复变函数的可导与解析

1、第九节第九节 复变函数的导数与函数解析复变函数的导数与函数解析一一. . 复数域与复数的表示法复数域与复数的表示法 1i ,im,re,ic zyzxryxyxz复复数数集集：cc),()1()0( c1复数域复数域数域数域构成一个构成一个于是复数集于是复数集及逆元及逆元单位元单位元，数集中有零元数集中有零元交换律，分配律，且复交换律，分配律，且复法与乘法的法与乘法的中的四则运算满足：加中的四则运算满足：加复数集复数集 z复复平平面面复复数数域域有有序序数数组组复复数数 ),(yxiyxz复复数数的的表表示示法法：三三角角表表示示法法）或或向向量量复复平平面面上上的的点点()sini(cos.

2、3),(.2i.1 rzopyxpyxz（指指数数表表示示法法） irez .4, 1, 0,2arg.arg,(.22 kkzargzzzargzzyxzr 为为内内的的幅幅角角为为主主幅幅角角，记记范范围围个个幅幅角角，称称在在任任一一非非零零复复数数有有无无穷穷多多的的幅幅角角的的模模其其中中： 在在第第四四象象限限在在第第三三象象限限在在第第二二象象限限在在第第一一象象限限zxyzxyzxyzxyzarctanarctanarctanarctanarg 21212121)(argzargzzzargargzargzzzarg 212121212121zzzzzzzzzzzz ）（，性性

3、质质：212121212,zzzzzzzzzzz 复复数数的的乘乘幂幂：)sini(cos)(),sini(cos nnrreznzrreznnini 为为次次幂幂的的则则设设复复数数的的方方根根：)1,2,1 ,0()2sini2(cos ),sini(cos1 nknknkrznzrreznni 为为次次方方根根的的则则设设二二. . 复变函数复变函数复变函数复变函数 ：一个复变函数一个复变函数 二个二元实函数二个二元实函数 ),(),()(:yxivyxuzfwuvxyivuwiyxzf 平面上的点集平面上的点集平面上的点集平面上的点集例如：例如：xyyxvyxyxuixyyxiyxzz

4、fw2),(,),(,2)()(222222 定定义义域域. .函函数数值值集集合合定定义义集集合合复复变变函函数数称称其其为为常常常常为为一一个个平平面面区区域域今今后后的的讨讨论论中中称称为为的的称称为为或或简简记记为为记记为为上上的的是是定定义义在在则则称称与与之之对对应应中中有有一一个个或或多多个个复复数数在在通通过过点点中中每每一一个个如如果果对对一一个个确确定定的的对对应应规规则则是是和和复复数数集集设设有有复复平平面面上上的的点点集集, , : , , ggzzfwwgzfgzfwzfwzfgfwgfzgfgg 定义定义1可以利用二元实函数的极限，连续等概念来定可以利用二元实函数

5、的极限，连续等概念来定义复变函数的极限，连续。义复变函数的极限，连续。),(),(lim)(lim),(),(000yxivyxuzfyxyxzz 极极限限例例如如： ),(),(lim ),(),(lim )()(lim,(),(),( )(00),(),(00),(),(000000000yxvyxvyxuyxuzfzfyxyxvyxuzzfyxyxyxyxzz （）（）连连续续在在，连连续续在在因此，复变函数具有与实函数类似的关于极限，因此，复变函数具有与实函数类似的关于极限，连续的性质。但连续函数在闭区域上的最大连续的性质。但连续函数在闭区域上的最大(小小)值应理解为连续的复变函数模的

6、最大值应理解为连续的复变函数模的最大(小小)值定理值定理. zzzxyxyarglim,arglimarg0000为为在在负负实实轴轴上上不不连连续续，因因三三. . 复变复变函数函数的导数的导数 000000000000limdd,limlim,zzzfzfzwzfzzfzzfzwzzzfzfzzfwzzzzzzz 记记作作的的在在其其极极限限值值称称为为可可导导在在则则称称存存在在果果极极限限如如的的某某邻邻域域内内有有定定义义在在设设函函数数导导数数定义定义2定义定义3.)()(|),(|)()(),(,)()(0000000zldwzzfzlzzfwzozlzfzzfwznzzzlzz

