函数的图象与性质

1、函数的图象和性质一、填空题1设函数f(x)的定义域为集合A，则集合AZ中元素的个数是_2(2012·南京学情调研)已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)x，则f(4)的值是_3(2012·扬州质检)定义符号函数sgn x，则不等式：x2(2x1)sgn x的解集是_4(2012·天一、淮阴、海门中学调研)已知定义域为R的函数f(x)是奇函数，则a_.5(2012·苏州模拟，5)已知a20.5，b2.10.5，clog21.5，则a，b，c的大小关系是_6(2012·苏州模拟，6)设函数f(x)，则f(f(1)_.7设函数yf(x)

2、的定义域是R，对于给定的正数K，定义函数fK(x)，给出函数f(x)x22，若对于任意的x(，)，恒有fK(x)f(x)，则K的取值范围是_8二次函数f(x)满足f(3x)f(3x)，又f(x)是0,3上的增函数，且f(a)f(0)，那么实数a的取值范围是_9(2011·苏北四市调研)已知函数f(x)|x1|x2|x2 011|x1|x2|x2 011|(xR)且f(a23a2)f(a1)，则满足条件的所有整数a的和是_10(2012·常州调研，10)对于函数yf(x)(xR)，给出下列命题：(1)在同一直角坐标系中，函数yf(1x)与yf(x1)的图象关于直线x0对称；(

3、2)若f(1x)f(x1)，则函数yf(x)的图象关于直线x1对称；(3)若f(1x)f(x1)，则函数yf(x)是周期函数；(4)若f(1x)f(x1)，则函数yf(x)的图象关于点(0,0)对称其中所有正确命题的序号是_二、解答题11(2012·苏州模拟)已知函数f(x)，若函数yg(x)与yf(x)的图象关于原点对称(1)写出函数g(x)的解析式；(2)记yg(x)的定义域为A，不等式x2(2a1)xa(a1)0的解集为B.若A是B的真子集，求a的取值范围12(2011·苏州模拟)已知函数f(x)·(axax)(a>0，且a1)(1)判断f(x)的单调

4、性；(2)验证性质f(x)f(x)，当x(1,1)时，并应用该性质求f(1m)f(1m2)<0的实数m的范围13(2012·无锡调研)定义在R上的单调函数yf(x)满足f(2)3，且对任意x，yR都有f(xy)f(x)f(y)(1)试求f(0)的值并证明函数yf(x)为奇函数； (2)若f(m·3x)f(3x9x)3对任意xR恒成立，求实数m的取值范围14(2012·阜宁调研)已知函数f(x)x33|xa|·sin(·x)，其中，R. (1)当a0时，求f(1)的值并判断函数f(x)的奇偶性；(2)当a0时，若函数yf(x)的图象在x1处

5、的切线经过坐标原点，求的值；(3)当0时，求函数f(x)在0,2上的最小值参考答案：训练1函数的图象和性质1解析要使函数f(x)有意义，则32xx20，解得3x1，所以集合A3,1，故AZ3，2，1，0,1，有5个元素答案52解析因为函数f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)x，所以f(4)f(4)42.答案23解析由条件可得x2(2x1)sgn x或或，解得0x3或x0或x0，所以原不等式的解集为x|x3答案x|x34解析因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(1)f(1)，即，解得a2.答案25解析因为yx0.5，x(0，)是增函数，所以b2.10.5a20.51，又由对数函数

6、性质可知clog21.5log1，所以a，b，c的大小关系是bac.答案bac6解析由题意可得f(1)329，所以f(f(1)f(9)f(8)f(0)3.答案37解析fK(x)f(x)恒成立，f(x)K恒成立，Kf(x)max，又f(x)x22的最大值是2，k2.答案2，)8解析因为f(3x)f(3x)，所以yf(x)关于x3对称，又因为f(x)是0,3上的增函数所以f(x)是3,6上的减函数，又因为f(a)f(0)，所以0a6.答案0,69解析原有函数结构直接简化为f(x)|x1|x1|，不改变问题本质，f(x)为偶函数，且在1x1时，f(x)函数值始终为2，当f(a23a2)f(a1)时，

7、可能情形有：a23a2a1或a23a21a或从而整数a可有1,2,3，其和为6.答案610解析(1)错，例如yx；(2)错，关于直线x0对称；(3)对，令x1t，则f(t)f(t2)，周期为2.(4)对，令1xt，则f(t)f(t)，为奇函数综上，正确命题为(3)和(4)答案(3)(4)11解(1)在函数yg(x)的图象上任取一点P(x，y)，则P关于原点的对称点P(x，y)在yf(x)的图象上，则y g(x) (2)由01x，即Ax2(2a1)xa(a1)0a1xa，即Ba1，a因为A是B的真子集，故得a0所以a的取值范围为，012解(1)设x1<x2，x1x2<0,1>0

8、.若a>1，则ax1<ax2，>0，所以f(x1)f(x2)·(ax1ax2)·<0，即f(x1)<f(x2)，f(x)在(，)上为增函数；同理，若0<a<1，则ax1>ax2，<0，f(x1)f(x2)(ax1ax2)·<0，即f(x1)<f(x2)，f(x)在(，)上为增函数综上，f(x)在R上为增函数(2)f(x)(axax)，则f(x)(axax)，显然f(x)f(x)f(1m)f(1m2)<0，即f(1m)<f(1m2)f(1m)<f(m21)，函数为增函数，且x(1,1

9、)，故解1<1m<m21<1，可得1<m<.所以实数m的取值范围是(1，)13解(1)f(xy)f(x)f(y)，令xy0，代入式，得f(00)f(0)f(0)，即f(0)0.令yx，代入式，得f(xx)f(x)f(x)，又f(0)0，则有0f(x)f(x)，即f(x)f(x)对任意xR成立，f(x)是奇函数(2)f(2)3，即f(2)f(0)，又f(x)在R上是单调函数，f(x)在R上是增函数，f(m·3x)f(3x9x)3，可化为：f(m1)·3x9xf(2)，(m1)3x9x2对任意xR恒成立即9x(m1)3x20对任意xR恒成立令t3x

10、，则t0，问题等价于：t2(1m)t20在(0，)上恒成立，令g(t)t2(m1)t2，其对称轴方程为t，当0，即m1时，g(t)在(0，)上递增且g(0)20，m1满足题意当0时，即m1时g(t)ming0，1m21.综上所述，实数m的取值范围为m21，注：本题第(2)小问中，亦可用参变分离法：t2(1m)t20在(0，)上恒成立，可化为：m1t在(0，)上恒成立，令g(t)t(t0)，则g(t)2 2，m21，综上所述，实数m的取值范围为m21.14解(1)a0时，f(x)x33|x|·sin(·x)，f(1)4f(1)2，f(1)f(1)，f(1)f(1)，f(x)是非奇非偶函数(2)x0时f(x)x33xsin(x)，f(x)3x23cos(x)，在x1处的切线方程为y2(x1)，过原点，.(3)当a0时，x0,2时，f(x)x33x3a，f(x)3x23，f(x)在0,1上递减，在1,2上递增，yminf(1)3a2.当a2时，x0,2时，f(x)x33x3a，f(x)3x230，f(x)单调递增，yminf(0)3a.当0a2时，f(x)当0xa时，f(x)3x230，f(x)单调递增