高中数学快速提升成绩训练-直线及圆

1、高考数学快速提升成绩题型训练直线与圆1. 已知圆的方程是，直线，当为何值时，圆与直线有（1）有两个交点；（2）有一个交点；（3）没有交点2 已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=2，点P(2，-1)，过P点作圆C的切线PA、PB，B、A为切点.(1)求PA、PB所在直线的方程；(2)求切线长|PA|；(3)求APB的正弦值；(4)求AB的方程.3.如图所示，已知定点A(2，0)，点Q是圆x2+y2=1上的动点，AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程.4.已知圆C：(x-2)2+(y-3)2=4，直线l：(m+2)x+(2m+1)y=7m+8.(1)证明：不论m为何实数

2、值，直线l与圆C恒相交；(2)当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值.5.已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线的方程；(2)从圆C外一点P(x，y)向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有：|PM|=|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标.6、由点P(0,1)引圆x2+y2=4的割线l，交圆于A,B两点，使AOB的面积为（O为原点），求直线l的方程。7、点A(0,2)是圆x2+y2=16内的定点，点B,C是这个圆上的两个动点，若BACA,求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线。8、已知与曲线C: x2+y2-2x-2y+1=

3、0相切的直线l与x轴、y轴的正半轴交于两点A、B，O为原点，|OA|a，|OB|=b(a>2,b>2)（1）求证：曲线C与直线l相切的条件是(a-2)(b-2)=2 ;（2）求AOB面积的最小值。9. 条件：(1)截轴弦长为2.(2)被轴分成两段圆弧，其弧长之比为3:1在满足(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线距离最小时圆的方程.10. 一直线经过点P被圆截得的弦长为8, 求此弦所在直线方程11. 如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得试建立适当的坐标系，并求动点 P的轨迹方程.12.方程ax2+ay2

4、4（a1）x+4y=0表示圆，求a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程13一个圆的圆心在直线x-y-1=0上,与直线4x+3y+14=0相切,在3x+4y+10=0上截得弦长为6,求圆的方程17已知圆C: x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线L,使以L被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点?若存在,写出直线的方程;若不存在,说明理由14求圆C1: 与圆C2: 的公共弦所在直线被圆C3:所截得的弦长15在平面直角坐标系中，已知矩形的长为，宽为，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合（如图所示）将矩形折叠，使点落在线段上（）若折痕所在直线的斜率为，试写出折痕所在直线的方程；

5、（）求折痕的长的最大值O(A)BCDXY16. 如图，在直角坐标系xOy中，射线OA在第一象限内，且与x轴的正向成定角60º，动点P在射线OA上运动，动点Q在y轴正半轴上运动.POQ的面积为定值.（1）求线段PQ的中点M的轨迹C的方程；（2）R1、R2是曲线C上的动点，R1、R2到y轴的距离之和为1，设u为R1、R2到x轴距离之积，是否存在最大的常数m，使um恒成立？如果存在，求出这个m的值，如果不存在，请说明理由.A60ºyxMQPO17.求过A(1，2)与B(3，4)两点，且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程18.设t=3x6y，式中变量x、y满足下列条件求t的最大值和

6、最小值19.已知圆x2+y2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b对称，（1）求k、b的值；（2）若这时两圆的交点为A、B，求AOB的度数.20.若动圆C与圆(x-2)2+y2=1外切，且和直线x+1=0相切.求动圆圆心C的轨迹E的方程.21.已知圆C：x2+y22x+4y4=0,是否存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点.若存在，求出直线l的方程;若不存在，说明理由.22.设圆满足(1)y轴截圆所得弦长为2.(2)被x轴分成两段弧，其弧长之比为31，在满足(1)、(2)的所有圆中，求圆心到直线l:x2y=0的距离最小的圆的方程23. 已知圆C与圆相外切

7、，并且与直线相切于点，求圆C的方程24. 已知直线(a-2)y=(3a-1)x-1 (1)求证无论a为何值，直线总过第一象限(2)为使这直线不过第二象限，求a的范围25. 求与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且被直线yx截得的弦长为的圆的方程。(如右图）55BDCXOCIY分析：求圆的方程关键是求圆心与半径，因为圆心在直线x3y0上，故可设圆心为（3b,b） 又圆与y轴相切，所以r3b26. 已知点A(2, 0), B(0, 6), O为坐标原点.()若点C在线段OB上, 且BAC=45°, 求ABC的面积;() 若原点O关于直线AB的对称点为D, 延长BD到P, 且|PD|=2|B