7、nzfw 处的微分，记作处的微分，记作在点在点为函数为函数处可微，并称处可微，并称在点在点则称则称总有总有使得对使得对无关的复常数无关的复常数如果存在与如果存在与内有定义，内有定义，在在设复变函数设复变函数dzzfdwzfl)(),(00 所所以以可可导导，且且可可微微 .),(内可导(可微)内可导(可微)d d在在zfdzf称称则则可微可微内每一点都可导内每一点都可导在区域在区域如果如果例例1. 求求f(z)=zn, (n 为正整数为正整数 ) 的导数的导数.解解 zzzzzzfzzfzfnnzz 00lim lim 112210lim nnnnnznzzzzcnz 1 nnnzz的的连连续

8、续性性与与可可导导性性。讨讨论论zzf )( 在在复复平平面面处处处处连连续续解解iyxzzf )( yixyixzzzzzzzzfzzfyxzzz )0,0(),(000limlimlim lim1limlim000 yiyiyixyixyyx而而1limlim000 xxyixyixxxy例例2 。在在复复平平面面上上处处处处不不可可导导不不存存在在，因因而而zzfyixyixzzfzzfyxz )0,0(),(0lim lim可导必连续可导必连续,连续不一定可导连续不一定可导复合函数求导法则复合函数求导法则: ;, 0)1(为为复复常常数数其其中中cc ;)2(1 nnnzz ;)4(z

9、gzfzgzfzgzf ;)3(zgzfzgzf ;0,)5(2 zgzgzgzfzfzgzgzf ;,)6(zgwzgwfzgf 其中其中 . 0,1)7( wwzf 且且数数的的单单值值函函数数其其中中与与为为两两个个互互为为反反函函极极限限。对对应应于于二二元元实实函函数数的的函函数数导导数数定定义义中中的的极极限限函函数数的的极极限限，而而复复变变定定义义中中的的极极限限是是一一元元实实因因为为一一元元实实函函数数导导数数本本质质上上有有很很大大的的不不同同。然然形形式式上上一一样样，但但在在实实函函数数的的导导数数定定义义，虽虽数数的的导导数数定定义义与与一一元元需需要要注注意意的的

10、是是，复复变变函函 .limlim)(00000存存在在可可导导，即即极极限限在在设设zzfzzfzwzzfzz zzfzzfxzyzxz 000lim0,0时时，有有沿沿实实轴轴趋趋于于零零，即即当当 xvixuxyxivyxuyxxivyxxux 000000000,lim时时，有有沿沿虚虚轴轴趋趋于于零零，即即当当0,0 yizxz yuiyvyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfyyiz 00000000000000,limlimyuiyvxvixu yuxvyvxu柯西黎曼柯西黎曼(cauchy-riemann)方程方程（可可导导的的必必要要条条件件）定定理理1 .9处处处

11、处不不可可导导。，中中如如例例 yuxvyvxuyvxvyuxuyyxvxyxuiyxzzf,1,0,0, 1),(,),(,)( 2.),(),(),(),(),()(00000yuxvyvxurcyvxvyuxuyxyxvyxudiyxzdyxivyxuzf ，条条件件：，且且满满足足，处处有有偏偏导导数数在在点点处处可可导导，则则二二元元函函数数且且在在点点上上有有定定义义，在在区区域域设设复复变变函函数数但但不不可可导导。条条件件，满满足足在在证证明明： 0imre)( rczzzzf .条条件件满满足足rc 例例30),(,),(,imre)( yxvxyyxuxyzzzf证证：)0

12、 , 0(0)0 , 0(), 0(lim)0 , 0()0 , 0(0)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(00 xyyyxxvyuyuuvxuxuu 不不存存在在zfzfz 0lim0的的充充分分条条件件条条件件不不是是复复变变函函数数可可导导说说明明例例rc 3不不可可导导。在在0)( zzf kikxkixkzfzfxxkyzxxkiz 1)1()(lim0lim)0(200)1(趋趋于于零零时时，有有沿沿但但当当（可可导导的的充充要要条条件件）定定理理2 .9处处连连续续在在),(, 00yxyvxvyuxu . ),(),(),(2),(),(),(10000yuxvyvxu

