：APXBC ;(2)已知 BC=8, PO=4, AO = 3, OD = 2 ,求二面角 B AP C 的大小.课标文数20.G11 2015 浙江卷【解答】(1)证明：由AB=AC, D是BC中点

21、，得ADXBC ,又 PO,平面 ABC ,得 POXBC ,因为POnAD=O,所以BC，平面PAD,故BCXAP.(2)如图，在平面 APB内作BM，PA于M,连CM.因为BCXPA,得PAL平面BMC ,所以APXCM.故/ BMC为二面角 B AP C的平面角.在 Rt AADB 中,AB2 = AD2+BD2=41 ,得 AB=y4T在 RtAPOD 中,PD2=PO2 + OD2,在 RtAPDB 中,PB2=PD2+ BD2,所以 PB2 = PO2 + OD2 + BD2 = 36 ,得 PB = 6.在 Rt POA 中，PA2=AO2+OP2 = 25 ,得 PA=5.PA

22、2 + PB2-AB2 1又3 /BPA = -2PA PB一 ，一 2 2 从而 sin / BPA = 3故 BM = PBsin / BPA =4也.同理 CM =4啦.因为 BM2 + MC2=BC2,所以/ BMC = 90 ,即二面角B APC的大小为90 图1 52015 福建卷如图1 5,四棱锥 P-ABCD中，PAL底面 ABCD , ABXAD，点E 在线段AD上，且CE / AB.(1)求证：CEL平面PAD;(2)若 PA = AB=1, AD =3, CD=/2, Z CDA = 45 ,求四棱锥 P-ABCD 的体积.课标文数20.G12 2015 福建卷【解答】(

23、1)证明：因为 PAL平面ABCD, CE?平面ABCD ,图1 7所以PAXCE.因为 ABAD, CE /AB,所以CELAD.又 PAA AD=A,所以CE，平面PAD.(2)由(1)可知 CEXAD.在 RtAECD 中，DE = CD cos45 =1, CE = CD sin45=1.又因为 AB = CE = 1, AB / CE ,所以四边形ABCE为矩形.115所以 S 四边形ABCD = S矩形ABCE + SaECD =AB - AE+2CE - DE = 1 X2+&X1 x 1 =.又 PAL平面 ABCD , PA = 1 ,所以 V 四棱锥 P ABCD = S

24、四边形 ABCD , PA=匚XX 1 = .33 26兀22015 江西卷如图17,在ABC中，/B = 2, AB=BC = 2, P为AB边上一动点，PD / BC交AC于点D,现将 PDA沿PD翻折至 PDA ,使平面PDA ，平面PBCD .(1)当棱锥A PBCD的体积最大时，求 PA的长；(2)若点P为AB的中点，E为AC的中点，求证：A BXDE.图1 7课标文数18.G12 2015 江西卷【解答】(1)令PA=x(0x0, f(x)单调递增;当 xe -J3, 2 时，f (x)0, f(x)单调递减,所以，当x = 3卜时，f(x)取得最大值,即：当Va， PBCD最大时

25、，PA=(2)证明：设F为A B的中点，连接 PF, FE.则有EF触BC , PD触BC ,所以EF统PD,四边形DEFP为平行四边形，所以 DE / PF,又 A P= PB,所以 PFA, B,故 DEA, B.2015 山东卷如图1 5,在四棱台 ABCD -AiBiCiDi中，DiD,平面ABCD ,底面 ABCD 是平行四边形， AB = 2AD , AD =AiBi, / BAD = 60 .(1)证明：AAiXBD ;(2)证明：CCi /平面 AiBD .课标文数19.G12 2015 山东卷【解答】证明：证法因为DiD，平面 ABCD，且BD?平面ABCD ,图1 6所以

26、DiDXBD.又因为 AB = 2AD, / BAD = 60 ,在4ABD中，由余弦定理得BD2 = AD2 + AB2 2AD ABcos60 =3AD2.所以 AD2+BD2= AB2,所以AD BD .又 AD ADiD = D,所以BD，平面 ADD 1A1.又 AAi?平面 ADD 1A1,所以 AAiXBD .证法二： 因为DiD,平面 ABCD，且BD?平面ABCD ,图1 7所以 BD DiD,取AB的中点G,连接DG.在4ABD 中，由 AB =2AD 得 AG = AD ,又/ BAD = 60 ,所以 ADG为等边三角形.因此GD = GB.故/ DBG =/ GDB

27、,又/ AGD = 60 ,所以/ GDB = 30 ,故/ ADB =/ADG+/GDB = 60 + 30 = 90所以BD XAD.又 AD ADiD = D,所以BD，平面 ADD 1A1,又 AAi?平面 ADD 1A1,所以 AA11BD .(2)连接 AC, A1C1. 设 ACABD =E,连接 EAi.因为四边形ABCD为平行四边形，1所以 EC=&AC,由棱台定义及 AB = 2AD = 2AiBi知，AiCi / EC 且 AiCi = EC,所以四边形 AiECCi为平行四边形.因此 CCi II EAi,又因为EAi?平面AiBD , CCi?平面AiBD ,所以CC

28、i /平面AiBD .20i5 四川卷如图 i5,在直三棱柱 ABCAiBiCi 中，/ BAC= 90 , AB=AC = AAi=i ,延长AiCi至点P,使CiP= AiCi,连结AP交棱CCi于点D.(i)求证：PBi/平面 BDAi;(2)求二面角A AiD B的平面角的余弦值.图1 52015 四川卷【解答】 解法一：连ZABi与BAi交于点O,连结OD. CiD /AAi, AiCi= CiP,. AD =PD ,又 AO = BiO, .OD / PBi.图1 6又 OD?平面 BDAi, PBi?平面 BDA i,.PBi /平面 BDA i.(2)过A作AEXDAi于点E,

29、连结BE. BA CA, BAAAi,且 AAi n AC = A,由三垂线定理可知 BEXDAi.BEA为二面角A-AiD-B的平面角.在 RtAiCiD 中，AiD=J 2 2+12 =*，又 SAAAiD=-x 1 xi =-xxAE, 222. .ae” 5在 Rt BAE 中，BE =-25:355，cos /BEA =” =c. BE 3故二面角A AiD B的平面角的余弦值为 -. 320i5 天津卷如图i 7,在四棱锥 P-ABCD中=45 , AD=AC=i, O 为 AC 的中点，PO,平面(i)证明PB /平面ACM ;(2)证明AD，平面PAC;工底面ABCD为平行四边

30、形，/ADCABCD , PO=2, M 为 PD 的中点.BA，平面 AAiCiC.(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.图1 7课标文数17.G12 2015 天津卷图1 8【解答】（1）证明：连接BD , MO.在平行四边形 ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点.又 M为PD的中点，所以 PB/ MO.因为PB?平面ACM , MO?平面ACM ,所以PB /平面ACM .（2）证明：因为/ ADC= 45 ,且 AD=AC=1 ,所以/ DAC = 90 ,即 AD，AC.又PO，平面 ABCD , AD?平面 ABCD ,所以 PO,AD .而 AC n PO = O,所以 AD，平面 PAC.1取DO中点N,连接MN , AN.因为M为PD的中点，所以 MN / PO,且MN =2PO =1.由POL平面 ABCD ,得MN，平面 ABCD ,所以/ MAN是直线AM与平面ABCD所1成的角.在 Rt DAO中，AD = 1, AO = 2,所以DO =_521 .从而 AN = 2DO =.在RtANM 中,MN 14 5tan / MAN =-=, AN 55 即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为520.（本小题满分13分）九章算术中，将底面为长方形且