8、D|.已知直线l:ax+10y+84-108=0经过P, 求直线l的倾斜角.27. 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100和50，可能的最大亏损分别为30和10. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？28. 已知圆x2+y2=16, 点A(2, 0). 若P、Q是圆上的动点且APAQ, 求PQ中点的轨迹方程.29. F过定点A(a, 0)( a>0), 圆心F在抛物线C: y2

9、=2ax上运动, MN为F在y轴上截得的弦.()试判断MN的长是否随圆心F的运动而变化? 并证明你的结论;()当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时, 抛物线C的准线与F有怎样的位置关系? 并说明理由.答案：1. 将代入得化简整理得判别式 （1）当，即时，方程有两个不等的实根，直线与圆有两个交点； （2）当，即或时，方程有两个相等的实根，直线与圆有一个公共点； （3）当，即或时，方程没有实根，直线与圆没有交点；2. (1)如图所示，（1）设切线的斜率为k，切线过点P(2，-1)，切线的方程为：y+1=k(x-2)，即：kx-y-2k-1=0，又C(1，2)，半径r=，由点到直线的距离公式得

10、：=解之得k=7或k=-1.故所求切线PA、PB的方程分别是x+y-1=0和7x-y-15=0.(2)连结AC、PC，则ACAP，在RtAPC中，|AC|=，PC|=，|PA|=.(3)连结CB，则CBBP，由APCBPC知：APC=BPC，APB=2APC.sinAPB=sin2APC=2sinAPC·cosAPC=2×.(4)CAP=CBP=90°，A、B两点在以CP为直径的圆上，CP的中点坐标为，又|CP|=，以CP为直径的圆的方程为即：x2+y2-3x-y=0 又圆C：(x-1)2+(y-2)2=2的一般式为：x2+y2-2x-4y+3=0 -得：x-3y

11、+3=0为直线AB方程.3.由三角形的内角平分线性质得：设M、Q的坐标分别为(x，y)，(x0，y0)，则：x=.故动点M的轨迹方程为4.(1)圆心为(2，3)，半径r=2，圆心到直线的距离为：欲证l与圆C恒相交，只须证明不等式|m-1|2·恒成立，m2+1-2m2(5m2+8m+5) 9m2+18m-90m2+2m-10(m-1)20而(m-1)20恒成立，故原不等式恒成立，从而直线l与圆C恒相交.(2)由(1)知弦心距为，半弦长=19m2+34m+19=u·(5m2+8m+5).依m聚项整理得：(19-5u)m2+(34-8u)·m+(19-5u)=0，令=(

12、34-8u)2-4(19-5u)·(19-5u)0得：(u-2)·(u-4)02u4，umin=2.当u=2时，代入上述等式得：9m2+18m+9=0，即m2+2m+1=0解之：m=-1即为所求.5.(1)圆心(-1，2)，半径为，当圆C的切线经过原点时，设切线为y=kx代入圆C方程并依x聚项整理得：x2+k2x2+2x-4kx+3=0，即(k2+1)x2+(2-4k)x+3=0，由=0得：(2-4k)2-4(k2+1)·3=0解之得k=2±.当圆C的切线不经过原点时，设切线方程为：x+y-a=0(a0)，则由a=3或-1.综上所述得：圆C的切线方程为：

13、x+y-3=0或x+y+1=0或y=(2+)x或y=(2-)x.(2)由条件知：|PC|2=|PM|2+r2|PC|2=|PO|2+2，(x+1)2+(y-2)2=x2+y2+22x-4y+3=0.因|PO|2最小时，|PO|最小，故|PO|，解方程组故使|PM|最小的点P的坐标为6. yAxB P 解：设直线l的方程为y=kx+1 将代入圆的方程整理得(1+k2)x2+2kx-3=0 设其二实数根为x1,x2，由根与系数的关系得 Ox1+x2=,x1x2=设点A(x1,y1),B(x2,y2)即解得k=,故直线l的方程为y=x+1ByxA OC7、解：设点M(x,y)，因为M是定弦BC的中点

