数学最新公式、定理和方法

1、数学最新公式、定理和方法前 言1、在生活中常要量沙方、石方、土方等各种体积，可一般人都是用中间切面积乘高来计算各形体积是错误的，下面现给出了三个各形体积公式，供人们选用。2、也给出了两个等体积定理供研究参考。3、高大的建筑塔在地面上，不知高，也不知最上层顶面的尺寸，可计算塔身体积，给人们一个很大的方便。4、又给出了三个计算塔身或n棱台的体积公式，供选用。5、线段的比值公式，给中学增添了简证法，解决了不能解决的三个以上的连比值。6、和积定理给中学简化了因式分解过程，也解决了中学的一大难题，高决式在有理或无理数里分解成几个二次三项的乘积和解高次方程或方程组。7、由和积定理得x4+D的公式。8、由圆

2、积求方，解决了不能计算的圆头斧锤的体积。9、由方积化圆积在生活中有实用价值。10、这些公式定理未经他人看过，错漏一定有，仅供参考。11、有需要者或某杂志社社会发表，请来信、来电并说明发表的要求，邮寄是否可以，又供全文。12、联系地址：云南曲靖陆良马街郭家15社 李玉忠 电话13732700588一、由三角形面积公式得到的几个公式定理1、双积公式：BC2-AD22(ctgB-CtgC)=S2圆内接四边形S1梯形（两底边BC、AD是上、下）2、等面积定理：EF22（ctgE-ctgF)=BC2-AD22(ctgB-ctgC)=BC2-AD22(ctgB-ctgC)注：EF

3、是三角形的底边，BC、AD是梯形或圆内接四边形下底边、上底边，也就是说：如果三角形的底边EF=梯形（圆内接四边形）两底边BC2+AD2时，并且CE=CB、CF=CC时，则三角形的面积=梯形面积=圆内接四边形面积。3、正n棱锥的体积公式：nBC324tg90o(n-2n)tg2-tg290o(n-2n)4、正n棱台的体积公式：nBC3-AD324tg90on-2ntg2-tg290o(n-2n) 二、多功能公式的应用nhBC2+BCAD+AD2 12tg90on-2n的应用1、计算各形面积公式化为n3BC+BC+AD2+AD2、计算各种体积公式化为：当AD=0时，nhBC2+BCAD+AD2 1

4、2tg90on-2n为正n棱锥体积公式；nBC2 4tg90on-2n为中间切面积而nhBC2 12tg90on-2n为同面的2n面体积公式；h 3（下底长宽+下底长上底宽+下底宽上底长2+上底长宽）为长方台体积公式（在生活中常用）；h3(R12+R1R2+R22)为圆台体积公式；hBCAD6或hBC26为上、下口不等或等的挖斧形体积；h12底长底宽+12（底长口宽+底宽口长）+口长口宽为船形体积公式；3、切削体积公式圆头斧锤是在圆台上底圆上向下对切成ABCD长方形，上底为圆面，下底为长方形的圆头斧锤，而圆面化为方积PA2得体积公式：h 3(ABBC+ABPA+BCPA2+PA2)当AB=CD

5、=0时，公式为圆头斧形体积公式；如果在n棱台的上底边上向下对切成ABCD长方形，就得n棱头斧锤的体积公式为：h 3ABBC+ABBCnAD2tg90on-2n4+nAD2tg90on-2n4当AB=CD=0时，而BC为斧口长，而斧头为正n面形的体积公式为h 3BCnAD2tg90on-2n 2+nAD2tg90on-2n4，注n为偶数。4、等体积定理多功能公式化为h3BC2+BCAD+AD2=h3PC2有PC3高为3PC，上、下底边分别为AD、BC的正四棱台体积高为3PC，底边为PC的正四棱锥体积高为3PC，而PC2化为圆面积，半径为AD的圆锥形体积高为3PC，而上、下口长都为PC的挖斧形体积

6、的二倍高为3PC而中间切面积为PC2的圆面的八面体积高为3PC，而BC2、AD2都化为圆积，半径分别为A1D1、A2D2的圆台体积高为PC而底面积为PC2化圆积的圆柱体积或半径为 A1D的凸球体积当高h都等于3（BCAD）时，则有BC3AD3=下、上底分别为BC、AD的正四棱台体积PC为底边的正四棱锥体积PC2化为圆积，半径为A1D1的圆锥体积上、下口都为PC长的挖斧形体积的二倍PC2中间切面积的圆面的八面体积BC2、AD2化为圆积的圆台体积PC2化为圆积的圆柱积或半径为A1D的凸球体积或扁球体积的13。5、公式在数列中的应用，代数几何拼了家而h12(BC2+BCAD+AD2)tg90on-2

7、n为通项公式，n 棱塔的每一层为数列中的一项，故又由数列法得n棱塔或n棱台的几个公式，供生活中实用。一个n棱塔各层的高都是h，各层的上下底边之差都为一个常数，则塔身体积nhtg90o(n-2n)12aBC3-BC-n1a3=nhtg90on-2n12aAD+na3-AD3=nn1htg90on-2n12n1a(BC3-AD3)，注BC、AD为下、上底边，n1为层数。如果n棱塔每层的高h都等于下底的边长，而每层的上、下底边之差为a，这种塔身体积ntg90on-2n12n1an1BC-n1n1-12a BC3-BC-n1a3ntg90on-2n12n1an1AD+n1a+n1n1-12aAD+n1