13、rcyxyxvyxuyxyxvyxu ，条条件件：处处满满足足在在点点）（处处可可微微；在在点点二二元元函函数数）（ 处处可可导导在在点点则则上上有有定定义义，在在区区域域设设复复变变函函数数diyxzzfdyxivyxuzf000)(),(),()( )()()(,)(12212100210yxyaxbiyxybxayixiyixibaviuzfzzfyixziibazf ，则则设设0)()(lim, 0)()(lim2212002221001221 yxyxyxyxyxyaxbvyxybxauyxyx 而而 )0lim()(lim)()(000000000 zzzzzfzfzzfzzfzz

14、fzfzzf可可导导，即即有有在在必必要要性性）设设证证处处可可微微在在点点充充分分性性）),(),(),(00yxyxvyxuyixviuzwyxoyvxvvyxoyuxuuyxyx )()()()(2222yixyxoyvxviyxoyuxuyxyx )()()()(2222前前已已证证得得。条条件件处处满满足足在在处处可可微微在在点点,),(),(),(),(),(),(0000rcyxyxvyxuyxyxvyxu xxzivuzw 0lim.)(0可可导导在在 zzfyixyxoyixivuyixyxoyuxviyvxuxxxxxxrc )()()()()()2222（条件条件yixy

15、xoyvxviyxoyuxuyxyx )()()()(2222 .,.,;,0000奇点奇点解析函数解析函数在d内解析在d内解析解析点解析点解析解析z z在在0 0的的为为那末称那末称不解析不解析在在如果如果内的一个内的一个是是或称或称则称则称内处处解析内处处解析在在若若的的是是或称或称则称则称导导及其某个邻域内处处可及其某个邻域内处处可在在如果函数如果函数zfzzzfdzfzfdzfzfzzfzzf定义定义4内内可可导导在在区区域域内内解解析析在在区区域域dzfdzf)()(两个两个解析函数的和、差、积、商解析函数的和、差、积、商(除去分母除去分母为零的点为零的点)都是解析函数都是解析函数,

16、解析函数的复合函解析函数的复合函数、反函数数、反函数(单值单值)仍是解析函数仍是解析函数. xyyxvuvurcyxzdyxvyxudyxvyxuzf , :,i,:,i,00方程方程而且满足而且满足可微可微内任一点内任一点在在和和充要条件是充要条件是上解析的上解析的在在函数函数定理定理 9.3 yuyvxvxuzf ii 且且一般用验证偏导数连续来代替验证函数可微。一般用验证偏导数连续来代替验证函数可微。)sin(cos)(1 yiyezfx ）（解解析析？可可导导？何何处处判判断断下下列列函函数数何何处处)()sin(cos)( )(zfyiyeivuzfzfxxx 解解析析，且且处处处处

17、在在复复平平面面上上处处处处可可导导，例例4解解条条件件，且且满满足足在在复复平平面面上上处处处处连连续续，而而rcyevyevyeuyeuyeyxvyeyxuxyxxxyxxxx cos,sin,sin,cossin),(,cos),(ixyyxzf )(2）（条条件件时时满满足足但但仅仅在在在在复复平平面面上上处处处处连连续续，而而rcyxvvuuxvyvuuxyyxvyxyxuyxyxyxyx 1, 1, 1, 1),(,),(解解. 1)(不不解解析析处处处处处处可可导导，在在复复平平面面上上在在izzf iyxzf 2)(3）（条条件件上上满满足足但但仅仅在在直直线线在在复复平平面面

18、上上处处处处连连续续，而而rcxvvuuvvuxuyyxvxyxuyxyxyxyx 21,1, 0, 0,2),(,),(2解解. 21)(不不解解析析处处处处可可导导，在在复复平平面面上上上上在在直直线线 xzf例例5表表示示。无无关关，可可以以单单独独用用必必与与为为解解析析函函数数，那那么么证证明明：如如果果zzwyxivyxuw),(),( 。求求的的虚虚部部已已知知解解析析函函数数)(,)(22zfyxyvzf )()(2 )(222222222xgyxxdyyxxyuyxxyvuxy zcyxiyxcivuzfcxgxgyxyxvxgyxyxuyx1)( )(,0)( )( )()

