导数的几何意义24472

1、处的导数。在练习：求函数1xxyxxxyxy1111解：21111lim0 xx211xy111x下面来看导数的几何意义: y=f(x)pqmxyoxypy=f(x)qmxyoxy 如图如图,曲线曲线c是函数是函数y=f(x)的图象的图象,p(x0,y0)是曲线是曲线c上的上的任意一点任意一点,q(x0+x,y0+y)为为p邻近一点邻近一点,pq为为c的割线的割线,pm/x轴轴,qm/y轴轴,为为pq的的倾斜角倾斜角.tan,: xyymqxmp则则yx请问：是割线pq的什么?斜率!pqoxyy=f(x)割割线线切线切线t请看当点请看当点q沿着曲线逐渐向点沿着曲线逐渐向点p接近时接近时,割线割

2、线pq绕着绕着点点p逐渐转动的情况逐渐转动的情况. 我们发现我们发现,当点当点q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点p即即x0时时,割线割线pq有一个极限位置有一个极限位置pt.则我们把直线则我们把直线pt称为曲线在点称为曲线在点p处的处的切线切线. 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那么当那么当x0时时,割线割线pq的斜率的斜率,称称为曲线在点为曲线在点p处的处的切线的斜率切线的斜率.即即:00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切线 这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质切线斜率的本质函

3、数在函数在x=x0处的导数处的导数.初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。叫做切点。割线趋近于确定的位置的直线定义为割线趋近于确定的位置的直线定义为切线切线.曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。l2l1ab0 xy 问题问题: :研究导数的几何意义有什么作用？研究导数的几何意义有什么作用？ 结论：结论：以直代曲是微积分中的重要的思想方法，即以以直代曲是微积分中的重要的思

4、想方法，即以简单的对象（切线）来刻画复杂的对象（曲线）。大简单的对象（切线）来刻画复杂的对象（曲线）。大多数的曲线就一小范围来看，大致可看成直线，所以，多数的曲线就一小范围来看，大致可看成直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即以某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即以直代曲。直代曲。ppp例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点p(1,2)处的切线方程处的切线方程.qpy=x2+1xy-111ojmyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1

5、),即即y=2x.（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy 归纳归纳:求切线方程的步骤求切线方程的步骤练习练习:如图已知曲线如图已知曲线 ,求求:(1)点点p处的切线的斜率处的切线的斜率; (2)点点p处的切线方程处的切线方程.)38, 2(313pxy上上一一点点 yx-2-112-2-11234op313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limli

6、m,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：. 42|22 xy即即点点p处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4. (2)在点在点p处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0. 练习练习 已知导函数已知导函数 的下列信息：的下列信息： ( )fx14,( )04,1,( )04,1,( )0.( )xfxxxfxxxfxf x当时；当或时；当或时试画出函数图象的大致形状 几何法几何法 设计意图设计意图: :与函数概念相类比与函数概念相类比,很自然地提出导函数很自然地提出导函数概念概念,为以后的学习做准备为以后的学习做准备.探究探究: :导函数的定义导函数的定义在研究曲线上某点的导数和经过该点的切线斜率的关系这在研究曲线上某点的导数和经过该点的切线斜率的关系这个过程中，可以看到当个过程中，可以看到当 时，时， 是一个确定的数，是一个确定的数，当当 变化时，变化时， 是是 的一个函数，我们