8、a3-AD3工厂的大烟囱也是数列塔，建造时就根据高、上、下底半径长做成一个直角三角尺，使长直角边等于高h的n1等分之一，短直角边为长，也就是每高h，半径就缩短一个长，而斜边就是每层的斜高，而长直边上又钉有吊线，常用来检查砌的砖是否合尺。这样建造的烟囱内塘，空洞体积n1h3n1aR-0.253-(r-0.25)3=h3aR-0.253-(R-n1a-0.25)3，注：R为下底半径，r为上底半径，0.25为砖的尺寸。如果用铁皮做成n棱锥形容具n个，铁皮与底面的交口宽为a，铁皮与高h的交口长为bha边心距，要求由大到小相互内装就成为高为h，底面边长为BC的n棱铁一块，求这些容具的容积之和。解：这也是

9、一种数列，故此这些大小不同的容具的容积之和2nha33tg(n-2n)BC (n12+n12)2，注：n1边心距a为总个数。这里的a，再讲它的应用，如果要建造n棱塔，就必须要根据高、上、下底面的边心距，制做一个直角三角尺短边长为a，长直角边为层高，斜边为每层各面的斜高，而长直角边上要钉上吊线，常用来检查所砌的砖是否合尺，这样建造的n棱塔才会规格。三、圆积求方，方积又求圆，圆方三角形的应用PAD叫做固定的圆方三角形PA是正方形的一条边DA是圆半径RPA2=R21、原计划建造一个六面体水塔，为了量大，就改建成高为h，上、下底周长仍为原六面体水塔上、下底的周长，即6AD、6BC的圆形水塔较好，那么上

10、、下底半径如何找到？解：如图在PAD上，作PBPD；延长AD交PB于B；由AB中点E为圆心3AD2为半径划弧交DA的延长线于C点；作CA1PD交PA的延长线于A1；又作A1DAD交PD的延长线于D1点；即A1D1就是要求的圆台上底半径r；同样A2D2是所求的圆台下底半径R。2、如果要求圆积化为方积，那么A1D1为圆半径R，PA12就是圆积求方的面积。3、如果要求方积化为圆积，那么PA1就是正方形的边长，而A1D1就是方积化圆积的半径R。四、线段的比值公式如图：AECE = AMBDDMBD+CD利用它可证解十四种类型的几何题1、证线段相等； 2、证倍分线段相等3、证线共点； 4、证点共线；5、

11、证两线平行； 6、证线段成比例；7、证梅涅劳氏定理； 8、证线段为角平分线； 9、证等比线型；10、求线段的比值；11、求三个以上的连比值；12、求线的长度；13、求无穷远的距离和位置； 14、证两线平行无交点；例：如图B1、B2、B3、B4是BC的五等分点，D是AC的中，连AB1、AB2、AB3、AB4交BD于D1、D2、D3、D4求BD1：D1D2：D2D3：D3D4：D4D=84:60:45:35:28注：这是一道难题，利用比值公式计算为最简。 五、和积定理的应用在一个能分解因式的n次n项式中，如果系数和与常数D都能分解成n个因数，且常数D的每一个因数加1都与系数和的每一个因数一一对应相

12、等，那么这个多项式(x+d1)(x+d2)(x+d3)(x+dn)例1：x4+10x3+35x2+50x+24=(x+1) (x+2) (x+3) (x+4)系1，当系数和与常数D都能开n次方，并且和的一个因数都比常数D的一个因数大1，则这个多项式(x+d)n。例2：x8+8x7+28x6+56x5+70x4+56x3+28x2+8x+1=(x+1)8系2，当系数和与常数D都能分解为n2个因数，则这个多项式可分解为n2个二次三项式，中项由a1=AA2+4(d 1+d 2-B)2=a2可定。例3：x4+12x3- 12x2+14x+14解：D= 14 = 1212 = 141，而和 32 123

13、132只有1214+4（12 + 1 2+ 12）232，-1正确原式（x2+32x+12）(x2-x+12)注：四次以上的更复杂，要用试除法，系数和小于D的有负因数，如：x3-6x2-x+30=(x+2) (x-3) (x-5)在无理数里分解因式。由和积定理得：x4+D=(x2-2Dx+D)( x2+2Dx+D)例4：4x4+20x3+50x2+292x+37 解：应化为x4+204 x3+ 504 x2+ 584 x+374 和= 1694 = 14+27214+272而D=374=7+1227-122由中项公式得a1=5+32 , a2=5-32再由和积定理得a1=14+272 -1 -

14、 7+122 = 5+32,同样有a1= 5-32两者相对。故原式=（x2+5+32x+7+232）(x2+5-32x+7-232)用和积定理解难度较大的分式方程例5：x2+x-1x2+x-2 + x2+x-2x2+x-4 = x+x-3x2+x-6 + x2+x-4x2+x-8解：移项通分化为x4+2x3-9x2-10x+22=0又由各积定理中项公式得a1=1, a2=1原方程变为x2+x+(-5+3) x2+x+(-5-3)=0(后略)用和积定理解高次方程组，用代入消元化为高次式；用加减消元法化为高次方程；用和积定理直接化为积的形式。例6：x2-3x-2y+y2=12x2+xy-2y=-8解：由x=2y-82+y代化简得5y4-4y3-9y2+12y+108=0，解得y=3x=2而其他解不再整数