14、，故OMBC, 又BAC=900 , 即: 42=(x2+y2)+(x-0)2+(y-0)2 化简为x2+y2-2y-6=0,即x2+(y-1)2=7. 所求轨迹为以(0,1)为圆心，以为半径的圆。8、（1）求证：曲线C与直线l相切的条件是(a-2)(b-2)=2 ;（2）求AOB面积的最小值。解：(1)直线l的方程为即bx+ay-ab=0圆心O到直线l的距离d=,当d=1时，直线与圆相切,即=1整理得(a-2)(b-2)=2所以曲线C与直线l相切的条件是(a-2)(b-2)=2.(2)当且仅当a=2+时等号成立.9. 解：设所求圆的方程为：，则由截轴的弦长为2得由被轴分成两段圆弦，其弧长之比

15、为，圆心到直线的距离即 当且仅当 即 或 时，取“=” ， 此时所以，所求圆的方程为或10. 解: (1)当斜率k不存在时, 过点P的直线方程为,代入,得.弦长为,符合题意(2)当斜率k存在时,设所求方程为,即 由已知,弦心距 ,解得 所以此直线方程为 ,即 所以所求直线方程为 或11. 解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O1（-2，0），O2（2，0），由已知：,即，因为两圆的半径都为1,所以有：，设P（x,y）则（x+2）2+y2-1=2(x-2)2+y2-1， 即 综上所述，所求轨迹方程为：（或）12.解：（1）a0时，方程为x2+（y+

16、）2=，由于a22a+20恒成立，a0且aR时方程表示圆（2）r2=4·=42()2+，a=2时，rmin2=2此时圆的方程为（x1）2+（y1）2=216解:由圆心在直线x-y-1=0上,可设圆心为（a,a-1）,半径为r,由题意可得 ,经计算得a=2,r=5所以所求圆的方程为（x-2）2+（y-1）2=2513解:设直线L的斜率为，且L的方程为y=x+b,则消元得方程x2+（2b+2）x+b2+4b-4=0,设此方程两根为x1,x2，则x1x2（b+1）,y1+y2= x1x2+2b=b-1,则中点为，又弦长为，由题意可列式解得b=1或b=-9,经检验b=-9不合题意所以所求直线

17、方程为y=x+114解: 圆C1与圆C2的公共弦所在直线方程为: 即x+y-1=0圆心C3到直线x+y-1=0的距离.所以所求弦长为.15.解(I) （1）当时,此时A点与D点重合, 折痕所在的直线方程（2）当时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1)所以A与G关于折痕所在的直线对称，有故G点坐标为，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为，折痕所在的直线方程，即由（1）（2）得折痕所在的直线方程为：k=0时，；时（II）(1)当时，折痕的长为2;(1) 当时, 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为令解得 所以折痕的长度的最大值216. 解：（1）依题意，射线OA的方程为

18、y=,设M（x,y），P（t,）(t>0)，则Q点的坐标为（2x-t，2y-），即.又Q点在y轴上，2x-t=0,即t=2x，于是：x|y-|=.点P在AOQ的内部，y-0，且x>0，y>0.因此有，这就是M点的轨迹方程.（2）设R1（x1,y1）,R2(x2,y2)，则x1+x2=1，y1y2=uu=y1y2=3(=3x1>0，x2>0，x1+x2=1，0于是，,因此，当时，um恒成立，故m的最大值为.17. 解 设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题意，得解之,得,或所求圆的方程为x2+y2+12x22y+27=0或x2+y28x2y+7=0.1

19、8. 解 作出不等式组表示的平面区域平行四边形ABCD的边界和内部ABCD的顶点坐标分别为A(1，0)、B()、C(1，0)、D()作动直线l:3x6y=t(tR)l的方程可写成y=,当l的纵截距最大时，t最小;当l的纵截距最小时，t最大由图知当l过B点时，t最大=3×()6×()=7当l过D点时，t最小=3×()6×()=719. 解 （1）圆x2+y2+8x-4y=0可写成(x+4)2+(y-2)2=20.圆x2+y2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b对称，y=kx+b为以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线.×k=-1，