19、( 222222222222 解解例例6四四 初等初等函数函数1. 1. 指数指数函数函数)sin(cosyiyeewxz 不不存存在在。）（处处处处解解析析，且且有有周周期期性性：）（性性质质：zzzzikzzzzzzzzzzxzeeeeeeeeeeekyargeee z2lim 5 )()4()3(,)2(2,121212121 复复变变函函数数中中无无中中值值定定理理公公式式实实指指数数函函数数）注注： 0)( , 0)2()(sincos0)(01(zzxziyxeeeeeuleryiyewxewy2. 2. 对数对数函数函数)2i(arglniarglnln kzzzzzw )arg

20、,lnln2,.(zvzrukverreerezivuwezuiivuiw 则则，设设反反函函数数的的对对数数函函数数为为指指数数函函数数), 2, 1(2lnlnlnarglnlnlnlnarg.)ln(ln1 kikzzzzizzzzzargzzkzk 的的主主值值支支，即即的的主主值值，记记为为时时，相相应应的的对对数数称称为为取取主主值值当当，记记为为可可确确定定的的一一个个单单值值分分支支，于于每每个个固固定定的的为为无无穷穷多多值值函函数数。对对应应）注注：（ikikiixx )12(2)1ln()1(ln)1arg(1ln)1ln()3()0(ln2 如如在在复复变变函函数数中中

21、不不成成立立。“负负数数无无对对数数”的的说说法法实实对对数数函函数数正正实实数数的的对对数数主主值值就就是是）（) lnlnln,lnln)(ln121212121（理理解解为为二二集集合合相相等等运运算算性性质质同同实实对对数数：）（性性质质：zzzzzzzz .lnln)111ln(lnargarglim,arglimln(ln)2(00有有相相同同的的导导数数值值点点处处解解析析，且且与与负负实实轴轴外外的的其其它它的的各各个个分分支支在在除除原原点点与与）（）（其其它它点点处处解解析析在在除除原原点点与与负负实实轴轴外外的的）除除原原点点与与负负实实轴轴外外连连续续除除原原点点外外连

22、连续续，其其它它点点处处连连续续在在除除原原点点与与负负实实轴轴外外的的解解析析性性：zzzeezzzzzzzwwyy .)2(,25)(ln的的值值并并计计算算此此时时一一个个分分支支，使使求求iwiiwzw iiiiiwkikikiiiiwkzizzw 232ln )2)2(arg(2ln)2(125)22( )2(argln)()2(arglnln 解解例例7）（错错误误。）证证：（命命题题：对对悖悖论论）在在：（指指出出下下列列论论断断的的错错误误所所)12(argln)ln(-)2(arglnln.ln)(ln ln2)(ln2ln)(ln)(1.ln)(ln, 0bernoulli

23、2222 kzizzkzizzzzzzzzzzzzz思考题：思考题：3.3.幂函数幂函数为为复复数数）（ ,0(),2, 1,0ee) i2(ln)iarg(lnln zkezwkzzzz有有无无穷穷多多值值对对其其他他的的次次方方根根的的时时，即即为为为为正正整整数数特特别别，当当个个值值时时的的取取）时时，互互质质（当当为为有有理理数数次次幂幂的的为为正正整整数数时时，即即为为特特别别，当当单单值值为为整整数数时时，当当）性性质质：（ znznnqqkezqqpqpzzqpkzqpzqpz, )(1 1, 2 , 1 , 0,e 0, e1i2lnlnln 的的主主值值称称为为相相应应的的时时取取主主值值）（ zezzzzln,lnln2 1)( ln)3( zzzz处处解解析析，且且有有点点与与负负实实轴轴外外的的其其它它点点的的各各个个单单值值分分支支在在除除原原的的各各个个单单值值分分支支，对对应应于于解解析析性性：2i)2(1(1i ）计计算算（), 2, 1, 0 ei2), 2, 1, 0 e1) 1 (i)212(2)(iarg(ln222)12(i)12()1(iarg1(ln)1( keekeeekiilnikkiiilni（）（）（ 解解例例84.4.三角函数三角函数2eecos2ie-esini -i-iizzzzzz 无无界界时时如如不