选修4-5第二节不等式证明、柯西不等式与平均值不等式1

1、选选修修4-54-5不不等等式式选选讲讲第二第二节节不等不等式的式的证明、证明、柯西柯西不等不等式与式与平均平均值不值不等式等式抓抓 基基 础础提提 能能 力力明明 考考 向向返回 备考方向要明了备考方向要明了返回返回返回返回返回一、比较法一、比较法1求差比较法求差比较法知道知道abab0，abab0，因此要证明，因此要证明ab，只要证明，只要证明 即可，这种方法称为求差即可，这种方法称为求差比较法比较法ab0返回二、分析法二、分析法从所要证明的从所要证明的 出发，逐步寻求使它成立的充分出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事条件，直至所需条件为已知条件或一个

2、明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即析法，即“执果索因执果索因”的证明方法的证明方法三、综合法三、综合法从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法称为综合法即方法称为综合法即“由因寻果由因寻果”的方法的方法结论结论返回四、放缩法四、放缩法在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的部

3、分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的这种方法称为放缩法目的这种方法称为放缩法返回五、反证法的步骤五、反证法的步骤1作出否定作出否定 的假设；的假设；2进行推理，导出进行推理，导出 ；3否定否定 ，肯定，肯定 结论结论矛盾矛盾假设假设结论结论返回(acbd)2返回2柯西不等式的向量形式：设柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向为平面上的两个向 量，则量，则|，其中等号当且仅当两个向量，其中等号当且仅当两个向量 方向相同或相反时成立方向相同或相反时成立 返回返回返回返回返回返回返回返回1综合法与分析法的内在联系综合法与分析法的内在联系综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清

4、综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起楚当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程表达整个证明过程返回2放缩法证明不等式的理论依据主要有放缩法证明不等式的理论依据主要有(1)不等式的传递性；不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；等量加不等量为不等量；(3)同分子同分子(分母分母)异分母异分母(分子分子)的两个分式大小的比较的两个分式大小的比较注意：放缩要适度，注意：放缩要适度，“放放”和和“缩缩”的方向与的方向与“放放”

5、和和“缩缩”的量的大小是由题目分析，多次尝试得出的量的大小是由题目分析，多次尝试得出返回返回精析考题精析考题例例1(2011福建高考福建高考)设不等式设不等式|2x1|1的解集为的解集为M.(1)求集合求集合M; (2)若若a，bM，试比较，试比较ab1与与ab的大小的大小返回自主解答自主解答(1)由由|2x1|1，得，得12x11，解得解得0 x1，所以，所以Mx|0 x1(2)由由(1)和和a，bM可知可知0a1,0b1.所以所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0, 故故ab1ab.返回本例条件不变，试比较本例条件不变，试比较logm(ab1)与与logm(ab)(m0且且m1)的大小的

6、大小解：解：0a1,0b1，(ab1)(ab)(a1)(b1)0.故故ab1ab.当当m1时，时，ylogmX在在(0，)上递增，上递增，logm(ab1)logm(ab)当当0m1时时logmX在在(0，)上单调递减，上单调递减，logm(ab1)logm(ab)返回巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)返回返回返回冲关锦囊冲关锦囊 比较法证明不等式最常用的是作差法，其基本步骤是比较法证明不等式最常用的是作差法，其基本步骤是(1)作差；作差；(2)变形；变形；(3)判断差的符号；判断差的符号；(4)下结论其中下结论其中“变变形形”是关键，通常将差变形成因式连

7、乘积的形式或平方和是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负.返回精析考题精析考题例例2(2011安徽高考安徽高考)(1)设设x1，y1，证明，证明xyxy；(2)设设1abc，证明，证明logablogbclogcalogbalogcblogac.返回返回返回返回巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)返回返回4(2012南通二调南通二调)设设x，y，z为正数，求证：为正数，求证：2(x3y3 z3)x2(yz)y2(xz)z2(xy)返回证明：证明：因为因为x2y22xy0，

8、所以所以x3y3(xy)(x2xyy2)xy(xy)，同理同理y3z3yz(yz)，z3x3zx(zx)，三式相加即可得三式相加即可得2(x3y3z3)xy(xy)yz(yz)zx(zx)，又因为又因为xy(xy)yz(yz)zx(zx)x2(yz)y2(xz)z2(xy)所以所以2(x3y3z3)x2(yz)y2(xz)z2(xy)返回返回2分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把时，不要把“逆求逆求”错误地作为错误地作为“逆推逆推”，分析法的过程仅，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用