20、k=2. 点（0，0）与（-4，2）的中点为（-2，1），1=2×(-2)+b，b=5.k=2，b=5.（2）圆心（-4，2）到2x-y+5=0的距离为d=.而圆的半径为2，AOB=120°.20. 解 设动圆的圆心C的坐标为（x，y），则x-(-1)+1=，即x+2=，整理得y2=8x.所以所求轨迹E的方程为y2=8x.21. 解法一 假设存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点.设l的方程为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2).由OAOB知，kOA·kOB=1, 即=1,y1y2=x1x2.由, 得2x2+2(b+1)x+b2+4

21、b4=0,x1+x2=(b+1),x1·x2=+2b2,y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2=+2b2b(b+1)+b2=+b2y1y2=x1x2 +b2=(+2b2)即b2+3b4=0. b=4或b=1.又=4(b+1)28(b2+4b4)=4b224b+36=4(b2+6b9)当b=4时，=4×(16249)>0;当b=1时，=4×(1+69)>0故存在这样的直线l,它的方程是y=x4或y=x+1,即xy4=0或xy+1=0.解法二 圆C化成标准方程为(x1)2+(y+2)2=9,假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的

22、坐标为(a,b).由于CMl,kCM·kl=1,即×1=1,b=a1,直线l的方程为yb=xa,即xy+ba=0,以AB为直径的圆M过原点，|MA|=|MB|=|OM|，而|MB|2=|CB|2|CM|2=9,|OM|2=a2+b2,9=a2+b2,把代入得2a2a3=0, a=或a=1,当a=时，b=此时直线l的方程为xy4=0;当a=1时，b=0此时直线l的方程为xy+1=0.故这样的直线l是存在的，它的方程为xy4=0或xy+1=0.22.解 设圆的圆心为P(a,b),半径为r，则P到x轴，y轴的距离分别为b、a，由题设知圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°

23、,故圆P截x轴所得弦长为r=2b. r2=2b2 又由y轴截圆得弦长为2， r2=a2+1 由、知2b2a2=1.又圆心到l:x2y=0的距离d=,5d2=(a2b)2=a2+4b24aba2+4b22(a2+b2)=2b2a2=1.当且仅当a=b时“=”号成立，当a=b时，d最小为，由得或由得r=.(x1)2+(y1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2为所求23. 设圆C的圆心为，则所以圆C的方程为24. 解 (1)将方程整理得为a(3x-y)+(-x+2y-1)=O对任意实数a，恒过直线3x-y=O与x-2y+1=0的交点(，)， 直线系恒过第一象限内的定点(，)； (2)当a=2时，

24、直线为x=不过第二象限；当a2时，直线方程化为：y=x-，不过第二象限的充要条件为 或 a>2，总之，a2时直线不过第二象限25. 因为圆心在直线x3y0上，故可设圆心为（3b,b）直线yx被圆截得的弦为AB，CDAB，则CBr3b，BDCDbCD2BD2BC2即2b2 79b2，解得b±1圆的方程为（x3）2(y1)29或（x3）2(y1)2926. 解: ()依条件易知kAB=-3. 由tan45°=,得kAC= -.直线AC: y=-(x-2).令x=0,得y=1,则C(0, 1). SABC=|BC|OA|=5. ()设D点的坐标为(x0, y0),

25、 直线AB: 即3x+6y-6=0, . 解得x0= y0=. 由|PD|=2|BD|, 得=. 由定比分点公式得xp=.将P()代入l的方程, 得a=10. k1= -. 故得直线l的倾斜角为120°. 27. 解:设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目,x+y=10x+0.5y=00.3x+0.1y=1.8xy(0,18)(0,10)M(4,6)O(10,0)(6,0)由题意知 目标函数z = x+0.5y上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即为可行域.作直线l0: x+0.5y =0,并作平行于l0的一组直线x+0.5y = z, zR,与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的M点,且与直线x+0.5y =0的距离最大,这里M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y =1.8的交点.解方程组得x =4, y =6.此时z = 1×4+0.5×6